集　　合
1.1.2　集合间的基本关系
第一课时
实数有相等关系、大小关系，如5＝5，5＜7，5＞3，等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间的什么关系？
思考
观察下列各组集合中A与B之间的关系？
(1) A＝｛－1，1｝，B＝｛－1，0，1，2｝;
(2)A=N,B=R;
(3)A={x|x为北京人｝，B={x|x为中国人｝.
集合A的任意一个元素都是集合B的元素.
（若a∈A，则必有a∈B）
1.子集的定义
　　
如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（若a∈A，则a∈B），则称集合A为集合B的子集. 记为
或
下列集合A、B中，集合A是B的子集吗？
(1) A＝｛－1，1，0｝，B＝｛－1，0，1｝;
练习1
1.若A={1，2，3}则（ ）
A、1 A B、1 A
C、{1} A D、{1} A
D
2.已知集合A={－4，－1，m}，集合B={－4，5}，
若B A，则实数m=（ ）
5
①子集的传递性！
子集的性质
③空集是任何集合的子集
所以，不能说A是B中的部分元素所组成的集合！！
2、真子集
对于两个集合A与B，如果A  B，并且A≠B，我们就说集合A是集合B的真子集。读着“A真包含于B，B真包含A”。
记作
提问：（1）写出N，Z，Q，R的包含关系，并用Venn图表示
Q
Z
N
R
(1)集合A是集合B的真子集，即A是B的子集，并且B中至少存在一个元素 A的元素；
(2)子集包括真子集和相等两种情况；
(3)空集∅是任何 集合的真子集；
不是
说明：
非空
说说子集和真子集的区别？？
3、等集
对于两个集合A和B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A＝B。
如果A  B，同时B  A，那么A＝B。
空集是任何集合的子集。
空集是任何非空集合的真子集。
任何一个集合是它本身的子集。
对于集合A，B，C，如果A  B且B  C，那么A  C。
如果A  B，同时B  A，那么A＝B。
1、判断下列写法是否正确
①   A
③ A  A
①   A
③ A  A
解析：
课堂练习
2、下列命题正确的有几个
（1）空集没有子集；
（2）任何集合至少有两个子集；
（3）空集是任何集合的真子集；
（4）若 的元素个数为零
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
B
（空集是任何非空集合的真子集）
3、下列写法中正确的是（ ）
3、4、6
课堂练习
【课堂小结】
（1）子集与真子集符号的方向。
（2）易混符号
①“”与“”：元素与集合之间是属于关系；
集合与集合之间是包含关系。
如：1  N，—1N，Φ  R，{1} {1，2，3}
②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，
Φ是不含任何元素的集合。
如：Φ  {0}。不能写成Φ={0}，Φ∈{0}
【注意点】
集　　合
1.1.2　集合间的基本关系
第二课时
1．学习子集的概念要特别注意概念中“任何一个元素”而不是某些元素．
2．正确区别各种符号的含义．
(1)∈与⊆的区别
∈表示元素与集合之间的关系，因此有1∈N，－1∉N等；⊆和 表示集合与集合之间的关系，因此有N⊆R，∅ R等，要正确区分属于和包含关系．
回顾知识
(2)a与{a}的区别
一般地，a表示一个元素，而{a}表示只有一个元素a的集合，因此有1∈{1,2,3},0∈{0}，{1} {1,2,3}，a∈{a，b，c}，{a}⊆{a，b，c}．
(3)空集是集合中的特殊现象，A⊆B包括A＝∅的情形容易漏掉，解题时要特别留意．(空集优先)
(4){0}与∅的区别
{0}是含有一个元素0的集合，∅是不含任何元素的集合，因此有∅ {0}，∅＝{0}与∅∈{0}都是错误的．要正确地判断元素与集合，集合与集合之间的关系．
3．正确地理解子集、真子集的概念
如果A是B的子集(即A⊆B)，那么有A是B的真子集(A B)或A与B相等(A＝B)两种情况．“A B”和“A＝B”二者必居其一．反过来，A是B的真子集(A B)也可以说A是B的子集(A⊆B)；A＝B也可以说A是B的子集(A⊆B)．要注意A⊆B与B⊇A是同义的，而A⊆B与B⊆A是不同的．
4．用Venn图表达集合与集合之间的关系直观、方便，尤其是抽象集合之间关系的问题，常用Venn图求解．
1.（1）分别写出下列各集合的子集及其个数：
，{a}，{a，b}，{a，b，c}.
（2）由（1）猜想：当集合M中含有n个元素时，则集合M有多少个子集?
练习
解： 写时应注意空集优先、按照顺序来。
（1） 的子集： ，即1个子集；
{a}的子集： ，{a}，即2个子集；
{a，b}的子集： ，{a}，{b}，{a，b}，即4个子
集；
{a，b，c}的子集： ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，
{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，即8个子
集。
（2）由（1）可知，当n=0时，有1= 个子集；
当n=1时，有2= 个子集；
当n=2时，有4= 个子集；
当n=3时，有8= 个子集。
… … …
因此，含有n个元素的集合M有 个子集。
★集合M中有n个元素，则集合M有 个子集，
有 个真子集。
{1，2} {1，2，3} {1，2，4} {1，2，3，4}
∈
=
∈
4. 设集合A={x|1≤x<4}，B={x|x－a<0}
若A是B的真子集，求实数a的取值范围。
利用数轴一目了然！
a ≥4
思路点拨：讨论B是否为空集→（借助数轴）列不等式→求得m的取值范围。
B是否为空集
2m－1≥m＋1
m≥2
B是不为空集
验证等号是否满足
实数m的范围为{m∈R|m≥－1}
[分析]　解题的关键是确定出a与 的大小，正确使用“属于”、“包含”等符号．
A
新知
(1)∵A＝{奇数},4n±1(n∈Z)必是奇数，∴B⊆A.
又∵当m为偶数时，设m＝2n(n∈Z)，
则2m－1＝4n－1；
当m为奇数时，设m＝2n＋1(n∈Z)，则2m－1＝4n＋1.
由此可见，不论m是何整数，2m－1∈B.
故A⊆B.综上所述，A＝B.
[例2]　判定下列集合之间是否具有包含或相等关系：

