25.2用列举法求概率
（1）
复习引入
必然事件；在一定条件下必然发生的事件，
不可能事件；在一定条件下不可能发生的事件
随机事件；在一定条件下可能发生也可能不发生的事件.
2.概率的定义
取值范围：0≤P(A) ≤1.
必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0.
一般地，对于一个随机事件A,我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作P(A).
1.相关概念
3 等可能性事件:在一次试验中各种结果出现的可能性大小相等的事件。
试验具有两个共同特征：

(1)每一次试验中，可能出现的结果只有有限个；
(2)每一次试验中，各种结果出现的可能性相等。
等可能性事件的概率:
一般地,如果在一次试验中,有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率为
事件A发生的可能种数
试验的总共可能种数
2 等可能性事件的概率可以用列举法而求得。
1 列举法
就是把要数的对象一一列举出来分析求解的方法．
我们通过例题来学习列举法求概率
新授 列举法
开始
第一掷
第二掷
例1：掷两枚硬币，求下列事件的概率：
（1）两枚硬币全部正面朝上；
（2）两枚硬币全部反面朝上；
（3）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上。
例题学习
（1）所有可能结果中，两枚硬币全部正面朝上（记为事件A）的结果共有1个，即正正，则
P(A)=1/4
（2）两枚硬币全部反面朝上(记为事件B)的结果共有1个，即反反，则
P(B)= 1/4
（3）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上（记为事件C）的结果共有2个，即正反、反正，则
P(C)= 2/4= 1/2
解：列举掷两枚硬币所能产生的全部结果，它们是：
正正， 正反， 反正， 反反。
所有的结果共有4个，并且这四个结果出现的可能性相等。
变式：先后两次掷一枚硬币，求下列事件的概率：
（1）两次硬币全部正面朝上
（2）两次硬币全部反面朝上
（3）一次硬币正面朝上，一次硬币反面朝上
“同时掷两枚硬币”，与“先后两次掷一枚硬币”，这两种试验的所有可能结果一样吗？
问题：利用分类列举法可以知道事件发生的各种情况，对于列举复杂事件的发生情况还有什么更好的方法呢？
例2.同时掷两枚质地均匀的骰子，计算下列
事件的概率：
（1）两枚骰子的点数相同;
（2）两枚骰子点数的和是9；
（3）至少有一枚骰子的点数为2。
分析：当一次试验要涉及两个因素（例如掷两枚骰子）并且可能出现的结果数目比较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法，我们不妨把两个骰子分别记为第1枚和第2枚，这样就可以用下面的方形表格列举出所有可能出现的结果．
（2）满足两枚骰子点数和为9（记为事件B）的结果有4种（帮助的阴影部分），即（3，6）（4，5）（5，4）（6，3），所以
（3）满足至少有一枚骰子的点数为2（记为事件C）的结果有11种（表中黄色部分），所以
解：由表可 以看出，同时投掷两枚骰子，可能出现的结果有36种，它们出现的可能性相等．
1
2
3
4
5
6
第1个
第2个
（1）满足两枚骰子点数相同（记为事件A）的结果有6种（表中红色部分），即（1，1）（2，2）（3，3）（4，4）（5，5）（6，6），所以
P（A）＝
P（B）＝
P（C）＝
如果把例3中的“同时掷两个骰子“改为”把一个骰子掷两次”，所得到的结果有变化吗？
没 有 变 化
请你计算试一试
列表法
2. 在6张卡片上分别写有1～6的整数，随机地抽取一张后放回，再随机地抽取一张．那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少？
由列表可以看出：共有14个第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字：
因此： 所求的概率为：
在6张卡片上分别写有1～6的整数，随机地抽取一张后放回，在随机地抽取一张。那么第二次取出的数字能够整除第一取出的数字的概率是多少？
课堂小结
3、列举法求概率：
（1）.有时一一列举出的情况数目很大，此时需要考虑如何去排除不合理的情况，尽可能减少列举的问题的数目.
（2）利用列举法求概率的关键在于正确列举出试验结果的各种可能性，而列举的方法通常有直接分类列举、列表、画树形图（下课时将学习）等.
1、等可能性事件:在一次试验中各种结果出现的可能性大小相等的事件。
2、该试验具有两个共同特征：
（1）一次试验中，可能出现的结果有限多个；
（2）一次试验中，各种结果发生的可能性相等。
4 当一次试验要涉及两个因素,并且可能出现的结果数目较多时,为了不重不漏的列出所有可能的结果,通常采用列表法.
一个因素所包含的可能情况
另一个因素所包含的可能情况
两个因素所组合的所有可能情况,即n
在所有可能情况n中,再找到满足条件的事件的个数m,最后代入公式计算.
列表法中表格构造特点:
4.用列举法求概率的条件是:
(1)实验的结果是有限个(n)
(2)各种结果的可能性相等.
5.用列举法求概率的的公式是:
1.中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金额，其余商标的背面是一张苦脸，若翻到它就不得奖。参加这个游戏的观众有三次翻牌的机会。某观众前两次翻牌均得若干奖金，如果翻过的牌不能再翻，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是（ ）．


