24.1　圆的有关性质
24.1.1　圆
1．阅读材料 引入新知
古代人最早是从太阳，阴历十五的月亮得到圆的概念的．那么是什么人做出第一个圆的呢？18 000 年前的山顶洞人用一种尖状的石器来钻孔，一面钻不透，再从另一面钻，石器的尖是圆心，它的宽度的一半就是半径，这样以同一个半径和圆心一圈圈地转，就可以钻出一个圆的孔．到了陶器时代，许多陶器都是圆的，圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的．
我国古代，半坡人就已经会造圆形的房顶了．大约在同一时代，美索不达米亚人做出了世界上第一个轮子——圆的木轮．很早之前，人们将圆的木轮固定在木架上，这样就成了最初的车子． 2 000 多年前，墨子给出圆的定义“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比古希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早很多年．
1．阅读材料 引入新知
如图，在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆．
·
r
O
A
固定的端点 O 叫做圆心；
线段 OA 叫做半径；
以点 O 为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”．
圆的概念
2．合作交流，学习新知
同心圆
等圆
圆心相同，半径不同
确定一个圆的两个要素:
一是圆心，
二是半径．
半径相同，圆心不同
2．合作交流，学习新知
O
问题1：圆上各点到定点（圆心 O）的距离有什么规律？
　　问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？
·
r
O
A
2．合作交流，学习新知
动态：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆．
静态：圆心为 O、半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合．
2．合作交流，学习新知
经过圆心的弦叫做直径，如图中的 AB．
连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图中的 AC．
3．与圆有关的概念
弦
C
O
A
B
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
C
O
A
B
弧
3．与圆有关的概念
劣弧与优弧
3．与圆有关的概念
C
O
A
B
在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧．
等弧
3．与圆有关的概念
1．判断下列说法的正误：
（1）弦是直径；
（2）半圆是弧；
（3）过圆心的线段是直径；
（5）圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆；
（4）半圆是最长的弧；
（6）半径相等的两个半圆是等弧．
4．应用拓展，培养能力
×
√
×
×
×
√
24.1.2 垂直与弦的直径
问题 ：你知道赵洲桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,
是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度
(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你
能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
赵洲桥的半径是多少？
用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
可以发现：圆是轴对称图形，任何一条
直径所在直线都是它的对称轴．
活动一
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
·
O
A
B
C
D
E
活 动 二
（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴
（2） 线段： AE=BE
·
O
A
B
C
D
E
我们还可以得到结论：
我们就得到下面的定理：
这个定理也叫垂径定理，利用这个定理，你能平分一条弧吗？
解得：R≈27．9（m）
解决求赵州桥拱半径的问题？
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
即 R2=18.72+（R－7.2）2
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
OA2=AD2+OD2
AB=37.4，CD=7.2，
OD=OC－CD=R－7.2
在图中
垂径定理的应用
圆的对称性
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
题设
结论
（1）直径
（2）垂直于弦
｝
｛
（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
M
O
A
C
B
N
①直线MN过圆心②MN⊥AB
③ AC=BC
④ ⑤
垂径定理
M
O
A
C
B
N
①直线MN过圆心③ AC=BC
垂径定理推论1
推论1. 平分非直径的弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
1．如图，在⊙O中，弦AB的
长为8cm，圆心O到AB的距离
为3cm，则⊙O的半径是_____．
随堂训练
2．如图，在⊙O中，CD是直径，
EA=EB,请些出三个正确的结论
_____________________．
双基训练
2.已知AB=10cm,以AB为直径作圆,那么在此 圆上到AB的距离等于5的点共有( )
A.无数个 B.1个 C.2个 D.4个
C
3.下列说法中正确的个数是（ ）
①.直径是弦 ②.半圆是弧
③.平分弦的直径垂直于弦
④.圆是轴对称图形，对称轴是直径
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
1.确定一个圆的条件是————和————
圆心
半径
D
4.下列命题中正确的是( )
A.弦的垂线平分弦所对的弧;
B.平分弦的直径垂直于这条弦;
C.过弦的中点的直线必过圆心;
D.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦且过圆心;
双基训练
C
6.已知点P是半径为5的⊙O内的一定点，且OP=4，则过P点的所有弦中，弦长可能取的整数值为（ ）
A.5，4，3 B.10，9，8，7，6，5，4，3 C.10，9，8，7，6 D.10，9，8
C
7.已知:⊙O中弦AB∥CD且AB=9cm,CD=12cm, ⊙O的直径为15cm,则弦AB,CD间的距离为( )
A.1.5cm B.10.5cm;
C.1.5cm或10.5cm D.都不对;
C
随堂训练
9.P为⊙O内一点,且OP=2cm,若⊙O的半径为3cm,则过P点的最短弦长等于( )
A.1cm B.2cm C. cm D.
D
10. 同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D,已知AB=4,CD=2,AB的弦心距为1,则两个同心圆的半径之比为( )
A.3:2 B. : C. :2 D.5:4
B
C
12.已知直径AB被弦CD分成AE=4,
EB=8,CD和AB成300角,则弦CD
的弦心距OF=____;CD=_____.
1
在a,d,r,h中，已知其中任意两个量,可以求出其它两个量.
⑴d + h = r
13.已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E .
⑴若半径R = 2 ，AB = , 求OE、DE 的长. ⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长.
⑶由⑴ 、⑵两题的启发，你还能编出什么其他问题？
课前训练
1.到点A的距离为4cm的所有点组成的图形是
_____________________________。
以点A为圆心，4cm为半径的圆
3、如图为一圆弧形拱桥，半径OA = 10m，拱高为4m，求拱桥跨度AB的长。
4.(07贵阳·改编)某机械传动装置在静止状态时，连杆PA与点A运动所形成的⊙O交于B点，现测得PB=8cm，AB=10cm， ⊙O 的半径R=9cm，求此时P到圆心O的距离。
5.如图，水平放置的一个油管的截面半径为 13cm，其中有油部分油面宽AB=24cm，则截面上有油部分油面高CD= ——————
双基训练
半径、弦长、弓形的高、
圆心到弦的距离
8cm
2
8.5
弓形问题中：
半径、弦长、弦心距、弓形高
“知二求二”
随堂训练
变式：为改善市民生活环境，市建设污水管网工程，某圆柱型水管截面管内水面宽AB=8dm，截面半径为5dm。则水深_________dm.
2或8
思维拓展
7.某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修
人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，
下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16
cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截
面的半径．
链接中考
7.（2007.江西）如图，点A、B是⊙O上两点，AB=10，点P是⊙ O上的动点，（P与A，B不重合），连接AP、PB，过点O分别OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，则EF= ——。
5
8、如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是直线AB上两点，且AC＝BD 求证：△OCD为等腰三角形。
9.已知:AB和CD是⊙O的两条等弦,点E,F分别在AB和CD的延长线上且BE=DF.
求证:EF的垂直平分线经过圆心O.
O
F
D
C
E
A
B
K
L
10.在⊙O中,过圆周上一点A作弦AB和AC,且AB=AC，M和N分别为AB及AC弦的中点. 连M和N并反向延长交圆于P和Q两点.
求证: PM=NQ.
O
C
A
B
P
Q
H
M
N
例1 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
解:连接OC.
随堂训练
8．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m，假设拖拉机行驶时，周围100m内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？试说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
2.已知:AB是⊙O的直径,CD是弦,AE⊥CD于E,
BF⊥CD于F. 求证:EC=DF.
垂径定理的应用
G