第一课时
二次函数复习
1.复习二次函数的定义
练习：
1、y=-x²，y=2x²-2/x，y=100-5x²，y=3x²-2x³+5,其中是二次函数的有____个。
一般地，如果 y=ax2+bx+c(a，b，c 是常数，a≠0)，那么，y叫做x的二次函数。
(1)a≠0. (2)最高次数为2. (3)代数式一定是整式
2
定义要点：
1.函数 （其中a、b、c为常数），当a、b、c满足什么条件时，
（1）它是二次函数；
（2）它是一次函数；
（3）它是正比例函数；
考考你
（1）它是二次函数？
（2）它是反比例函数？
3.当m=______时,函数y=(m-1)χ - 2χ+1 是二 次函数？
考考你
例1：二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是________
对称轴是_________。
画二次函数的大致图象:
①画对称轴
②确定顶点
③确定与y轴的交点
④确定与x轴的交点
⑤确定与y轴交点关于对称轴对称的点
⑥连线
(0,-6)
(-2,0)
(3,0)
(1,-6)
怎样画二次函数的图象
(0,-6)
(-2,0)
(3,0)
(1,-6)
增减性:
当 时,y随x的增大而减小
当 时,y随x的增大而增大
最值:
当 时,y有最 值,是
小
函数值y的正负性:
当 时,y>0
当 时,y=0
当 时,y<0
x<-2或x>3
x=-2或x=3
-2例1：二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是_____
对称轴是______。
数形结合研究图象性质
2.复习二次函数的图象及性质
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
a>0,开口向上
a<0,开口向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
(0,c)
(0,c)
2、二次函数　　　　　　　　 图象的顶点坐标和对称轴方程为（　　）
A、（1，-2）， x＝1　 B、（1，2)，x＝1
C、（-1，-2），x＝-1 D、（-1，2），x＝-1
D
A
1、抛物线　　　　　 的对称轴及顶点坐标分别是（ 　）
A、y轴，（０，-4）　 B、x＝３，（０，４）
C、x轴，（０，０）　　D、y轴，　（０，３）
考考你
例1.函数 的开口方向________，
顶点是_______________,对称轴是__________, 当x 　 时, y随x的增大而减小。
当x 　 时, y有最　　为 .
向上
＜－１
＝－１
小
数形结合研究图象性质
巩固练习:
1、填空：
（1）二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是___________对称轴是_________。
x=-2
(-2，-1)
0
巩固练习:
1、填空：
（4）抛物线y=-2x2+4x与x轴的交点坐标是___________
（5）已知函数y=—x2-x-4，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是___________
（6）二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图象经过原点，则m= ____。
1
2
（0，0）（2，0）
x<1
2
(7)已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴上,则c=＿＿＿＿.
16
2.选择
抛物线y=x2-4x+3的对称轴是_____________.
A 直线x=1 B直线x= -1 C 直线x=2 D直线x= -2

(2)抛物线y=3x2-1的________________
A 开口向上,有最高点 B 开口向上,有最低点
C 开口向下,有最高点 D 开口向下,有最低点

(3)若y=ax2+bx+c(a  0)与轴交于点A(2,0), B(4,0),
则对称轴是_______
A 直线x=2 B直线x=4 C 直线x=3 D直线x= -3

(4)若y=ax2+bx+c(a  0)与轴交于点A(2,m), B(4,m),
则对称轴是_______
A 直线x=3 B 直线x=4 C 直线x= -3 D直线x=2
c
B
C
A
巩固练习:
例2.已知抛物线 y＝x²-mx+m-1.
(1)若抛物线经过坐标系原点，则m______；
(2)若抛物线与y轴交于正半轴，则m______； 　　　　　　　
(3)若抛物线的对称轴为y轴，则m______;
(4)若抛物线与x轴只有一个交点，则m______.
= 1
＞1
= 2
= 0
数形结合研究图象性质
例3.不论x为何值时，函数y=ax2+bx+c（a≠0）
的值永远为正的条件是_____________
a>0, b²-4ac<0
例4、求抛物线　　　　　　　　
①与y轴的交点坐标;
②与x轴的两个交点间的距离.
③x取何值时，y＞0?
-3
1
6
(-1,8)
-1
数形结合研究图象性质
例5.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.
解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同
 a=1或-1
又 顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
 顶点为(1,5)或(1,-5)
所以其解析式为:
(1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5
(3) y=-(x-1)2+5 (4) y=-(x-1)2-5
展开成一般式即可.