(1)A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，

B＝{x|x＝4n±1，n∈Z}，
(2)A＝{x|x＝－a2－4，a∈R}，

B＝{y|y＝－b2－3，b∈R}，
(2)∵－a2－4≤－4，－b2－3≤－3，
∴A＝{x|x≤－4}，B＝{y|y≤－3}．
∴A B.
(3)∵若x＞0，y＞0，则必有x＋y＞0，∴B⊆A.
又∵若x＝－1，y＝2时，x＋y＞0，∴(－1,2)∈A.
又∵x＝－1＜0，∴(－1,2)∉B，∴B A.
(3)A＝{(x，y)|x＋y＞0，x∈R，y∈R}，
B＝{(x，y)|x＞0，y＞0，x，y∈R}．
总结评述：①如果要证明A＝B，只要证明A⊆B与B⊆A同时成立即可．
②已知A⊆B，证明A B，并不需要将属于B而不属于A的所有元素无一遗漏地全部列出，只要举出一个即可．同理要说明A⊆B成立，须给出严格的证明过程，但要说明A⊆B不成立，只要能找出一个元素x0∈A，但x0∉B即可．
③注意集合表示的意义，它与表示集合时所采用字母的名称无关．
[例3]　已知M＝{x|x＞1}，N＝{x|x＞a}，且M N，则(　　)
A．a≤1 B．a＜1
C．a≥1 D．a＞1
[分析]　为了形象直观地表示集合的关系．可借助数轴，让a在x轴上运动，通过观察归纳M与N的关系，进而得出1与a的关系．
[解析]　随着a在x轴上运动，集合N也在变化，满足M N的情况如图，显见a＜1，故选B.
已知A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜a}
(1)若B⊆A，则a的取值范围是________；
(2)若A⊆B，则a的取值范围是________；
(3)若A B，则a的取值范围是________；
(4)若A＝B，则a的值是________．
a≤3
a≥3
a>3
3
[例4]　设集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}，若B⊆A，求实数a的值．

