复习回顾

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f ，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。
记作： y=f(x)，x∈A．
（1）对于自变量x的取值范围A叫做函数y=f(x)的定义域.
对于函数的意义，应从以下几个方面去理解：
（3）从定义域与对应法则理解函数相等
（2）对于函数值y组成的集合叫做函数y=f(x)的值域.(注意：值域是集合B的子集）
（4）对应法则可以是解析式、 图形、表格等
解析法，列表法，图象法.
回想函数的表示方法有哪几种？
用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
解析法
图象法
列表法
那么这三种表示方法各自有什么优点呢？面对实际问题时怎么样选用恰当方法来表示函数呢？
用列表法可将函数表示为:
函数的定义域是函数存在的前提，在写函数解析式的时候，一定要写出函数的定义域.
用图象法可将函数表示为下图:
列表、描点、连线（视其定义域决定是否连线）.
函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等.
思考
注意
解析法
图象法
列表法
①函数关系清楚、精确；
②容易从自变量的值求出其对应的函数值；③便于研究函数的性质.
能形象直观的表示出函数的变化趋势，是今后利用数形结合思想解题的基础.
不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值，当自变量的值的个数较少时使用.
三种表示方法的特点
解析法是中学研究函数的主要表达方法.
列表法在实际生产和生活中有广泛的应用.
所有的函数都能用解析法表示吗？
例: 下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.
对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.
解：从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但是不容易看出每位同学的成绩的变化情况.可以将“成绩”与“测试序号”之间的关系用函数图像表示出来，如图1，那么就能比较直观地看到成绩变化的情况.
为了更容易的看出学生的学习情况，将离散的点用虚线连接。
在图2中看到，王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且比较优秀.张诚同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且幅度较大.赵磊同学的数学成绩低于平均水平，但是他的成绩呈曲线上升的趋势，从而表明他的数学成绩在稳步提高.
例 画出函数y=|x|的图象.
前面的例题采用的是描点法，而现在借助于已知函数画图象,描点法一般适用于那些复杂的函数，而对于一些结构比较简单的函数，则通常借助于一些基本函数的图象来表示.
变式1：作函数y=|x－1|的图像.
y=|x|
y=|x－1|
变式2：作函数y=|x－1|＋1的图像.
y=|x－1|
y=|x－1|＋1
例1、某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
（1）5公里以内（含5公里），票价2元；
（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按5公里计算）。
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象。
y
x
解：函数解析式为：
其图像为右图：
它的图象是4条线段（不包括左端点），都平行于x轴，如图所示。
我们把这样的函数
称为分段函数
所谓“分段函数”，习惯上指在定义域内的不同区间上，有不同的对应法则的函数。对它应有以下基本认识：
（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；
（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值
域是各段值域的并集。
（3）分段函数的作图就是将分段函数在各段上的图象逐段作出，注意端点处的取舍情况。
分段函数的概念：
练习P25 B组1
函数是两个数集之间的一种确定关系，那么现在将数集扩展到任意集合，那又会得到什么呢？
思考
常见的对应关系：
1. 对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对（x, y)和它对应；
2. 某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；
3. 长途汽车上的每位乘客都有唯一确定的座位相对应；
4. 对于任何一个实数，数轴上都有唯一的点和它对应；
我们把它们称作什么呢？
称对应f: A→B为从集合A到集合B的一个映射.
函数是从非空数集A到非空数集B的映射.映射是从集合A到集合B的一种对应关系，这里的集合A、B可以是数集，也可以是其他集合.函数是一种特殊的映射.
设A,B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有惟一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射.
映射f:A→B，可理解为以下几点:
2、A中每个元素在B中必有惟一的元素和它对应;
3、A中元素与B中元素的对应关系，可以是：一
对一，多对一，但不能一对多.
1、映射有三个要素：两个集合、一个对应法则，
三者缺一不可;
判断下面对应关系是不是映射？
9
4
1
3
-3
2
-2
1
-1
√
√
1
2
3
4
5
6
1

