二次函数复习与小结

1、二次函数的概念
一般地，如果y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0),那么y叫做x 的二次函数.
一、知识梳理
①
②
由①，得
由②，得
∴
解：根据题意，得
-1
二、探究例题
2
2
2
开 口 向 下
开 口 向 上
y轴(直线x=0)
直线x=-h
( 0,0 )
( 0,k )
( -h,0 )
(- h,k )
2
直线x=
( , )
2、二次函数的常见类型及其性质
例2：
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。
（3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？
（4）求ΔMAB的周长及面积。
（5）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
已知二次函数
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
例2：
已知二次函数
解:
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。
例2：
已知二次函数
0
x
x=-1
•
•
•
(-3,0)
(1,0)
•
解
解
0
x
x=-1
•
•
(0,-–)
•
•
(-3,0)
(1,0)
3
2
:(3)
•
(-1,-2)
当x=-1时，y有最小值为
y最小值=-2
当x＜-1时，y随x的增大
而减少;
（3）x为何值时，y 随的增大而减少，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？
例2：
已知二次函数
0
•
M(-1,-2)
•
•
C(0,-–)
•
•
A(-3,0)
B(1,0)
3
2
y
x
D
（4）求ΔMAB的周长及面积。
例2：
已知二次函数
解:
0
•
(-1,-2)
•
•
(0,-–)
•
•
(-3,0)
(1,0)
3
2
y
x
由图象可知
(5)
当x< -3或x>1时，y > 0
当-3 < x < 1时，y < 0
（5）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
例2：
已知二次函数
例3.抛物线 关于x轴对称的抛物线解析式是
解题思路:
①将原抛物线写成顶点式y=a(x-h)2+k
②写出顶点(h,k)
③写出顶点(h,k)关于x轴的点的坐标(h,-k)
则关于x轴对称的抛物线解析式是y=-a(x-h)2-k
关于x轴对称:
关于y轴对称:
①将原抛物线写成顶点式y=a(x-h)2+k
②写出顶点(h,k)
③写出顶点(h,k)关于y轴的点的坐标(-h,k)
则关于x轴对称的抛物线解析式是y=a(x+h)2+k
4、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。
(1)、当x为何值时，y随x的增大而增大;
(2)、当x为何值时，y<0。
(3)、求它的解析式和顶点坐标；
2.5
2、已知抛物线顶点坐标（－h, k），通常设抛物线解析式为_______________
3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_____________
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________
y=ax2+bx+c(a≠0)
y=a(x＋h)2+k(a≠0)
y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
5、求抛物线解析式的三种方法
练习　根据下列条件，求二次函数的解析式。
(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点；
(2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；
(3)、图象经过(-2，0)， (3，0) ，且最高点
的纵坐标是3 。
例5、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。
解：∵二次函数的最大值是2
∴抛物线的顶点纵坐标为2
又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上
∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2）
∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2
又∵图象经过点（3，-6）
∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2
∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2
即： y=-2x2+4x
考察函数 的图象,

当x=-2时,y= ,

当x<-2时,y的取值范围是 ;

当y≥-1时,x的取值范围是 .
-1
y>-1
x>0或x<-2
老师给出一个函数,甲、乙、丙三位同学分别指出了这个函数的一个性质:
甲:函数的图象经过第二象限;
乙:函数的图象经过第四象限;
丙:在每个象限内,y随x的增大而增大.
请你根据他们的叙述构造满足上述性质的一个函数: .
1、下列函数中，是二次函数的是 .
① ② ③

④ ⑤ ⑥

⑦ ⑧
2.当m_______时,函数y=(m+1)χ - 2χ+1
是二次函数？
① ② ③ ⑦
=2
三、你说我说，开启智慧
4、二次函数　　　　　　　　 图象的顶点坐标和
对称轴方程为（　　）
A、（１，－２）， x＝１　
B、（１，２），x＝１
C、（－１，－２），x＝－１　
D、（－１，２），x＝－１
3、抛物线　　　　　的对称轴及顶点坐标
分别是（　　　）

