二 次 函 数 复 习
一、概念
形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0) 的函数叫做二次函数
其中二次项为ax2，一次项为bx，常数项c
二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项c
1、下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 (2)y=3x2
(3)y=3x3+2x2 (4)y=2x2-2x+1
(5)y=x -2 +x (6)y=x2-x(1+x)
二次函数图象及画法
顶点坐标
与X轴的交点坐标
与Y轴的交点坐标及它关于对称轴的对称点
(x1,0) (x2,0)
(0, c)
x1
x2
O
x
y
c
二、平移，配方
向左(向右)平移|m|个单位
向上(向下)平移|k|个单位
通过
配方
1、将函数y=x2-4x+5转化成y=a(x+m)2+k的形式
2、将函数y=-2x2-4x+5转化成y=a(x+m)2+k的形式
1.由y=2x2的图象向左平移两个单位,再向下平
移三个单位,得到的图象的函数解析式为
________________________
2.由函数y= -3(x-1)2+2的图象向右平移4个单位,
再向上平移3个单位,得到的图象的函数解析式
为_____________________________
y=2(x+2)2-3
=2x2+8x+5
y= - 3(x-1-4)2+2+3
=-3x2+30x-70
3.抛物线y=ax2向左平移一个单位,再向下平移8个单位且y=ax2过点(1,2).则平移后的解析式为______________;
y=2(x+1)2-8
4.将抛物线y=x2-6x+4如何移动才能得到y=x2.
逆向思考,由y=x2-6x+4 =(x-3)2-5知:先向左平移3个单位,再向上平移5个单位.
三、开口方向、对称轴、顶点坐标
1.开口方向看a的值
2.求对称轴
直线x=-m
3.求顶点坐标
（-m，k）
1、y=x2
2、y=(x-1)2
3、y=(x-1)2+3
4、y=-2(x+1)2-3
5、y=2x2+3
6、y=3x2-6x-5
1、求下列函数的顶点坐标
7、y=-2x2-4x+5
2、 已知二次函数y=x2+bx+c的顶点坐标（1，-2），求b，c的值
3、 已知二次函数y=x2+4x+c的顶点坐标在x轴上，求c的值
4、 已知二次函数y=x2+4x+c的顶点坐标在直线y=2x+1上，求c的值
求下列函数的最大值（或最小值）和对应的自变量的值：
⑴ y=2x2－8x＋1；
⑵ y=－3x2－5x＋1
四、如何求二次函数的最值
当x=-m时y最小（大）=k
3、y=-2(x+1)2-3
4、y=2x2+3
2、 已知二次函数y=x2+4x+c有最小值为2，求c的值
3、 已知二次函数y=-2x2+bx+c，当x=-2时函数有最大值为2，求b、c的值
五、函数的增减性
2、已知抛物线顶点坐标（m, k），通常设抛物线解析式为_______________
3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_____________
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________
y=ax2+bx+c(a≠0)
y=a(x-m)2+k(a≠0)
y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
六、求抛物线解析式常用的三种方法
一般式
顶点式
交点式或两根式
1.已知一个二次函数的图象经过点
（0，0），（1，﹣3），（2，﹣8）。
求下列条件下的二次函数的解析式:
3.已知二次函数的图象的对称轴是直线x=3,
并且经过点(6,0),和(2,12)
2.已知二次函数的图象的顶点坐标为
（－2，－3），且图象过点（－3，－2）。
4、已知一个二次函数的图象经过点（0，0），（1，﹣3），（2，﹣8）。
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）写出它的对称轴和顶点坐标。
(1)y=-x2-2x
(2)对称轴:x=-1
顶点坐标(-1,1)
七、判别a、b、c、b2-4ac，2a+b，a+b+c的符号
（1）a的符号：
由抛物线的开口方向确定
开口向上
a>0
开口向下
a<0
（2）C的符号：
由抛物线与y轴的交点位置确定.
交点在x轴上方
c>0
交点在x轴下方
c<0
经过坐标原点
c=0
（3）b的符号：
由对称轴的位置确定
对称轴在y轴左侧
a、b同号
对称轴在y轴右侧
a、b异号
对称轴是y轴
b=0
（4）b2-4ac的符号：
由抛物线与x轴的交点个数确定
与x轴有两个交点
b2-4ac>0
与x轴有一个交点
b2-4ac=0
与x轴无交点
b2-4ac<0
练一练：已知y=ax2+bx+c的图象如图所示,