小结:一般地,抛物线 y = ax2与y = ±a(x-h)2+k形状相同,
位置不同。
数形结合研究图象性质
教材P101页牛刀小试第1、2、3题
课后作业
教材P100页实战运用第1题
第二课时
二次函数复习
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
(1)有两个交点
(2)有一个交点
(3)没有交点
b2 – 4ac > 0
b2 – 4ac= 0
b2 – 4ac< 0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac
≥0
3.二次函数与一元二次方程的关系
与x轴有两个不
同的交点
（x1，0）
（x2，0）
有两个不同的解x=x1，x=x2
b2-4ac＞0
与x轴有唯一个
交点
有两个相等的解
x1=x2=
b2-4ac=0
与x轴没有
交点
没有实数根
b2-4ac＜0
基础练习:
1.不与x轴相交的抛物线是( )
A y=2x2 – 3 B y= - 2 x2 + 3
C y= - x2 – 3x D y=-2(x+1)2 - 3
2.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x轴交点情况是( )
A 无交点 B 只有一个交点
C 有两个交点 D不能确定
D
C
考考你
例 (1)如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有 两个相等的实数根,则m=＿＿＿＿,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有_____个交点.
1
1
(2)一元二次方程3x2+x-10=0的两个根是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y=3x2+x-10与x轴的交点坐标是＿_______＿＿＿.
（-2、0）（5/3、0）
应用新知
(1) 一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是(x1,0),(x2,0)
小结
（2） 抛物线Y=ax2+bx+c与X轴的交点坐标是（X1,0)(X2,0)，则一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为X1,X2
韦达定理:X1+X2=-b/a X1X2=c/a
2、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设抛物线解析式为_______________
3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),或者已知方程ax2+bx+c=0的两根为x1, x2,则通常设解析式为_____________
1、已知抛物线上的任意三点，通常设解析式为________________
y=ax2+bx+c(a≠0)
y=a(x-h)2+k(a≠0)
y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
4.求抛物线解析式的三种方法
一般式： y=ax2+bx+c
两根式：
y=a(x-x1)(x-x2)
顶点式：
y=a(x-h)2+k
解：
设所求的二次函数为　y=ax2+bx+c
由条件得：
a-b+c=10
a+b+c=4
4a+2b+c=7
解方程得：
因此：所求二次函数是：
a=2, b=-3, c=5
y=2x2-3x+5
例1.已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、
（1,4）、（2,7）三点，求这个函数的解析式？
例题精讲
4.求抛物线解析式的三种方法
例题精讲
解：
设所求的二次函数为　y=a(x＋1)2-3
由条件得：
例2.已知抛物线的顶点为（－1，－3），与轴交点为（0，－5）求抛物线的解析式？
点( 0,-5 )在抛物线上
a-3=-5, 得a=-2
故所求的抛物线解析式为 y=－2(x＋1)2-3
即：y=－2x2-4x－5
一般式： y=ax2+bx+c
两根式：
y=a(x-x1)(x-x2)
顶点式：
y=a(x-h)2+k
4.求抛物线解析式的三种方法
解：
设所求的二次函数为　y=a(x＋1)(x－1）
由条件得：
例3.已知抛物线与X轴交于A（－1，0）,B（1,0）并经过点M（0,1）,求抛物线的解析式？
点M( 0,1 )在抛物线上
所以：a(0+1)(0-1)=1
得： a=-1
故所求的抛物线解析式为 y=- (x＋1)(x-1)
即：y=－x2+1
一般式： y=ax2+bx+c
两根式：
y=a(x-x1)(x-x2)
顶点式：
y=a(x-h)2+k
例题精讲
4.求抛物线解析式的三种方法
练习1
根据下列条件，求二次函数的解析式。
(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点；
(2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；
(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点 的纵坐标是3 。
1、选择合适的方法，求下列二次函数的解析式。
（2）抛物线的顶点坐标是（6，-2），且与X轴的一个交点的横坐标是8。
（1）抛物线经过（2，0）（0，-2）（-1，0）三点。
能力训练
（3）抛物线的最大值为4，方程ax2+bx+c=0的两根为0或2。
课　堂　小　结
求二次函数解析式的一般方法：
已知图象上三点或三对的对应值，
通常选择一般式
已知图象的顶点坐标、对称轴和最值，
通常选择顶点式
已知图象与x轴的两个交点的横x1、x2，
通常选择两根式
确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，
恰当地选用一种函数表达式，
教材P101页牛刀小试第4题
课后作业
教材P100页实战运用第3题
教材P116页第16题
