24.1.4 圆周角
我们把图中∠ACB、∠ADB、∠AEB这样的顶点在圆上，并且两边
都和圆相交的角叫做圆周角．
什么叫做圆周角？
·
A
B
C
O
一、概念
如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图,人们可以通过其中的圆弧形玻璃AB观看窗内的海洋动物,同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（∠AOB和∠ACB）有什么关系？如果同学丙、丁分别站在靠墙的位置D和E，他们的视角（ ∠ADB和∠AEB ）和同学乙的视角相同吗？
·
二、观察
A
B
甲（O）
乙（C）
丙（D）
丁（E）
玻璃
·
C
D
A
B
O
可以发现，同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．
三、
分别量一下图中弧AB所对的两个圆周角的度数，比较一下，再变动点C在圆周上的位置，圆周角的度数有没有变化？你能发现什么规律吗？
再分别量出图中弧AB所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你有什么发现？
为了进一步探究上面的发现，如图，在⊙O上任取一个圆周角∠BAC，将圆对折，使折痕经过圆心O和∠BAC的顶点A．由于点A的位置的取法可能不同，所以折痕可能会：
（1）在圆周角的一条边上.
·
C
O
A
B
四、同弧所对的圆周角与圆心角的关系
∵OA=OC ，
∴∠A=∠C ．
又 ∠BOC=∠A+∠C，
∴∠BOC=2∠A.
（2）在圆周角的内部．
圆心O在∠BAC的内部，作直径AD，利用（１）的结果，有
·
C
O
A
B
D
（3）在圆周角的外部．
圆心O在∠BAC的外部，作直径AD，利用（１）的结果，有
·
C
O
A
B
D
·
A
B
C1
O
C2
C3
五、定理
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等吗？为什么？
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等．
因为，在同圆或等圆中，如果圆周角相等，那么它所对的圆心角也相等，因此它所对的弧也相等．
六、
例2 如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC的长为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
·
A
B
C
D
O
解：∵AB是直径，
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
在Rt△ABC 中，
∵CD平分 ∠ACB，
∴AD=BD.
七、例题
弧AD=弧BD.
1. 如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？
A
B
C
D
1
2
3
4
5
6
7
8
∠1 = ∠4
∠5 = ∠8
∠2 = ∠7
∠3 = ∠6
八、练习
2. 如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下．
D
A
B
O
O
O
·
方法一
方法二
方法三
方法四
A
B
使用帮助
3. 求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）
·
A
B
C
O
已知：△ABC ，CO为AB边上的中线，
求证： △ABC 为直角三角形.
证明：
以AB为直径作⊙O.
∵AO=BO，
∴AO=BO=CO.
∴点C在⊙O上.
又∵AB为⊙O的直径,
∴ △ABC 为直角三角形.
帮助
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方法 x
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