a___0, b____0, c_____0, abc____0

b___2a, 2a-b_____0, 2a+b_______0

b2-4ac_____0

a+b+c_____0, a-b+c____0

4a-2b+c_____0
＜
＜
＜
＜
＞
＞
＞
＜
＞
＞
＞
填空：
(1)抛物线y＝x2－3x＋2与y轴的交点坐标是______，与x轴的交点坐标是_________；
(2)抛物线y＝－2x2＋5x－3与y轴的交点坐标是_______，与x轴的交点坐标是________．
(0,2)
(1,0)和(2,0)
(0,-3)
(1,0)和（1.5，0）
八、如何求二次函数图象与坐标轴的交点
（3）坐标轴三个交点围成的三角形面积是 ；
0.75
九、如何求当x为何值时，y>0,y=0,y<0
0
当x=x1或x=x2时,y=0
当xx2时,y<0
当x10
x1
x2
当x=x1或x=x2时,y=0
当xx2时,y>0
当x12、已知二次函数y=-x2-4x+5，求当x为何值时，y>0,y=0,y<0
1、如图求当x为何值时，y>0,y=0,y<0
3、解不等式:(1) x2-4x-5>0
(2)-x2-4x+5>0
十、二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点,有一个交点,没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
有两个交点
有两个不相等的实数根
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
1、根据下列表格的对应值：

