1.1.2 集合间的基本关系
一、子集的有关概念
1.Venn图
通常用平面上_________的内部代表集合.
用Venn图表示集合的优点：形象直观.
封闭曲线
2.子集
(1)自然语言：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中
____一个元素____集合B中的元素，我们就说这两个集合有
_____关系，称集合A为集合B的子集.
(2)符号语言：记作______(或____)，读作“_______”(或
“B包含A”).
(3)图形语言：用Venn图表示.
任意
都是
A⊆B
A含于B
包含
B⊇A
3.真子集
如果集合_____，但存在元素x∈B，且____，我们称集合A是
集合B的真子集，记作_____(B A).
4.集合相等
如果集合A是集合B的____(A⊆B)，且集合B是集合A的
____(B⊆A)，此时，集合A与集合B中的元素是____的，因此
集合A和集合B相等，记作_____.
思考：“∈”与“⊆”有什么区别？
提示：“∈”表示元素与集合之间的关系，而“⊆”表示集
合与集合之间的关系.
A⊆B
x∉A
子集
子集
一样
A=B
A B
二、空集及集合间关系具有的性质
1.空集：指的是____________的集合，记作__，并规定：
空集是________的子集.
2.集合间关系具有的性质
(1)任何一个集合是它本身的_____，即______.
(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C,那么_____.
不含任何元素
∅
任何集合
子集
A⊆A
A⊆C
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)集合{0}是空集.( )
(2)集合{x|x2+1=0,x∈R}是空集.( )
(3)空集没有子集.( )
提示：(1)错误.集合{0}含有一个元素0，是非空集合.
(2)正确.由于方程x2+1=0在实数范围内无解，故此集合是空集.
(3)错误.空集是任何集合的子集，也是它本身的子集.
答案：(1)× (2)√ (3)×
【知识点拨】
1.对子集概念的理解
(1)“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B.
(2)不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为当A=∅时，A⊆B，但A中不含任何元素；又当A=B时，也有A⊆B，但A中含有B中所有元素，这两种情况都有A⊆B.
2.对真子集的理解
对真子集概念的理解关键是“真”字，它包括两个方面：首先是某集合的子集，其次不能与原集合相等.
3.对集合相等的理解
(1)从元素的特征出发表达两个集合相等，即集合A中的元素和集合B中的元素相同，则这两个集合相等.
(2)从两个集合的关系出发表达两个集合相等，即A⊆B，则对任意x∈A都有x∈B，同时B⊆A，则对任意x∈B都有x∈A，这说明两个集合的元素是相同的，即两集合相等.
4.对空集的理解
(1)空集首先是集合，只不过此集合中不含任何元素.
(2)规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
因此遇到诸如A⊆B，A B的问题时，务必优先考虑A=∅是否
满足题意，这也是初学者极易出错的地方.
5.对集合间关系具有的性质的两点说明
(1)对于任何一个集合是它本身的子集的性质要时刻牢记.
(2)集合间的包含关系满足传递性，同样，集合间的真包含关
系也具有传递性，即A B,B C,则A C.
类型 一 子集的有关概念
【典型例题】
1.(2013·邵阳高一检测)集合{a,b}的子集个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.若集合{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4}，试写出满足条件的所有的集合M.
【解题探究】1.一个集合的子集可以与其相等吗？空集是它的子集吗？
2.题2中满足条件的集合M一定含有哪些元素，可能含有哪些元素？
探究提示：
1.一个集合的子集可以与其相等，也可以是空集.
2.据条件分析，集合M一定含有元素1，2，可能含有元素3，4.
【解析】1.选D.当子集不含元素时，即为∅；当子集中含有一
个元素时，其子集为{a},{b}；当子集中有两个元素时，其子
集为{a,b}.
2.由于{1,2}⊆M，故1,2∈M，又M⊆{1,2,3,4}，所以符合条
件的集合M有：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}.