A. B. C. D.
A
课堂练习
2．设有12只型号相同的杯子，其中一等品7只，二等品3只，三等品2只．则从中任意取1只，是二等品的概率等于( )．

A． B． C． D．1．

3.一个均匀的立方体六个面上分别标有数1，2，3，4，5，6．右图是这个立方体表面的展开图．抛掷这个立方体，则朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的一半的概率是（　　）．

A. B. C. D.
C
D
4、彩票有100张，分别标有1，2，3，…100的号码，只有摸中的号码是7的倍数的彩券才有奖，小明随机地摸出一张，那么他中奖的概率是多少？
5、一张圆桌旁有4个座位，A先坐在如图所示的位置上，B、C、D随机地坐到其它三个座位上，求A与B不相邻而坐的概率。
解：按逆时针共有下列六种不同的坐法：ABCD、ABDC、ACBD、ACDB、ADBC、ADCB
而A与B不相邻的有2种，所以A与B不相邻而坐的概率为＿＿＿＿＿
6. 有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们12个月大的婴儿拼排3块分别写着“20”，“08”和“北京”的字块， 如果婴儿能够排成“2008北京”或者“北京2008”， 则他们就给婴儿奖励。假设该婴儿能将字块横着正排，那么这个婴儿能得到奖励的概率是多少？
解：排“20”，“08”,“北京”三个字块所有可能性为：
①2008北京 ② 20北京08 ③08 20北京
④ 08 北京20 ⑤ 北京2008 ⑥ 北京08 20
其中排成“2008北京”或“北京2008”有两种情况,所以 婴儿能得到奖励的概率为
7.屏幕上有四张卡片，卡片上分别有大写的英文字母“A，Z，E，X”，现已将字母隐藏．只要用手指触摸其中一张，上面的字母就会显现出来．某同学任意触摸其中２张，上面显现的英文字母都是中心对称图形的概率是 ．
8.有三张大小、形状完全相同的卡片，卡片上分别写有数字1、2、3，从这三张卡片中随机同时抽取两张，用抽出的卡片上的数字组成两位数，这个两位数是偶数的概率是　　　．
9.小明打算暑假里的某天到上海世博会一日游,上午可以先从台湾馆、香港馆、韩国馆中随机选择一个馆, 下午再从加拿大馆、法国馆、俄罗斯馆中随机选择一个馆游玩．则小明恰好上午选中台湾馆,下午选中法国馆这两个场馆的概率是（ ）

