引言
语言是沟通人与人之间的联系的,同样的话语又有着不同的表示方法.
比如： 我爱你（中文）
あいしてる （日语）
I love you （英语）
사랑해（韩语）
那么对于函数,又有什么不同的表示方法呢？
函数的表示法
函数的常用表示方法
（1）解析法：
就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。
（2）图象法：
就是用图象表示两个两个变量之间的对应关系。
（3）列表法：
就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系。
例 某种笔记本的单价是5元，买x 个笔记本需要元。试用函数不同表示法表示函数
解：这个函数的定义域是数集｛1，2，3，4，5｝用解析法可将函数y=f(x)表示为
用列表法可将函数表示为
用图象法可将函数表示为下图
．
．
．
.
．
例1 下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表。
注意
1.本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点；
2.本例能否用解析法？为什么？
并不是每个函数都一定能写出它的解析式.
函数的三种表示法的优点：
1、解析法有两个优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值。
2、图象法的优点是直观形象地表示自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，有利我们通过图象研究函数的某些性质。
3、列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。
函数的三种表示法的缺点：
1、解析法的缺点：有些问题有时很难用表达式来表示。
2、图象法的缺点：图像及相对应的点的坐标往往不准确。
3、列表法的缺点：有时应用有一定的局限性。
将三者合理的结合在一起，是我们学习的
主要内容。
例题讲解
1、设集合M={x|0≤x≤2}，集合N={y|0≤y≤2}，给出下列四个图像，其中能表示集合M到N的函数关系的有 .
例题讲解
2、在某洗衣店中，每洗一次衣服（4.5kg以内）需付费4元，如果在这家洗衣店洗衣满12次，则其后可以免费洗一次，如果某人在这家店中洗了16次衣服.
（1）根据题意填写下表：
洗衣次数n 5 8 12 13 16
洗衣费c
（2）“费用c是次数n的函数”还是“次数n是费用c的函数”？
（3）写出当n≤16时的函数的解析式.
例题讲解
3、某水库在防汛期间某一天24小时内的水位变化情况如图所示，该水库的安全水位为50米，警戒水位为60米，纵轴表示实际水位相对于安全水位的水深，根据图像回答下列问题：
（1）这一天水库的最高水位是多少？最低水位是多少？
（2）这一天中，该水库的水位何时是上升阶段？
函数的表示法
引例
国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20g付邮资80分，超过20g而不超过40g付邮资160分，依次类推，每封x g(0解：这个函数的定义域集合是{x|0又如 画出函数y=|x|的图象.
解：由绝对值的概念，我们有
y=
x, x≥0,
-x, x<0.
图象如下：
例6.某市空调公共汽车的票价按下列规则制定：
（1）5公里以内，票价2元；
（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按5公里计算）。

已知两个相邻的公共汽车站间相距为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）有21个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象。
解：设票价为y，里程为x，则根据题意，
如果某空调汽车运行路线中设21个汽车站，那么汽车行驶的里程约为20公里，所以自变量x的取值范围是（0，20]
由空调汽车票价的规定，可得到以下函数解析式：
y=
2, 03, 5≤x<10
4, 10≤x<15
5, 15≤x≤20
x∈N*
根据函数解析式，可画出函数图象，如下图
有些函数在它的定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常称为分段函数。
分段函数
象上面三例中的函数，称为分段函数．
注意：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而是写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．
作出下列函数的图像
（1）y=|x+2|-|x-5|
(2) y=|x-5|+|x+3|
3. 某质点在30s内运动速度vcm/s是
时间t的函数,它的
析式表示出这个
质点的速度.
函数, 并求出9s时
10
20
30
10
30
v
t
图像如下图.用解
O
问题探究
解 解析式为v (t)=
t+10, (0 ≤ t<5)
3t, (5 ≤ t＜10)
30, ( 10 ≤t ＜20)
t=9s时,v(9)=3×9=27 (cm/s)
-3t+90,(20 ≤ t≤30)
4. 已知函数f (x)=
2x+3, x＜－1,
x2, －1≤x＜1,
x－1, x≥1 .
求f{f[f(－2)]} ;（复合函数）
(2) 当f (x)=－7时,求x ;
问题探究
提高训练
以下叙述正确的有（ ）
(1)分段函数的定义域是各段定义域的并集。值域是各段值域的并集。
(2)分段函数在定义域的不同部分有不同的对应法则，但它是一个函数。
（3）若D1、D2分别是分段函数的两个不同对应法则的值域，则D1∩ D2 ≠φ也能成立。
A 1个 B 2个 C 3个 D 0个
思考交流
C
2. 设A=[0,2], B=[1,2], 在下列各图
中, 能表示f:A→B的函数
是( ).
x
x
x
x
y
y
y
y
0
0
0
0
2
2
2
2
2
2
2
2
A
B
C
D
D
思考交流
3. 已知函数f (x)=
x+2, (x≤－1)
x2, (－1＜x＜2)
2x, ( x≥2 )
若f(x)=3, 则x的值是( )
A. 1
B. 1或
C. 1, ,
D.
D
思考交流
4.等腰梯形ABCD的两底分别为AD=2，BC=1，∠BAD=45°,直线MN交AD于M，交折线ABCD于N，记AM=x，试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域。
函数的表示法
映射
映射：设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射 记作：f:A→B.
象、原象：给定一个集合A到集合B的映射，且
，如果元素a和元素b对应，则元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象
由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射。
3
－3
2
－2
1
－1
9
4
1
9
4
1
3
－3
2
－2
1
－1
1
2
3
4
5
6
1

2

3
映射f:A→B，可理解为以下4点：
1、A中每个元素在B中必有唯一的象
2、对A中不同的元素，在B中可以有相同的象
3、允许B中元素没有原象
4、A中元素与B中元素的对应关系，可以是：一对一，多对一，但不能一对多
例3判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？
（1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则f:x→2x+1;
（2）设 ，对应法则 f:x→x除以2得的余数;
（3） 对应法则 f:x→x被3除得的余数;
（4）设 对应法则 f:x→x取倒数；
（5） ，对应法则 f:x→小于x的最大质数；
例7 以下给出的对应是不是从集合A到B的映射?
(1)集合A=｛P|P是数轴上的点｝，集合B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；

(2)集合A＝｛P|P是平面直角坐标系中的点｝，集合B＝ ，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；

(3)集合A＝ ｛x|x是三角形｝，集合B＝｛x|x是圆｝，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；

(4)集合A＝｛x|x是新华中学的班级｝，集合B＝｛x|x是新华中学的学生｝，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生；
知识应用
1. 已知集合A＝{x│x≠0，x∈R}，B＝R，对应法则是“取负倒数”(1) 画图表示从集合A到集合B的对应（在集合A中任取四个元素）；(2) 判断这个对应是否为从集合A到集合B的映射；是否为一一映射？(3) 元素－2的象是什么？－3的原象是什么？(4) 能不能构成以集合B到集合A的映射？
2. 点(x，y)在映射f下的象是(2x－y，2x＋y)，
(1)求点（２，３）在映射f下的像；
（２）求点(4，6)在映射f下的原象.
知识应用
3.设集合A＝{1,2,3,k},B＝{4,7,a4,a2＋3a},其中a,k∈N,映射f:A→B，使B中元素y＝3x＋1与A中元素x对应，求a及k的值.
a＝2 , k＝5
(1)点(2,3)在映射f下的像是(1,7);
(2)点（4，6）在映射f下的原象是（5/2，1）
.判断下列对应是否Ａ到Ｂ的映射和一一映射？
问题探究
本节小结
1、函数的三种表示法及其各种的优点
2、分段函数
3、映射的概念