1．1.2　集合间的基本关系
1．观察下面几组集合，集合A与集合B具有什么关系？
(1)A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4,5}．
(2)A＝{x|x＞3}，B＝{x|3x－6＞0}．
(3)A＝{正方形}，B＝{四边形}．
对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么称集合A是集合B的 ，记作A⊆B(或B⊇A)．用图表示为
．
子集
用平面上封闭曲线的 表示集合的方法称作图示法．这种图称作Venn图．
2．理解子集概念注意以下几点：
(1)不含任何元素的集合称作空集．规定： 是任何集合的子集．
(2)任何一个集合是它本身的子集．
(3)对于集合A、B、C，如果A⊆B，B⊆C，那么A C；
内部
空集
⊆
(4)集合A不包含于集合B(A B)包括如下图所示几种情况：
3．集合相等与真子集
如果集合A的所有元素都是集合B的元素，同时集合B的所有元素都是集合A的元素，那么就称集合A等于集合B.(即：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B)
如果集合A是集合B的子集，并且存在x∈B，且 ，则称A是B的真子集．
值得说明的是：
x∉A
(1)集合A是集合B的真子集，即A是B的子集，并且B中至少存在一个元素 A的元素；
(2)子集包括真子集和相等两种情况；
(3)空集∅是任何非空集合的真子集；
不是
A
[例2]　判定下列集合之间是否具有包含或相等关系：
(1)A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，
B＝{x|x＝4n±1，n∈Z}，
(2)A＝{x|x＝－a2－4，a∈R}，
B＝{y|y＝－b2－3，b∈R}，
(3)A＝{(x，y)|x＋y＞0，x∈R，y∈R}，
B＝{(x，y)|x＞0，y＞0，x，y∈R}．
[例3]　已知M＝{x|x＞1}，N＝{x|x＞a}，且M N，则
(　　)
A．a≤1 B．a＜1
C．a≥1 D．a＞1
[分析]　为了形象直观地表示集合的关系．可借助数轴，让a在x轴上运动，通过观察归纳M与N的关系，进而得出1与a的关系．
[解析]　随着a在x轴上运动，集合N也在变化，满足MN的情况如图，显见a＜1，故选B.
总结评述：要特别注意a能否取到1，若把其它条件不变，分别只改以下条件时，结论如何：
①M＝{x|x≥1}；②N＝{x|x≥a}；③M⊆N；④M⊇N；⑤M N.
已知A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜a}
(1)若B⊆A，则a的取值范围是________；
(2)若A⊆B，则a的取值范围是________；
(3)若AB，则a的取值范围是________；
(4)若A＝B，则a的值是________．
[答案]　(1)a≤3　(2)a≥3　(3)a>3　(4)3
[解析]　(1)若B⊆A应满足a≤3；
(2)若A⊆B应满足a≥3；
(3)AB应满足a>3；
(4)若A＝B则a＝3.
[例4]　设集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}，若B⊆A，求实数a的值．
[分析]　B⊆A包括B＝A与BA两种情形．当B＝A时，集合B中一元二次方程有两实根0和－4；当B A时，有B＝∅或B中一元二次方程有两相等实根0(或－4)．
[解析]　A＝{－4,0}
1°若B＝A，则－4,0是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两根，∴a＝1.
2°若B＝∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，
∴a＜－1，
3°若B中只有一个元素，则Δ＝0，∴a＝－1，
经验证a＝－1时，B＝{0}满足．
综上所述a＝1或a≤－1.
[点评]　①BA时，容易漏掉B＝∅的情况；
②B＝{0}或{－4}易造成重复讨论，应直接由Δ＝0，求得a值再验证BA是否成立；
③分类讨论应按同一标准进行．
本题解答中，实际是按Δ>0，Δ＝0，Δ<0讨论B中方程解的情况的．Δ>0对应B＝A；Δ＝0对应B＝{0}或B＝{－4}；Δ<0对应B＝∅.
