1．2　函数及其表示
1．2.2　函数的表示法
第2课时　分段函数与映射
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1．分段函数
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集．
2．映射的概念
设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．
解析：A、B、D均满足映射定义，C不满足集合A中任一元素在集合B中有唯一元素与之对应，且集合A中元素b在集合B中无唯一元素与之对应．
答案：C
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(1)若f(a)＝3，求实数a的值；
(2)若f(m)>m，求实数m的取值范围．
[解]　(1)①当a≤－2时，f(a)＝a＋1，∴a＋1＝3，∴a＝2>－2不合题意，舍去．
②当－2∴(a－1)(a＋3)＝0，∴a＝1，或a＝－3.
∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，
∴a＝1符合题意．
③当a≥2时，2a－1＝3，∴a＝2符合题意．
综合①②③，当f(a)＝3时，a＝1，或a＝2.
解：对分段函数可先处理为若干段常见函数，在转折点的取舍上需格外注意．
可将此函数分成三段，分别画出它们的图象．如图1所示．
[分析]　判断两个集合之间的对应是否为映射，关键判断对于集合A中的任何一个元素，在集合B中是否有唯一的元素和它对应．
[解析]　在A项中，对每一个矩形，它的面积是唯一确定的，所以是映射．B项也符合定义．在C项中，集合A中的负数在B中没有元素和它对应，故也不是映射；在D项中，集合A中的元素0，其倒数不存在，因而0在B中无对应元素，故同样不是映射；故填AB.
[答案]　AB
[点评]　判断一个对应是否是映射要抓住定义中的关键词语“任何”、“都有”、“唯一”．在两个集合间能否建立一个映射，集合中元素的个数并不重要．对于选项B，这里A中各个元素的象的集合是B的子集，即不要求B中每个元素都有原象．
变式体验2　对于下列集合A和B，能否建立从集合A到集合B的映射？如果能，如何建立？
(1)我国内地长途电话自动网的城市组成集合A，长途电话区号组成集合B；
(2)三角形的周长组成集合A，所有三角形组成集合B.
[分析]　从映射的定义去分析：A中元素的任意性，B中元素的唯一性．
[解]　(1)能建立从A到B的映射，对应关系f：每一个城市对应一个区号．
(2)不能建立从A到B的映射，因为对于A中的一个周长，在B中对应着多个三角形．
类型三　　分段函数的应用
[例3]　某市对市内电话收费方法作了调整．调整前的收费方法：以3分钟为计时单位(不足3分钟按3分钟计)，每个计时单位收0.2元；调整后的收费方法：3分钟内(含3分钟)收0.2元，以后每加1分钟加收0.1元．
(1)根据调整后的收费办法，求电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式(t>3时，设t(分钟)表示正整数)；
(2)试画出0(2)由(1)知，当0[点评]　电话费是大家生活中所熟悉的事情，不同的通话时间对应着不同的电话费，其数学模型就是分段函数，本题主要考查分段函数的解析式与图象．
变式体验3　某市电力公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法计算电费：每月用电不超过100度时，按每度0.57元计算；每月用电超过100度时，其中的100度仍按原标准计算，超过部分每度按0.50元计算．
(1)设月用电x度时，应交电费y元，写出y关于x的函数关系式；
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1．分段函数
有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数．
理解分段函数应注意以下几点：
(1)分段函数是一个函数而非几个函数，只不过在定义域的不同子集内解析式不一样；
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．分段函数是一个函数，不是两个或多个函数，其本质是在定义域的不同区间，对应关系不同．
(3)分段函数的每一段或者说区间，可以是等长的，也可以是不等长的．
(4)画分段函数的图象时，要特别注意自变量取区间端点处的函数值情况，这也往往是判断图形是否为分段函数的图象的关键所在．
2．对于含绝对值的函数问题，要先去掉绝对值号化为分段函数，再利用分段函数来解决．
3．映射
首先，要准确理解映射的概念：映射的概念可以概括为“取元任意性，成象唯一性”，即：
①映射的三要素：原象、象、对应关系；
②A中元素不可剩，B中元素可剩；
③多对一行，一对多不行；
④映射具有方向性：f：A→B与f：B→A一般是不同的映射．
其次，要准确把握映射与函数的关系：
(1)联系：映射的概念是在函数的现代定义(集合语言定义)基础上引申、拓展的；函数是一个特殊的映射，反过来，要善于用映射的语言来叙述函数的问题．
(2)区别：函数是非空数集A到非空数集B的映射；而对于映射而言，A和B不一定是数集．
课时作业（8）