2

3
9
4
1
3
-3
2
-2
1
-1
×
√
B
A
2
乘以
3.设A={1,2,3}，B={3,4,5,6,7,8,9}，集合A中的元素x按照对应法则“乘2加1”和集合B中的元素2x+1对应．这个对应是不是映射？
解：是.
解：是映射.
练习
C
（1）理解函数的三种表示方法；
（2）在具体的实际问题中能够选用恰当的表
示法来表示函数；
（3）注意分段函数的表示方法及其图象的画法;
（4）映射的概念.
作业：P24 5.7.10
重要题型
题型一、与分段函数有关的问题
如求值、解不等式、研究函数性质等等，常需
要分类讨论。（以各段的定义域为分类的标准）
练习1.
练习2.试卷选择题4
练习3：试卷填空题1
题型二、求函数的解析式
1.配凑法和换元法
例1：求下列函数的解析式．
(1)已知f(x)＝x2＋2，求f(x－1)，f(x＋2)；
(2)已知f(x＋1)＝x2＋2x，求f(x)．
【思路点拨】　由题目可以获取以下主要信息：
①对应关系f对自变量x起作用，可用代入法求解．
②对应关系f对(x＋1)起作用，需要寻找对应关系f怎样对自变量x起作用，可用配凑法或换元法求解．
结论：
(1)若已知f(x)，求f(g(x))，常用代入法．
(2)若已知f(g(x))，求f(x)常用换元法和配凑法．
练习.(1)已知f(x)＝x2＋x＋1，求f(x－1)；
(2)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)．
【解析】　(1)∵f(x)＝x2＋x＋1
∴f(x－1)＝(x－1)2＋(x－1)＋1
＝x2－x＋1
(2)∵f(x＋1)＝x2－3x＋2
＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6
∴f(x)＝x2－5x＋6.
例2 已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，求f(x)的解析式．
【错解】　∵f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，
设t＝x2＋2，则f(t)＝t2－4.∴f(x)＝x2－4.
【错因】　本题错解的原因是忽略了函数f(x)的定义域．上面的解法，似乎是无懈可击，然而从其结论，即f(x)＝x2－4来看，并未注明f(x)的定义域，那么按一般理解，就应认为其定义域是全体实数．但是f(x)＝x2－4的定义域不是全体实数．
事实上，任何一个函数都由定义域、值域和对应关系f三要素组成．所以，当函数f(g(x))一旦给出，则其对应关系f就已确定并不可改变，那么f的“管辖范围”(即g(x)的值域)也就随之确定．因此，我们由f(g(x))求f(x)时，求得的f(x)的定义域就理应与f(g(x))中的f的“管辖范围”一致才妥．
练习： ，求
例3： ，求
2.待定系数法
例：求下列函数的解析式：
(1)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，
求f(x)；

(2)已知反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，求f(x)的解析式
【思路点拨】　函数模型―→设解析式―→列方程组―→确定系数
已知函数的模型(如一次函数、二次函数、反比例函数等)求函数解析式，常采用待定系数法，然后由题设条件求待定系数．
题(1)已知函数为二次函数，由条件列方程组求解即得待定系数a，b的值．如题(2)设反比例函数f(x)＝k/x(k≠0)，由f(3)＝－6可得k的值；
练习：P24 6
3.解函数方程组法
练习：
例1：作出下列函数图象并求其值域．
(1)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)．
(2)y＝1/x(x≥1)．
【思路点拨】　由题目可获取以下主要信息：
①中函数是二次函数，且定义域为[1,3]．
②中定义域为[1，＋∞)．
解答本题时要注意定义域对图象的影响．
【解析】　(1)因为x∈[0,3)，故图象是一段抛物线(如图(1))，由图象知，y∈[－5,3)．
(2)当x＝1时，y＝1，所画函数图象如图(2)；
由图象知，函数值域为(0,1]．

题型三、画函数图像求值域
(1)图象法是表示函数的方法之一，画函数图象时，以定义域、对应关系为依据，采用列表、描点法作图．当已知式是一次或二次式时，可借助一次函数或二次函数的图象帮助作图．
(2)作图象时，应标出某此关键点，例如，图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点，还是空心点．
变式：
1.本例(1)中，若将函数定义域改为[0，＋∞)，作出函数的图象并求其值域；

2．本例(2)中，若将函数定义域改为(－1,0)∪(0,1)，作出函数图象并求其值域．
练习：试卷5题
【解析】　3.作出y＝2x2－4x－3　x∈[0，＋∞)的图象
(如图1)
由图象知函数的值域为[-5，+∞)．
4．作出y=，x∈(-1,0)∪(0,1)的图象(如图2)
由图象知函数的值域为(-1,0)∪(0，+∞)．
试卷:
填空3
解答2、3、4
课堂小测
1借助图象求函数 的最大值 。

2 已知 求函数 的解析式。

3设函数 ，

若 ，求方程
的解的个数。