若非空集合A＝{x|x2＋px＋q＝0}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，且B⊇A，求p、q满足的条件．
[解析]　因为B＝{1,2}，A⊆B，A≠∅.
∴A＝{1}，{2}或{1,2}．
(1)A＝{1,2}时，p＝－3，q＝2；
(2)A＝{1}时，p＝－2，q＝1；
(3)A＝{2}时，p＝－4，q＝4.
[例5]　已知集合A＝{x，xy，x－y}，集合B＝{0，|x|，y}，若A＝B，求实数x，y的值．
[分析]　有限集合的相等，即集合中的元素一一对应相等，可以由此建立关于x、y的方程组来解决问题．
[解析]　(1)∵0∈B，A＝B，∴0∈A，又由集合中元素的互异性，可以断定|x|≠0，y≠0，
∴x≠0，xy≠0，故x－y＝0，即x＝y，此时A＝{x，x2,0}，B＝{0，|x|，x}，
∴x2＝|x|，当x＝1时x2＝1矛盾，∴x＝－1，
∴x＝y＝－1.
(江苏苏北四市2010模拟)已知集合A＝{0,2，a2}，B＝{1，a}，若A∪B＝{0,1,2,4}，则实数a的值为______．
[答案]　2
[解析]　∵A∪B＝{0,1,2,4}，∴a＝4或a2＝4，若a＝4，则a2＝16，但16∉A∪B，∴a2＝4，∴a＝±2，
又－2∉A∪B，∴a＝2.
[例6]　(1)A＝{a，b，c}，求集合A子集的个数．
(2)若集合A含有的元素分别为1个、2个、4个、5个，则集合A的子集的个数分别是多少？
*(3)根据上面结果猜测集合A含有n个元素时，集合A子集的个数．
[解析]　(1)确定集合A各种情形子集的个数：含有一个元素时子集为{a}，{b}，{c}共3个，含有两个元素时子集为{a，b}，{a，c}，{b，c}共3个，含有3个元素时子集为{a，b，c}共1个，另外还有空集∅，因此集合A共有8个子集．
(2)按上述方法，当集合A含有1个元素时子集个数为2，含有两个元素时子集个数为4，含有4个元素时子集个数为16，含有5个元素时子集个数为32.
(3)将上述子集个数整理为21,22,23,24,25，猜测当集合A含有n个元素时子集个数为2n.
[例7]　若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，BA，求m的值．
[错解]　A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，
∵BA，∴mx＋1＝0的解为－3或2.
[辨析]　要解答本题，首先要搞清楚集合A的元素是什么，然后根据B A，求m的值．
在这里未考虑“B＝∅，即方程mx＋1＝0无解”这一情形导致错误．
一、选择题
1．下列四个命题：①空集没有子集；②空集是任何集合的真子集；③任何集合至少有两个子集；④若∅ A，则A≠∅，其中正确的个数是(　　)
A．1个　B．2个 C．3个 D．4个
[答案]　A
[解析]　空集是本身的子集，但不是本身的真子集，它只有本身这一个子集，故①②③错，只有④正确．
[答案]　D
二、解答题
3．设集合A＝{－1,1}，试用列举法写出下列集合．
(1)B＝{x|x∈A}；
(2)C＝{(x，y)|x，y∈A}；
(3)D＝{x|x⊆A}．
[解析]　(1)B＝{－1,1}．
(2)C＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}．
(3)D＝{∅，{－1}，{1}，{－1,1}}．
4．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，非空集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A，求m的取值集合．
[解析]　∵B⊆A且B≠∅，
故所求集合为{m|2≤m≤3}．
若把条件B⊆A，改为(1)B A或(2)A B，请再求实数m的取值集合．
5．已知集合A＝{1,3,5}，求集合A的所有子集的元素之和．
[分析]　先写出集合A的所有子集，再求这些子集的所有元素之和．
[解析]　集合A的子集分别是：∅，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}．注意到A中的每个元素x出现在A的4个子集中，即在其和中出现4次．故所求之和为(1＋3＋5)×4＝36.