A． B． C． D．
A
10.你喜欢玩游戏吗?现请你玩一个转盘游戏.如图所示的两个转盘中指针落在每一个数字上的机会均等,现同时自由转动甲,乙两个转盘,转盘停止后,指针各指向一个数字,用所指的两个数字作乘积.所有可能得到的不同的积分别为______;数字之积为奇数的概率为______.
1、某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客每购买100元的商品就能获得一次转动转盘的机会.如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券（转盘被等分20个扇形）.
（３）他得到20元购物券的概率是多少？
（４）甲顾客的消费额120元，他获得购物券的概率是多少？
（１）他得到100元购物券的概率是多少？
（２）他得到50元购物券的概率是多少？
应用与体会
2.如图:请你为班会活动设计一个可以自由转动的8等分转盘，要求所设计的方案满足下列两个条件: (1)指针停在红色区域和停在黄色区域的概率相同; (2)指针停在蓝色区域的概率大于停在红色区域的概率.
如果除了满足(1)(2)两个条件外,再增加条件: (3)指针停在蓝色区域的概率大于为0.5
你设计的方案是什么?
3．随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（ ）．

A． B． C． D．1．

4．从甲地到乙地可坐飞机、火车、汽车，从乙地到丙地可坐飞机、火车、汽车、轮船，某人乘坐以上交通工具，从甲地经乙地到丙地的方法有（ ）种．
A．4 B．7 C．12 D．81．
A
C
5、一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球.
　　（1）共有多少种不同的结果？
　　（2）摸出2个黑球有多种不同的结果？
　　（3）摸出两个黑球的概率是多少？
解：（1）共有6种结果。即“白黑1”，“白黑2”，“白黑3”， “黑1黑2”，“黑1黑3”，“黑2黑3”。
（2）摸出两个黑球的有3种可能结果。即“黑1黑2”，
“黑1黑3”，“黑2黑3”。
6、小明拿出4张牌：梅花6、黑桃6、方块6和红桃6，对小丽说：“洗牌后，从中随机取出两张，如果同色就算甲方赢，否则就算乙方赢。”他问小丽愿当甲方还是乙方，请你给小丽出个主意。
解：小丽应选择当乙方。
因为在4张牌中，梅花和黑桃为黑色，为同色；方块和红桃为红色，为同色。现任意取出两张牌，则总共有6种可能性结果。即“梅花、黑桃”，“梅花、方块”，“梅花、红桃”，“黑桃、方块”，“黑桃、红桃”，“方块、红桃”。
6种结果中，为同色的有2种，即“梅花、黑桃”，“方块、红桃”，异色的有4种，即“梅花、方块”，“梅花、红桃”，“黑桃、方块”，“黑桃、红桃”。