判断方程ax2+bx+c=0（a≠0,a、b、c为常数）一个解的范围是　（　　　　）
Ａ、3＜x＜3.23 Ｂ、3.23＜x＜3.24
Ｃ、3.24＜x＜3.25 Ｄ、3.25＜x＜3.26
C
例题分析
例1.已知一抛物线的顶点坐标为(-1,2),且过点(1,-2),
求该抛物线的解析式.
例4、已知抛物线y=x2-2x-8，（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。
4、已知抛物线y=x2-2x-8，（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。
(1)证明:∵b2-4ac=22-4*(-8)=36>0
∴该抛物线与x轴一定有两个交点
(2)解:∵抛物线与x轴相交时
x2-2x-8=0
解方程得:x1=4, x2=-2
∴AB=4-(-2)=6，而P点坐标是(1,-9)
∴S△ABC=27
1、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。
(1)、当x为何值时，y随x的增大而增大;
(2)、当x为何值时，y<0。
(3)、求它的解析式和顶点坐标；
练一练
y=x2-5x+4
2、函数y=ax2-ax+3x+1的图象与x轴有且只有一个交点，那么a的值和交点坐标分别为 。
9或1
3、写出一个开口向下，对称轴是直线x=3，且与y轴交于（0，-2）的抛物线解析式。
4、已知函数y=x2-2x-3，结合图象，试确定x取何值时，y＞0，y=0，y＜0。
5、已知二次函数的图象的顶点坐标为（-2，-3），且图象过点（-3，-2）。
（1）求此二次函数的解析式。
（2）设此二次函数的图象与x轴交于A、B两点，O为坐标原点，求线段OA、OB的长度之和。
6、把抛物线y=-3x2绕着它的顶点旋转1800后所得的图象解析式是 。
y=3x2
7、已知二次函数y=a（x-h）2+k的图象过原点，最小值是-8，且形状与抛物线y=0.5x2-3x-5的形状相同，其解析式为 。
y=0.5（x+4）2-8
8、若x为任意实数，则二次函数y=x2+2x+3的函数值y的取值范围是 。
9、若抛物线y=ax2+2x+c的顶点坐标是（2，3），则a= ，c= 。
y≥2
-0.5
1
或y=0.5（x-4）2-8
以下全章复习用
10、抛物线y=2x2-4x-1是由抛物线y=2x2-bx+c向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，则b= ，c= 。
11、已知抛物线y=2x2+bx+8的顶点在x轴上，则b= 。
12、若二次函数y=（m-8）x2+2x+m2-64的图象过原点，则m= 。
8
7
±8
-8
13、求下列二次函数的解析式：
（1）二次函数的图象过（4，-3），（2，1），
（-1，-8）三点。
（2）图象过（2，0），（-5，0），（1，4）三点。
（3）顶点是（3，4），又过点（-2，7）。
（4）图象的对称轴为直线x=-1，且过（1，4），
（-2，1）两点。
（5）图象与x轴两交点的横坐标是-2和5，与y轴交点的 纵 坐标是3。
（6）图象过点（4，-2），且当x=2时，函数有最大值6。
14、如果点P（1，a）和点Q（-1，b）在抛物线y=-x2+1上，那么线段PQ的长为 。
15、已知y=x2-（12-k）x+12，当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，则k的值为 。
2
10
16、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（1，-2），则a+b+c的值是 。
17、直线y=-2x-3与抛物线y=x2+（3m+1）x+2m的对称轴交于点（-2，1），则m= 。
-2
1
18、抛物线y=-（x-m）（x-3-k）+m与抛物线y=（x-3）2+4关于原点对称，则m+k= 。
19、已知二次函数的图象过（2，0），（6，0）两点，且顶点在直线y=0.75x上，求此二次函数的解析式。
-9
y=-0.75（x-4）2+3
选一选
抛物线y=x2-4x+3的对称轴是_____________.
A 直线x=1 B直线x= -1 C 直线x=2 D直线x= -2
(2)抛物线y=3x2-1的________________
A 开口向上,有最高点 B 开口向上,有最低点
C 开口向下,有最高点 D 开口向下,有最低点
(3)若y=ax2+bx+c(a  0)与轴交于点A(2,0), B(4,0),
则对称轴是_______
A 直线x=2 B直线x=4 C 直线x=3 D直线x= -3
(4)若y=ax2+bx+c(a  0)与X轴交于点A(2,m), B(4,m),
则对称轴是_______
A 直线x=3 B 直线x=4 C 直线x= -3 D直线x=2
c
B
C
A
x
5、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（ ）
B
例1、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。
解：∵二次函数的最大值是2
∴抛物线的顶点纵坐标为2
又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上
∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2）
∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2
又∵图象经过点（3，-6）
∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2
∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2
即： y=-2x2+4x
综合创新:
1.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的
形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离
为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.
解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状
相同 a=1或-1
又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
 顶点为(1,5)或(1,-5)
所以其解析式为:
(1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5
(3) y=-(x-1)2+5 (4) y=-(x-1)2-5
2.若a+b+c=0,a0,把抛物线y=ax2+bx+c向下
平移4个单位,再向左平移5个单位所到的新
抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.
分析:
(1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0)
(2) 新抛物线向右平移5个单位,
再向上平移4个单位即得原抛物线
答案:y=-x2+6x-5
练习1、已知抛物线y=ax2+bx-1的对称轴是x=1 ，
最高点在直线y=2x+4上。
(1) 求此抛物线的顶点坐标.
（2）求抛物线解析式.
（3）求抛物线与直线的交点坐标.
解：∵二次函数的对称轴是x=1
∴图象的顶点横坐标为1
又∵图象的最高点在直线y=2x+4上
∴当x=1时，y=6
∴顶点坐标为（ 1 ， 6）
例2、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴正、负半轴分别交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C。若OA=4，OB=1，∠ACB=90°，求抛物线解析式。
解： ∵点A在正半轴，点B在负半轴
OA=4，∴点A（4，0）
OB=1， ∴点B（-1，0）
又 ∵ ∠ACB=90°ＯＣ⊥ ＡＢ
设点C坐标为（0，a）
由勾股定理得点C（0，-2）
设y＝a（x＋１）（x－４）得：
a（０＋１）（０－４）＝－２
∴a＝０.５ 　∴ y＝０.５（x＋１）（x－４）
问题2这位同学身高1.7 m,若在这次跳投中，球在头顶上方0.25 m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
尝试成功
如图，有一次,我班某同学在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05m.
3.05 m
2.5m
3.5m
问题1 建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；
4 m
试一试
你知道吗？平时我们在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似的看为抛物线，如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米、2.5米处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5米，请你算一算学生丁的身高。
1m
2.5m
4m
1m
甲
乙
丙
丁
(0,1)
(4,1)
(1,1.5)
练习：在矩形荒地ABCD中，AB=a，BC=b,（a>b > 0），今在四边上分别选取E、F、G、H四点，且AE=AH=CF=CG=x，建一个花园，如何设计，可使花园面积最大？
D
C
A
B
G
H
F
E
a
b
b
2、如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
解：
(1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
∴ 花圃宽为（24－4x）米
(3) ∵墙的可用长度为8米
∴ S＝x（24－4x）
＝－4x2＋24 x （0∴ 0<24－4x ≤8 4≤x<6
∴当x＝4m时，S最大值＝32 平方米
3、某企业投资100万元引进一条产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万。该生产线投产后，从第1年到第x年的维修、保养费用累计为y(万元)，且y=ax2+bx,若第1年的维修、保养 费用为2万元，到第2年为6万元。
　　（1）求y的解析式；
　　（2）投产后，这个企业在第几年就能收回投资？
解:（1）由题意，x=1时，y=2；x=2时，y=2+4=6,分别代入y=ax2+bx,得a+b=2,4a+2b=6,
解得:a=1,b=1, ∴y=x2+x.
　　（2）设g＝33x-100-x2-x,则
　　g=-x2+32x-100=-(x-16)2+156.
由于当1≤x≤16时，g随x的增大而增大，故当x=4时，即第4年可收回投资。
问题4：某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价一元，销量减少10个，为赚得最大利润，售价定为多少？最大利润是多少？
分析：利润=（每件商品所获利润）× （销售件数）
设每个涨价x元， 那么
（3）销售量可以表示为
（1）销售价可以表示为
（50+x）元（x≥ 0，且为整数）
(500-10x) 个
（2）一个商品所获利润可以表示为
（50+x-40）元
（4）共获利润可以表示为
(50+x-40)(500-10x)元
温馨提示：同桌交对，互相帮助！
心理学家研究发现：一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力y随时间t的变化规律有如下关系式：
（1）讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较，何时学生的注意力更集中？
（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？
（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？
中考题选练
已知二次函数 y=0.5x²+bx+c 的图象经过点A(c，-2)， 求证：这个二次函数图象的对称轴是直线 x＝3。
题目中的黑色部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。
（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数的图象。若不能，请说明理由。
（2）请你根据已有的信息，在原题中的黑色部分添加一个适当的条件，把原题补充完整。
国家基础教育课程改革青海省潢中县实验区2004年升中试题
再见！