扇叶
车轮
水轮
动感的旋转世界
齿轮
使用扳手拧螺丝
指南针
地球自转
荡秋千
旋转的运动
单杠
翘翘板
花——美丽的图形变换
雪花
紫荆花会徽
这些图案有什么共同特征？
车标
【知识与能力】
了解生活中旋转现象的存在；
了解图形旋转的概念；
理解并掌握图形旋转中的对应点、对应角、对应线段、旋转中心和旋转角度等基本概念；
理解图形的旋转变换是由旋转中心和旋转角所决定的。
【过程与方法】
经历探索图形在旋转变换中的变化情况的过程，体会旋转变换对研究图形变化的重要性。
【情感态度与价值观】
经历对生活中旋转图形的观察、讨论、实践操作，使学生感知数学美，培养学生学习数学的兴趣和热爱生活的情感。
探索图形旋转的特征，能准确找出旋转前后图形中的对应点、对应线段、对应角、旋转中心、旋转角。
学会按一定的角度有规律的旋转。
钟表的指针在不停地转动，从12时到4时，时针转动了______度。
120°
把时针当成一个图形，那么它可以绕着中心固定点转动一定角度。
怎样来定义这种图形变换？
风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置。
怎样来定义这种图形变换？
把叶片当成一个图形，那么它可以绕着中心固定点转动一定角度。
把一个图形绕着某点O沿某个方向转动一个角度的图形变换叫做旋转（rotation）。
O
P′
P
旋转中心
旋转角
对应点
如图，四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1的正方形。
（1）这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？
（2）请画出旋转中心和旋转角。

（3）指出经过旋转，点A、B、C、D分别移到什么位置？
（3）点A、点B、点C、点D移到的位置是
（1）基本图案：
正方形ABCD 顺时针旋转45°得到EFGH 。
点H。
点E、
点F、
点G、
（2）旋转中心为O，如图所示。
O
旋转角如图所示。
还有其它旋转方法吗？
若叶片 A 绕 O 顺时针旋转到叶片 B，则旋转中心是______，旋转角是_________，旋转角等于____度，其中的对应点有_______、 _______、 _______、 _______、 _______、 _______ 。
A
B
C
D
E
F
O
O
∠AOB
60
F与A
A与B
B与C
C与D
D与E
E与F
杠杆绕支点转动撬起重物，杠杆的旋转中心就____，旋转角是_______________________。
B
O
B′
A
A′
∠AOA′
O
∠BOB′
或
B
O
A
点A绕___点沿_______方向，转动了___度到点 B。
Ｏ
顺时针
45
把小孩看作一个质点来分析问题
秋千的固定点
旋转的三要素
旋转中心
旋转方向
旋转角度
O
B
A
B
A
B′
A′
C
C′
O
点A、线段AB、∠ABC分别旋转到了什么位置？
点A´
点A
线段A´B´
∠A´ B´ C´
对应点
对应边
对应角
△ABO绕点O旋转得到△CDO，则:
点D
线段OD
线段AB
∠COD
∠D
点O
∠AOC、
∠BOD
在上面两个实验中，△ABC在旋转过程中，哪些发生了变化？
各点的位置发生变化。
点A′
点A
点B′
点B
点C′
点C
从而，各线段、各角的位置发生变化。
OA=OA′
OB=OB′
OC=OC′
边的相等关系：
AB=A′B′
BC=B′C′
CA=C′A′
对应边相等
在上面两个实验中，△ABC在旋转过程中，哪些没有改变？
角的相等关系：
∠ABC=∠A′B′C′
∠AOA ′=∠BOB ′=∠COC ′
∠BCA=∠B′C′A′
∠CAB=∠C′A′B′
对应角相等
= 旋转角
注：图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同
样大小的角度。
对应点到旋转中心的距离相等。
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
旋转前、后的图形全等。
图形的旋转是由旋转中心和旋转角决定。
图形的旋转不改变图形的形状、大小，只改变图形的位置。
旋转的基本性质
有哪些证明方法？
证明：△ABC≌ △A′B′C′。
AB=A′B′
BC=B′C′
CA=C′A′
∠ABC=∠A′B′C′
∠BCA=∠B′C′A′
∠CAB=∠C′A′B′
SSS
SAS
ASA
AAS
三角形中的边角相等关系
证三角形全等的方法
A
O
将A点绕O沿顺时针方向旋转60˚。
作法：
1. 以O为圆心，OA长为半径画圆;
2. 连接OA，用量角器或三角板（限特殊角）作出∠AOB，与圆周交于B点；
3. B点即为所求作。
B
点的旋转作法
A
O
将线段AB绕O沿顺时针方向旋转60˚。
作法：
1. 将点A绕点O顺时针旋转60˚，得点aC;
2. 将点B绕点O顺时针旋转60 ˚，得点D ；
3. 连接CD, 则线段CD即为所求作.