所以 ；
所以在抽排过程中，同色的概率小于异色的概率，小丽应选择当乙方。
7. 掷1个质地均匀的正方体骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率：
（1）点数是6的约数； （2）点数是质数； （3）点数是合数．
（4）小明和小亮做掷骰子的游戏，规则是：两人轮流掷骰子，掷得点数是质数，小明胜；掷得点数是合数，小亮胜，分别求出小明胜和小亮胜的概率；你认为这样的游戏规则是否公平？请说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由。
解：掷1个质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数可能为1，2，3，4，5，6，共6种。这些点数出现的可能性相等。
可以设计如下的规则：两人轮流掷骰子，掷得点数是质数，小明胜，小明得2分；掷得点数是合数，小亮胜，小亮得3分，最后按得分多少决定输赢。
因为此时P（小明胜） ×2=P（小亮胜） ×3，即两人平均每次得分相同。
8、一副扑克牌,从中任意抽出一张,求下列结果的概率:
① P(抽到红桃5)=____
②P(抽到大王或小王)=____
③P(抽到A)=____
④P(抽到方快)=____
9.一副扑克牌（去掉大、小王），任意抽取其中一张，抽到方块的概率是多少？抽到黑桃的概率呢？
10、如图,能自由转动的转盘中, A、B、C、D四个扇形的圆心角的度数分别为180°、 30 °、 60 °、 90 °,转动转盘,当转盘停止
时, 指针指向B的概
率是_____,指向C或
D的概率是_____。
11、在分别写出1至20张小卡片中,随机抽出一张卡片,试求以下事件的概率.
⑴该卡片上的数字是2的倍数,也是5的倍数.
⑵该卡片上的数字是4的倍数,但不是3的倍数
⑶该卡片上的数不能写成一个整数的平方
⑷该卡片上的数字除去1和自身外,至少还有3个约数.
解： ⑴ ⑵
⑶ ⑷
12 用4个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏.
１）使摸到白球的概率为　 ，摸到红球的概率为 　；
２）摸到白球的概率为　 ，摸到红球的概率为 　　；
你能用8个除颜色外完全相同的球分别设计满足如上条件的游戏吗？
13、某组16名学生，其中男女生各一半，把全组学生分成人数相等的两个小组，则分得每小组里男、女人数相同的概率是（　）
14 . 先后抛掷三枚均匀的硬币,至少出现一次正面的概率是_.
15. 如图，小明和小红正在玩一个游戏：每人先抛掷骰子，骰子朝上的数字是几，就将棋子前进几格，并获得格子中的相应物品．现在轮到小明掷，棋子在标有数字“1”的那一格，小明能一次就获得“汽车”吗？小红下一次抛掷可能得到“汽车”吗？她下一次得到“汽车”的概率是多少？
小明的棋子现在第1格，距离“汽车”所在的位置还有7格，而骰子最大的数字为6，抛掷一次骰子不可能得到数字7，因此小明不可能一次就得到“汽车”；只要小明和小红两人抛掷的骰子点数和为7，小红即可得到“汽车”，因此小红下一次抛掷可能得到“汽车”；其中共有36种等可能的情形，而点数和为7 的有6种，因此小红下一次得到“汽车”的概率等于
这个游戏对小亮和小明公平吗？怎样才算公平 ?
小明和小亮做扑克游戏，桌面上放有两堆牌,分别是红桃和黑桃的1,2,3,4,5,6,小明建议:”我从红桃中抽取一张牌,你从黑桃中取一张,当两张牌数字之积为奇数时，你得1分，为偶数我得1分,先得到10分的获胜”。如果你是小亮,你愿意接受这个游戏的规则吗?
思考1:
你能求出小亮得分的概率吗?
用表格表示
总结经验:
当一次试验要涉及两个因素,并且可能出
现的结果数目较多时,为了不重不漏的列
出所有可能的结果,通常采用列表的办法
解:由表中可以看出,在两堆牌中分别取一张,它可
能出现的结果有36个,它们出现的可能性相等
满足两张牌的数字之积为奇数(记为事件A)
的有(1,1)(1,3)(1,5)(3,1)(3,3)(3,5)(5,1)(5,3)(5,5)
这9种情况,所以

P(A)=
甲、乙两人各掷一枚质量分布均匀的正方体骰子，如果点数之积为奇数，那么甲得1分；如果点数之积为偶数，那么乙得1分。
连续投10次，谁得分高，谁就获胜。
(1)请你想一想，谁获胜的机会大？并说明理由；
(2)你认为游戏公平吗？如果不公平，请你设计一个公平的游戏。
列出所有可能的结果：
点数之积
甲掷
乙掷
思考2:
1. 如图，袋中装有两个完全相同的球，分别标有数字“1”和“2”，小明设计了一个游戏：游戏者每次从袋中随机摸出一个球，并且自由转动图中的转盘（转盘被分成相等的三个扇形）
如果所摸球上的数字与转盘转出的数字之和为2，那么游戏者获胜，求游戏者获胜的概率．
练习
总共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，而所摸球上的数字与转盘转出的数字之和为2的结果只有1种；（1，1），因此游戏者获胜的概率为
( 1 , 1 )
( 1 , 2 )
( 1 , 3 )
( 2 , 1 )
( 2 , 2 )
( 2 , 3 )
解：每次游戏时，所有可能出现的结果如下：
1.一黑一红两张牌.抽一张牌 ,放回,洗匀后再抽一张牌.这样先后抽得的两张牌有哪几种不同的可能?他们的概率各是多少?
能否用不同
的方法来解？
课堂练习
列表
解：红,红;
列举
红,黑;
黑,红;
黑,黑.