1、一个二次函数，当自变量x= -3时，函数值y=2；当自变量x= -1时，函数值y= -1；当自变量x=1时，函数值y= 3，求这个二次函数的解析式？

2、已知抛物线与X轴的两个交点的横坐标是　 、 　 ，与Y轴交点的纵坐标是-3 ，
求这个抛物线的解析式？
教材P114页牛刀小试第2、4、5题
第三课时
二次函数复习
5. a，b，c ， △符号的确定
a决定开口方向：a＞０时开口向上，
　　　　　　　 a＜０时开口向下
a、b同时决定对称轴位置：a、b同号时对称轴在y轴左侧
　　　　　　　　　　　　a、b异号时对称轴在y轴右侧
　　　　　　　　　　　　b＝０时对称轴是y轴
c决定抛物线与y轴的交点：c＞０时抛物线交于y轴的正半轴
　　　　　　　　　　　　c＝０时抛物线过原点
　　　　　　　　　　　　c＜０时抛物线交于y轴的负半轴
△决定抛物线与x轴的交点：△＞０时抛物线与x轴有两个交点
　　　　　　　　　　　　△＝０时抛物线与x轴有一个交点
△＜０时抛物线与x轴没有交点
(上正、下负）
(左同、右异)
(上正、下负)
△= b2-4ac
１、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图
所示，则a、b、c的符号为（　　）
A、a<0,b>0,c>0 B、a<0,b>0,c<0
C、a<0,b<0,c>0 D、a<0,b<0,c<0
2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
如图所示，则a、b、c的符号为（　　）
A、a>0,b>0,c=0 B、a<0,b>0,c=0
C、a<0,b<0,c<0 D、a>0,b<0,c=0
3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图
所示，则a、b、c 、 △的符号为（ 　）
A、a>0,b=0,c>0,△>0 B、a<0,b>0,c<0,△=0
C、a>0,b=0,c<0,△>0 D、a<0,b=0,c<0,△<0
B
A
C
o
o
o
练习：
熟练掌握a，b， c，△与抛物线图象的关系
(上正、下负）
(左同、右异)
·
c
考考你
4.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点和
二、三、四象限，判断a、b、c的符号情况：
a 0,b 0,c 0.
<
=
<
5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点,
且它的顶点在第三象限，则a、b、c满足
的条件是：a 0,b 0,c 0.
>
=
6.二次函数y=ax2+bx+c中，如果a>0，b<0，c<0，
那么这个二次函数图象的顶点必在第 象限
先根据题目的要求画出函数的草图，再根据
图象以及性质确定结果（数形结合的思想）
四
>
练习：
考考你
-2
例1：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的几个特例：

1）、当x=1 时，
2）、当x=-1时，
3）、当x=2时，
4）、当x=-2时，
y=
y=
y=
y=
6）、2a+b 0.
o
1
-1
2
＞０
＜０
＞０
＜０
＞
5）、b²-4ac 0.
＞
a+b+c
a-b+c
4a+2b+c
4a-2b+c
例2： 二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则在下列各不等式中成立的个数是____________
1
-1
0
x
y
①abc<0
②a+b+c < 0
③a+c > b
④2a+b=0
⑤
开口方向:向上a>0;向下a<0
对称轴:在y轴右侧a、b异号; 在y轴左侧a、b同号
与y轴的交点:在y轴正半轴c>0;在y轴负半轴c<0
与x轴的交点:两个不同b2-4ac>0;唯一b2-4ac=0;没有b2-4ac<0
a+b+c由当x=1时的点的位置决定;a-b+c由当x=-1时的点的位置决定
已知二次函数的图象如图所示，下列结论：
⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a
其中正确的结论的个数是（ ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
D
x
-1
1
0
y
要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x轴、y轴的交点的位置，注意运用数形结合的思想。
能力训练
例3:在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为
5.根据函数性质判定函数图象之间的位置关系
答案: B
1、如图，在同一坐标系中，函数y=ax+b与 y=ax2+bx(ab≠0)的图象只可能是（ ）
能力训练
D
2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y=ax+c在同一坐标系内的大致图象是（　）
C
能力训练
y = ax2
y = ax2 + k
y = a(x – h )2
y = a( x – h )2 + k
上下平移
左右平移
上下平移
左右平移
6.抛物线的平移法则
结论:左加右减，上加下减
(0,0)
(0,k)
(h,0)
(h,k)
各种顶点式的二次函数的关系如下:
巩固练习:
⑴二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2x2-3的图象；
二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2(x-3)2的图象。
⑵二次函数y=2x2的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的图象。
下
3
右
3
左
1
上
2
考考你
例2: 若a+b+c=0,a0,把抛物线y=ax2+bx+c向下平移4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的
顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.