[分析]　B⊆A包括B＝A与B A两种情形．当B＝A时，集合B中一元二次方程有两实根0和－4；当B A时，有B＝∅或B中一元二次方程有两相等实根0(或－4)．
[解析]　A＝{－4,0}
1°若B＝A，则－4,0是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两根，∴a＝1.
2°若B＝∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，
∴a＜－1，
3°若B中只有一个元素，则Δ＝0，
∴a＝－1，
经验证a＝－1时，B＝{0}满足．
综上所述a＝1或a≤－1.
[点评]　①B A时，容易漏掉B＝∅的情况；
②B＝{0}或{－4}易造成重复讨论，应直接由Δ＝0，求得a值再验证B A是否成立；
③分类讨论应按同一标准进行．
本题解答中，实际是按Δ>0，Δ＝0，Δ<0讨论B中方程解的情况的．Δ>0对应B＝A；Δ＝0对应B＝{0}或B＝{－4}；Δ<0对应B＝∅.
若非空集合A＝{x|x2＋px＋q＝0}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，且B⊇A，求p、q满足的条件．

[解析]　因为B＝{1,2}，A⊆B，A≠∅.
∴A＝{1}，{2}或{1,2}．
(1)A＝{1,2}时，p＝－3，q＝2；
(2)A＝{1}时，p＝－2，q＝1；
(3)A＝{2}时，p＝－4，q＝4.
[例5]　已知集合A＝{x，xy，x－y}，集合B＝{0，|x|，y}，若A＝B，求实数x，y的值．

[分析]　有限集合的相等，即集合中的元素一一对应相等，可以由此建立关于x、y的方程组来解决问题．
[解析]　(1)∵0∈B，A＝B，∴0∈A，
又由集合中元素的互异性，
可以断定|x|≠0，y≠0，
∴x≠0，xy≠0，故x－y＝0，
即x＝y，
此时A＝{x，x2，0}，B＝{0，|x|，x}，
∴x2＝|x|，当x＝1时x2＝1矛盾，
∴x＝－1，
∴x＝y＝－1.
*
(江苏苏北四市2010模拟)已知集合A＝{0，2，a2}，B＝{1，a}，若A∪B＝{0，1，2，4}，则实数a的值为______．

[答案]　2

[解析]　∵A∪B＝{0，1，2，4}，∴a＝4或a2＝4，若a＝4，则a2＝16，但16∉A∪B，∴a2＝4，∴a＝±2，
又－2∉A∪B，∴a＝2.
[例6]　若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B A，求m的值．

[错解]　A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，
∵B A，∴mx＋1＝0的解为－3或2.
[辨析]　要解答本题，首先要搞清楚集合A的元素是什么，然后根据B A，求m的值．
在这里未考虑“B＝∅，即方程mx＋1＝0无解”这一情形导致错误．
一、选择题
1．下列四个命题：①空集没有子集；②空集是任何集合的真子集；③任何集合至少有两个子集；④若∅ A，则A≠∅，其中正确的个数是(　　)
A．1个　　　 B．2个
C．3个 D．4个
[答案]　A
[解析]　空集是本身的子集，但不是本身的真子集，它只有本身这一个子集，故①②③错，只有④正确．
二、解答题
2．设集合A＝{－1,1}，试用列举法写出下列集合．
(1)B＝{x|x∈A}；
(2)C＝{(x，y)|x，y∈A}；
(3)D＝{x|x⊆A}．
[解析]　(1)B＝{－1,1}．
(2)C＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，
(1，1)}．
(3)D＝{∅，{－1}，{1}，{－1，1}}．
3．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，非空集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A，求m的取值集合．
[解析]　∵B⊆A且B≠∅，

故所求集合为{m|2≤m≤3}．
若把条件B⊆A，改为(1)B A或(2)A B，请再求实数m的取值集合．
4．已知集合A＝{1，3，5}，求集合A的所有子集的元素之和．
[分析]　先写出集合A的所有子集，再求这些子集的所有元素之和．
[解析]　集合A的子集分别是：∅，{1}，{3}，{5}，{1，3}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}．注意到A中的每个元素x出现在A的4个子集中，即在其和中出现4次．故所求之和为(1＋3＋5)×4＝36.