C
B
D
线段的旋转作法
已知△OAB，画出△OAB绕点O逆时针旋转100°后的图形。
B
A
O
1. 连接OA。
2. 作∠AOC=100°，在OC上截取OA′=OA 。
4. 作∠BOD=100°，
在OD上截OB′=OB 。
C
D
3. 连接OB 。
注：作旋转后的图形可以转化为作旋转后的对应点。
图形的旋转作法
5. 连接A′B′，则△OA′B′即为所求作。
作法：
四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE= ，△ABF是△ADE的旋转图形。
（1）旋转中心是哪一点？
（2）旋转了多少度？
（3）AF的长度是多少？
（4）如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形？
点A 。
（2）∵ △ABF是由△ADE旋转而得的，
∴ B是D的对应点。
∴ ∠DAB是旋转角，
答：
∴ ∠DAB = 90°，
即旋转了90°。
（3）∵AD=1，DE=
∴
∵ AF 是AE 的对应边
∴ AF = AE =
？
（勾股定理）
（对应边相等）
（4）∵ ∠EAF=90°（与旋转角相等）
且 AF=AE（对应边相等）
∴△EAF是等腰直角三角形。
图形的旋转是由旋转中心和旋转角度决定。
旋转的基本性质之一
这两幅图分别经历怎样的旋转？有什么不同？
旋转中心不变，改变旋转角。
四边形ABCD绕点O 顺时针旋转30°。
30°
60°
四边形ABCD绕点O 顺时针旋转60°。
图1
图2
这两幅图分别经历怎样的旋转？有什么不同？
旋转角不变，改变旋转中心。
图3
图4
四边形ABCD绕点O1 顺时针旋转30°。
四边形ABCD绕点O2 逆时针旋转30°。
30°
30°
因此，选择不同的旋转角，不同的旋转中心，会出现不同的效果，我们可以经过旋转，设计出美丽的图案。
自己动手画一包含旋转的图案
1. 旋转的定义：
这个定点 O 称为旋转中心。
转动的角称为旋转角。
把一个图形绕着某点 O 沿某个方向转动一个角度的图形变换叫做旋转。
对应点到旋转中心的距离相等。
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
旋转前、后的图形全等。
图形的旋转是由旋转中心和旋转角决定。
图形的旋转不改变图形的形状、大小，只改变图形的位置。
2. 旋转的基本性质
1. 钟表的分针匀速旋转一周需要60分。
（１）指出它的旋转中心；
（２）经过20分，分针旋转了多少度？
2. 本图案可以看做是一个菱形通过几次旋转得到的？每次旋转了多少度？
也可以看做是二个相邻菱形通过几次旋转得到的？每次旋转了多少度？
还可以看做是几个菱形通过几次旋转得到的？每次旋转了多少度？
3个 1次 180°
2次 120° , 240°
5次。
60°, 120°, 180°, 240°, 300°
3个 1次 60°
3. 图中是否存在这样的两个三角形，其中一个是通过另一个旋转得到的？
4. 四边形AOBC 绕O点旋转得到四边形DOEF. 在这个旋转过程中：
（1）旋转中心是什么?