分析:
(1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0)
(2) 新抛物线向右平移5个单位,
再向上平移4个单位即得原抛物线
答案:y=-x2+6x-5
应用新知
例1: 将 向左平移3个单位,再向下平移2个
单位后,所得的抛物线的关系式是____________
1.将抛物线y=-3x2-1向上平移2个单位, 再向右平移 3个单位, 所得的抛物线的表达式为 　　　　 ，
2.若把抛物线y=x2+bx+c向左平移3个单位,再向上平移2个单位,得抛物线y=x2-2x+2,
则b= ，c= ,
-8
15
注意：顶点式中，上＋下－，左＋右－
考考你
巩固练习:
（1）由二次函数y=x2的图象经过如何平移可以得到函数y=x2-5x+6的图象.
y=x2-5x+6
考考你
归纳小结：
（1）二次函数y=ax2+bx+c及抛物线的性质和应用;
注意：图象的递增性，以及利用图象求自变量x或函
数值y的取值范围
结论:左加右减，上加下减
(3)各种顶点式的二次函数的关系;
教材P103页实战运用第1、2题
课后作业
教材P100页实战运用第4题
第四课时
二次函数复习
题型分析:
(一)抛物线与x轴、y轴的交点所构成的面积
例1:填空：
(1)抛物线y＝x2－3x＋2与y轴的交点坐标是____________，与x轴的交点坐标是____________；
(2)抛物线y＝－2x2＋5x－3与y轴的交点坐标是____________，与x轴的交点坐标是____________．
(0,2)
(1,0)和(2,0)
(0,-3)
例2:已知抛物线y=x2-2x-8，（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。
(1)证明:∵△=22-4×(-8)=36>0
∴该抛物线与x轴一定有两个交点
(2)解:∵抛物线与x轴相交时
x2-2x-8=0
解方程得:x1=4, x2=-2
∴AB=4-(-2)=6
而P点坐标是(1,-9)
∴S△ABC=27
(一)抛物线与x轴、y轴的交点所构成的面积
例3、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。
解：∵二次函数的最大值是2
∴抛物线的顶点纵坐标为2
又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上
∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2）
∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2
又∵图象经过点（3，-6）
∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2
∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2
即： y=-2x2+4x
(二)根据函数性质求函数解析式
例5：
已知二次函数y= — x2+ x- —
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，
A，B的坐标。
（3）画出函数图象的示意图。
（4）求ΔMAB的周长及面积。
（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大
（小）值，这个最大（小）值是多少？
（6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
(三)二次函数综合应用
例5：
已知二次函数y= — x2 + x - —
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，
A，B的坐标。
（3）画出函数图象的示意图。
（4）求ΔMAB的周长及面积。
（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大
（小）值，这个最大（小）值是多少？
（6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
解:
解
0
x
y
(3)
解
0
•
M(-1,-2)
•
•
C(0,-–)
•
•
A(-3,0)
B(1,0)
3
2
y
x
D
解
解
0
x
x=-1
•
•
(0,-–)
•
•
(-3,0)
(1,0)
3
2
:(5)
•
(-1,-2)
当x=-1时，y有最小值为
y最小值=-2
当x≤-1时，y随x的增大
而减小;
解:
0
•
(-1,-2)
•
•
(0,-–)
•
•
(-3,0)
(1,0)
3
2
y
x
由图象可知
(6)
3、解答题：
已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图象过点（－3，－2）。（1）求此二次函数的解析式；（2）设此二次函数的图象与x轴交于A，B两点，O为坐标原点，求线段OA，OB的长度之和。
巩固练习:
1、抛物线y=ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线的解析式为y=-ax2-bx-c
2、抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称的抛物线的解析式为y=ax2-bx+c
思考：
求抛物线Y=X2-2X+3关于X轴对称的抛物线的解析式，关于Y轴的抛物线的解析式
小结:
(四)关于直线对称的两抛物线关系
例6:
抛物线 关于x轴对称的抛物线解析式是
解题思路:
①将原抛物线写成顶点式y=a(x-h)2+k
②写出顶点(h,k)
③写出顶点(h,k)关于x轴的点的坐标(h,-k)
则关于x轴对称的抛物线解析式是y=-a(x-h)2-k
关于x轴对称:
关于y轴对称:
①将原抛物线写成顶点式y=a(x-h)2+k
②写出顶点(h,k)
③写出顶点(h,k)关于y轴的点的坐标(-h,k)
则关于x轴对称的抛物线解析式是y=a(x+h)2+k
教材P103页实践运用第3、4、5题
课后作业
教材P100页实战运用第2题