　A、y轴，（０，－４）　B、x＝３，（０，４）
　C、x轴，（０，０）　　D、y轴，　（０，３）
D
A
6、二次函数　　　　　　的最值为（　　　）
　　A、最大值１　B、最小值１　
C、最大值２　D、最小值２
5、抛物线 的顶点坐标是（ ）
A、(-1,13) 　 B、(-1,5)　
C、(1,9) 　D、(1,5)
D
D
1、a 、 b 、 c
2、2a+b,2a-b,
3、
1
二次函数y=ax2+bx+c 的图象如下图所示,试判断下列
各式的符号
四、知识点滴
知识引用：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的系数a，b，c，△与抛物线的关系
a决定开口方向：a＞０时开口向上，
　　　　　　　a＜０时开口向下
a、b同时决定对称轴位置：a、b同号时对称轴在y轴左侧
　　　　　　　　　　　　a、b异号时对称轴在y轴右侧
　　　　　　　　　　　　b＝０时对称轴是y轴
c决定抛物线与y轴的交点：c＞０时抛物线交于y轴的正半轴
　　　　　　　　　　　　c＝０时抛物线过原点
　　　　　　　　　　　　c＜０时抛物线交于y轴的负半轴
△决定抛物线与x轴的交点：△＞０时抛物线与x轴有两个交点
　　　　　　　　　　　　△＝０时抛物线与x轴有一个交点
　　　　　　　　　　　　△＜０时抛物线于x轴没有交点
8
-2
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的几个特例：

　　 1、当x=1 时，

　　 2、当x=-1时，

3、当x=2时，

　　 4、当x=-2时，
y=a+b+c
y=a-b+c
y=4a+2b+c
y=4a-2b+c
……………　　……………
o
1
-1
2
数形结合 双壁辉映
１、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
如图所示，则a、b、c的符号为（　　）
A、a<0,b>0,c>0 B、a<0,b>0,c<0
C、a<0,b<0,c>0 D、a<0,b<0,c<0
2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
如图所示，则a、b、c的符号为（　　）
A、a>0,b>0,c=0 B、a<0,b>0,c=0
C、a<0,b<0,c=0 D、a>0,b<0,c=0
3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
如图所示，则a、b、c的符号为（　　）
A、a>0,b=0,c>0 B、a<0,b>0,c<0
C、a>0,b=0,c<0 D、a<0,b=0,c<0
B
A
C
o
o
o
小试牛刀：
4、抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
经过原点和二、三、四象限，判断
a、b、c的符号情况：
a 0,b 0,c 0.
<
=
<
5、抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
经过原点,且它的顶点在第三象限，
则a、b、c满足的条件是：
a 0,b 0,c 0.
>
>
=
1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
如图所示，下列判断不正确的是（　）
①、abc>0,　 　②、b2-4ac<0,
③、a-b+c<0,　④、4a+2b+c>0.
④
C
运用提高：
3.已知二次函数的图像如图所示，下列结论：
⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a
其中正确的结论的个数是（ ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
D
x
-1
1
0
y
要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x轴、y轴的交点的位置，注意运用数形结合的思想。
1、（2006 北京） 二次函数 y=ax²+bx+c 的图象如图所示，则下列结论正确的是 （ ）
A a > 0 b < 0 c > 0  > 0
B a < 0 b < 0 c > 0  = 0
C a < 0 b > 0 c < 0  < 0
D a < 0 b > 0 c > 0  > 0
D
中考链接
(2)（大连市） 抛物线y=(x-2)²+3的对称轴是 （ ）
A 直线 x= -3 B 直线 x=3
C 直线 x= -2 D 直线 x=2
(3) 抛物线 y=x²+mx+2 的顶点横坐标为-2，则m的值为 （ ）
(A) 4 (B) -4
(C) 2 (D) -2
D
A
中考链接
小结反思：
1、二次函数的概念
2、二次函数的图象及性质
3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的系数a， b，c，△与抛物线的关系