（2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？

（3）旋转角是什么？
（4）AO与DO的长有什么关系？BO与EO呢？

（5）∠AOD与∠BOE有
什么大小关系？
旋转中心是O
点D和点E的位置
AO=DO，BO=EO
∠AOD=∠BOE
∠AOD和∠BOE都是
B
A
C
O
D
E
F
5. 如图，O是六个正三角形的公共顶点，正六边形ABCDEF能否看做是某条线段绕O点旋转若干次所形成的图形？
能。看做是一条边（如线段AB）绕O点，按照同一方法连续旋转60°、120°、180°、240°、300°形成的。
6. △ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B对应点的位置，以及旋转后的三角形。
解：（1）连结CD
（2）以CB为一边作∠BCE，使得∠BCE=∠ACD
（3）在射线CE上截取CB′=CB
则B′即为所求的B的对应点。
（4）连结DB′
则△DB′C就是△ABC绕C点旋转后的图形。
A
B
C
D
E
F
7. 如图,ΔDEF是由△ABC绕某一中心旋转一定的角度得到,请你找出这旋转中心。
旋转中心在对应点连线的垂直平分线上。
O
8. 如下图是菊花一叶和中心与圆圈，现以O为旋转中心画出分别旋转45°、90°、135°、180°、225°、270°、315°的菊花图案。
解：（1）连结OA
（2）以O点为圆心，OA长为半径旋转45°，得A。
（3）依此类推画出旋转角分别为90°、135°、180°、225°、270°、315°的A、A、A、A、A、A。
（4）按菊花一叶图案画出各菊花一叶。
那么所画的图案就是绕O点旋转后的图形。
9. 如图，如果上面的菊花一叶，绕下面的点O′为旋转中心，请同学画出图案，它还是原来的菊花吗？
显然，画出后的图案不是菊花，而是另外的一种花了．
10. 如图所示的方格纸中，将△ABC向右平移8格，再以O为旋转中心逆时针旋转90°，画出旋转后的三角形。
11. 将点阵中的图形绕点O按逆时针方向旋转900，画出旋转后的图形。
·
解：面积不变。
理由：设任转一角度，如图所示。
在Rt△ODD′和Rt△OEE′中
∠ODD′=∠OEE′=90°
∠DOD′=∠EOE′=90°-∠BOE
OD=OD
∴△ODD′≌△OEE′
∴S△ODD ′=S△OEE ′
∴S四边形OE ′BD ′=S正方形OEBD=
12. 如何作出该图案绕O点按逆时针旋转90°的图形。
解：（1）连结OA，过O点沿OA逆时针作∠AOA′=90°，在射线OA′上截取OA′=OA。（2）用同样的方法分别求出B、C、D、E、F、G、H的对应点B′、C′、D′、E′、F′、G′、H′。（3）作出对应线段A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′F′、F′A′、A′G′、G′D′、D′H′、H′A′（4）所作出的图案就是所求的图案。
13. K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L、M在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系。
解：∵四边形ABCD、四边形AKLM是正方形
∴AB=AD，AK=AM，且∠BAD=∠KAM为旋转角且为90°
∴△ADM是以A为旋转中心，∠BAD为旋转角由△ABK旋转而成的
∴BK=DM
14. P是等边ABC内的一点，把ABP按不同的方向通过旋转得到BQC和ACR，
（1）指出旋转中心、旋转方向和旋转角度？
（2） ACR是否可以直接通过把BQC旋转得到？
15. 画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转120°后的对应的三角形。
A
B
16. 将等边△ABC绕着点O按某个方向旋转90°后得到△A/B/C
O
17. 两个边长为1的正方形，如图所示，让一个正方形的顶点与另一个正方形中心重合，不难知道重合部分的面积为，现把其中一个正方形固定不动，另一个正方形绕其中心旋转，问在旋转过程中，两个正方形重叠部分面积是否发生变化？说明理由。
5. 左图中，点O为旋转中心，旋转角为60°.
右图中，点O为旋转中心，旋转角为90°.
6. 五角星图案，绕着点O旋转，旋转角为72°时，旋转后的五角星能与自身重合，如图，等边三角形绕着点O旋转，旋转角为120°时，旋转后的等边三角形能与自身重合.
再见