【互动探究】若把题2已知条件改为“已知{1，2}⊆M
{1,2,3,4}”，则这样的集合M又有几个？
【解析】∵{1,2}⊆M,∴M中至少有1，2两个元素，又M
{1,2,3,4}，故集合M可以是{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}.
【拓展提升】求一个集合子集个数的规律及注意点
(1)规律：含有n(n≥1且n∈N)个元素的集合的子集有2n个，有2n-1个真子集，有2n-2个非空真子集.
(2)注意点：解决此类问题时应注意两个比较特殊的集合，即∅和集合本身.
【变式训练】(2013·冀州高一检测)同时满足：
①M⊆{1,2,3,4,5},②若a∈M,则6-a∈M的非空集合M有( )
A.16个 B.15个 C.7个 D.6个
【解析】选C.∵1+5=2+4=3+3=6,∴集合M可能为单元素集合：{3}；二元素集合：{1,5},{2,4}；三元素集合：{1,3,5}, {2,3,4},四元素集合:{1,2,4,5},五元素集合：{1,2,3,4,5}，共7个.
类型 二 集合间的包含关系的判断
【典型例题】
1.(2013·亳州高一检测)下列关系中，表示正确的是( )
A.1∈{0,1} B.1 {0,1}
C.1⊆{0,1} D.{1}∈{0,1}
2.集合P={x|y=x2}，集合Q={y|y=x2}，则P与Q的关系为( )
A.P⊆Q B.Q⊆P
C.P=Q D.以上都不对
3.集合A＝{2n＋1|n∈Z}，集合B＝{4k±1|k∈Z}，则A与B间的关系是( )
A.A∈B B.A B
C.A∉B D.A=B
【解题探究】1.表示元素与集合、集合与集合之间的关系分别用什么符号表示？
2.题2中判断两个集合之间的关系时，应先怎样处理集合？
3.题3当n，k∈Z时，2n＋1，4k±1分别表示什么数？
探究提示：
1.表示元素与集合之间的关系用符号∈，∉表示，表示集合与集合之间的关系用⊆, 表示.
2.在判断两个集合之间的关系时，要先对集合进行分析、化简，使每个集合的表现形式最简洁.
3.当n，k∈Z时，2n＋1表示奇数；4k±1也表示奇数.
【解析】1.选A. 、⊆表示集合之间的关系，故B,C错误；∈表示元素与集合之间的关系，故D错误.
2.选B.∵P={x|y=x2}={x|x∈R}，
Q={y|y=x2}={y|y≥0}，故Q⊆P.
3.选D.∵整数包括奇数与偶数，∴n＝2k或2k－1(k∈Z)，当n＝2k时，2n＋1＝4k＋1，当n＝2k－1时，2n＋1＝4k－1，故
A＝B.
【拓展提升】集合间关系的判断方法
(1)判断A⊆B的常用方法，一般用定义法，即说明集合A中的
任何一个元素都是集合B中的元素.
(2)判断A B的方法，可以先判断A⊆B，然后说明集合B中存
在元素不属于集合A.
(3)判断A=B的方法，可以证明A⊆B，且B⊆A；也可以证明两
个集合的元素完全相同.
【变式训练】(2013·肇庆高一检测)下列各组集合M与N中，表示相等集合的是( )
A.M={(0,1)},N={0,1}
B.M={(0,1)},N={(1,0)}
C.M={(0,1)},N={(x,y)|x=0且y=1}
D.M={π},N={3.14}
【解析】C.对A，由于集合M是点集，集合N是数集，故M和N不相等；对B，虽然都是点集，但元素表示不同的点，故M和N不相等；对D，由于π是无理数，3.14是有理数，故M和N不相等.
类型 三 由集合间的关系求参数问题
【典型例题】
1.(2013·长春高一检测)已知集合A={2,9},B={m2,2}，若A=B,则实数m的值为( )
A.3 B.2 C.± D.±3
2.已知集合A={x|a＜x＜5},B={x|x≥2}，且满足A⊆B，求实数a的取值范围.
