七 数学广角
五年级数学下册
其中一瓶少3片。
打开瓶子数一数
用手掂一掂，比较轻的就是少的那一瓶。
用秤称
像这种比较轻的物品，
我们一般借助天平来
测量它的重量。
天 平
次品
2瓶
结论：两瓶可以一次找出次品。
在生活中我们常常会遇到这样的情况，在一些外观看似相同的物品中，混着一个质量不同轻一点或重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，像这类问题我们把它叫做“找次品”。
其中一瓶少3片。
次品
1
2
在天平的左右两边各放1瓶，如果不
平衡，说明次品就在翘起来的那边。
3瓶
次品
1
2
3
结论：三瓶也可以一次找出次品。
如果平衡，说明次品就是另外一瓶。
3瓶
这样称能找出次品吗？为什么？
放在天平两边物体的个数应相同。
1
2
3
四瓶可以怎么找呢？
4瓶
次品
次品
次品
结论：四瓶要两次才可以找出次品。
这里有 5 瓶钙片，其中 1 瓶少了 3 片，设法
把它找出来。
这里有 5瓶口香糖，其中 1 瓶少了3片，用天平秤来称，几次保证找到。
小组合作讨论：
（1）把物品分成几份？每份是多少？
（2）假如天平平衡，次品在哪里？
（3）假如天平不平衡，次品在哪里？
（4）至少称几次，能保证找出次品来？
3瓶还要1次
（推想）
不平衡
平衡
至少称几次能保证找出这瓶次品？
次数：2次
5瓶钙片，有1瓶少了几粒，用天平称
5瓶钙片，有一瓶少了几粒，用天平称
（推想）
不平衡
平衡
至少称几次能保证找出这瓶次品？
次数：2次
5瓶至少称2次能保证找出这瓶次品
如果用5（2，2，1），天平如果第一次就平衡，那剩下的那个就是次品，就只要称1次。
也就是说这是偶然情况，如果我们要保证一定能从5个零件当中找到1个次品，就需要2次。

这里有5瓶木糖醇，其中一瓶少了3片，设法把它找出来。
3
5
（2，2，1）
（1，1，1，1，1）
2
2
在9个零件里有 1 个是次品(次品重一些)，用天平称，至少称几次就一定能找出次品来?
（1次）
（3次）
（2次）
（至少三次）
1
观察实验记录，你能发现什么?
2，2，2，2，1
2，2，2，3
4，4，1
5
4
3
3
3，3，3
3
3
3
2
利用天平找次品的时候，
把待分的物品分成3 份，
能够平均分的，就平均分成3 份；
不能平均分的，
也应使多的与少 的一份只差1 。
这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少 。
利用天平找次品的时候：

一：把待测的物品平均分成3份；

二：不能够平均分的尽量平均分，保证有两份相同，并且与另一份只差一。
10（3，3，4）
11（4，4，3）
12（ ）
14（ ）
4，4，4
5，5，4
有 10 瓶水，其中 9 瓶质量相同，另有 1 瓶是盐水，比其他的水略重一些。至少称几次能保证找出这瓶盐水?
10（3，3，4）
我最棒
不平衡
4（2，2）
2（1，1）
3（1，1，1）
3次
有 10 瓶水，其中 9 瓶质量相同，另有 1 瓶是盐水，比其他的水略重一些。至少称几次能保证找出这瓶盐水?
3（3，3，4）
至少称 3 次可以保证找出这瓶盐水。
研究记录表
5
3
(2, 2, 1)
2
2
6
3
(2, 2, 2)
2
2
7
3
(2, 2, 3)
2
2
8
3
(3, 3, 2)
2
2
9
3
(3, 3, 3)
2
最佳分法
3
最好是平均分
或者使多的一份与少的一份个数只相差1
2
10
3
(3, 3, 4)
3
3
11
3
(4, 4, 3)
3
3
找次品的最优策略：
一、把待测物品分成3份；
二、能够平均分成3份就平均分成3份，尽量平均分，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差１。如9（3，3，3）;不能平均分成3份的，要使3份每份分得尽量平均，如7（2，2，3）。
用天平找次品时，所测物品数目与测试的次数有以下关系: (只含一个次品，已知次品比正品重或轻。)
(1)要保证 6 次能测出次品，待测物品可能是多少个?
244～729。
(2)从上表你能发现什么规律? 为什么?
1.
(1)如果用天平称，称几次可以找出来?
2 次。
300 g/筐
1.
300 g/筐
(2)你能称 2 次就保证把它找出来吗?
(2)你能称 2 次就保证把它找出来吗?
将 9 筐分成 3 份(3，3，3)，①天平两边分别放 3 筐，若天平平衡，则轻的一筐在剩余的三筐中。② 再从剩余三筐中取两筐，分别放在天平两盘中各一筐，若分出轻重，则放在轻的一边的一筐即为小松树吃的那一筐；若天平仍平衡，则剩余的一筐即为小松鼠吃的那一筐。若第①步天平不平衡，则从较轻的三筐中取两筐，操作如②。
1.
300 g/筐
(3)如果天平两边各放 4 筐，称一次有可能称出来吗?
有可能。
2、有 15 盒饼干，其中的 14 盒质量相同，另有 1 盒少了几块，如果能用天平称，至少几次可以找出这盒饼干?
15（5，5，5）
5（2，2，1）
2（1，1）
3次
我最棒
1
5（2，2，1）
2（1，1）
1
5. 1 箱糖果有 12 袋，其中有 11 袋质量相同，另有 1
袋质量不足，轻一些。至少称几次能保证找出这袋
糖果来?
把 12 袋糖
分成 3 份，
每份 4 袋。
天平两边
各放 4 袋。
平衡
不平衡
······
······
6. 有 3 袋白糖，其中 2 袋每袋 500 g，另 1 袋不是 500 g，
但不知道比 500 g 重还是轻。你能用天平找出来吗?
6. 有 3 袋白糖，其中 2 袋每袋 500 g，另 1 袋不是 500 g，
但不知道比 500 g 重还是轻。你能用天平找出来吗?
任意取出两袋，放在天平上，若天平平衡，则将其中一袋与未称量的那袋一起放到天平上，若未称量的重，则它大于 500 克, 若轻, 则它小于 500 克; 如果任取两袋放在天平上时, 天平不平衡, 则将较重的与未称量的一起放到天平上, 若较重的与未称量的一样重, 则先前那袋小于 500 克, 若较重的依然重,则较重的大于 500 克。
4. 小明和爸爸现在年龄的和是 34 岁，3 年后爸爸比
小明大 24 岁。今年小明和爸爸各多少岁?
爸爸和小明的年龄差是不变的。
小明比爸爸小25 岁，3 年后爸爸和小亮年龄的和是53岁。今年小明和爸爸各多少岁?
3年后爸爸和小亮都长了____岁
3
53 – 6 = 47（岁）
今年爸爸和小亮的年龄和是
妈妈买了一把茶壶和4个茶碗，共花了27元。一把茶壶的价钱相当于5个茶碗的价钱。一把茶壶和一个茶碗各多少钱？
答：一把茶壶15元，一个茶碗3元。
7.* 五(1)班有 25 人，许多同学参加了课外小组。参
加音乐组的有 12 人，参加美术组的有 10 人，两
个组都没参加的有 6 人。既参加音乐组又参加美
术组的有多少人?