【解题探究】1.两个集合相等，其元素有什么关系？
2.当两集合是连续数集时，如何确定它们的包含关系？
探究提示：
1.两个集合相等，其元素是相同的.
2.两个集合为连续数集时，可用数轴来分析它们的关系，并以此来确定它们的包含关系.
【解析】1.选D.∵A={2,9},B={m2,2},A=B，
∴m2=9，m=±3.
2.①当a≥5时，A=∅，此时有A⊆B;
②当a＜5时，要使A⊆B，如图，需a≥2，所以2≤a＜5.
综上，a的取值范围为a≥2.
【拓展提升】由集合间的关系求参数的方法及注意点
(1)对于用列举法表示的集合，根据集合间的包含关系，可直接转为元素间的关系，此时应注意元素的互异性.
(2)对于用描述法表示的集合，特别是元素个数无限的数集，可借助于数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，此时要注意对端点值验证.
【变式训练】已知集合A={x|-3≤x≤4}，集合B={x|2m-1＜x
＜m+1}，且B⊆A，求实数m的取值范围.
【解题指南】可就集合B是否为空集进行讨论，根据B⊆A列出
有关不等式(或组)，进而求出实数m的取值范围.
【解析】∵B⊆A，(1)当B=∅时，即2m-1≥m+1，亦即m≥2时，
满足要求.
(2)当B≠∅时，则有 解得-1≤m＜2.
综上所述，实数m的取值范围是m≥-1.
【规范解答】根据集合间的关系求参数取值范围问题
【典例】
【条件分析】
【规范解答】(1)当a=0时，A=∅ ①,满足条件.…………3分
(2)当a≠0时，分两种情况:
①a>0时，A={x| ∵A⊆B,且a>0,∴ ∴a≥2.……………………7分
②当a<0时，A={x|
∵A⊆B,∴ ∴a≤-2.…………………………11分

综上可知，a≤-2或a=0或a≥2.…………………………12分
【失分警示】
【防范措施】
1.特别关注空集
此题含有条件A⊆B，解答此类含有集合包含关系的问题时，一定要考虑集合A是否为空集，此类问题往往因为对空集的关注不够而出现不必要的失误.
2.分类讨论的意识
本题中由于a的取值未限定，因而要考虑不等式组解的情况，即需要分a=0,a＞0,a＜0三种情况讨论，也就是在解题时要有分类讨论的意识.
【类题试解】已知集合P={x|x2+x-6=0}，M={x|mx-1=0}，若
M P，求满足条件的实数m取值的集合Q．
【解析】P={x|x2+x-6=0}={-3,2}.∵M P，∴M=∅或M≠∅.
(1)当M=∅，即m=0时，满足M P.
(2)当M≠∅，即m≠0时，M={x|mx-1=0}={ }，M P，则必有
=-3或2，解得m= 或 .
综上所述，Q={0, , }.
1.下列集合不是{0,1}的真子集的是( )
A.{1} B.{0} C.{0,1} D.∅
【解析】选C.集合不是它本身的真子集，故选C.
2.已知集合M={1}，N={1，2，3}，能够准确表示集合M与N之
间关系的是( )
A.M＜N B.M∈N
C.N⊆M D.M N
【解析】选D.集合M中元素都在集合N中，但是N中元素
2，3∉M，∴M N．
3.已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<8,x∈N},用适当符号填空：
A____B，A_______C，{2}______C,2________C.
【解析】A={1,2}，B＝{1,2}，C={0,1,2,3,4,5,6,7}，
∴A=B，A C，{2} C，2∈C.
答案：= ∈
4.设集合A={x|x是等腰三角形}，B={x|x是三角形}，C={x|x
是等边三角形}，则A，B，C之间的关系是_________.
【解析】等边三角形一定是等腰三角形，等腰三角形一定是
三角形，所以C A B.
答案：C A B
5.已知集合A={x|x-7≥2},B={x|x≥5}，化简集合A，并判断
集合A,B的关系.
【解析】A={x|x-7≥2}={x|x≥9}，又B={x|x≥5},∴A B.