第二十一章
一元二次方程复习课
主题1 一元二次方程及根的有关概念
【主题训练1】(2014·怀化模拟)若(a-3) +4x+5=0是关于x
的一元二次方程,则a的值为(　　)
A.3　　　B.-3　　　C.±3　　　D.无法确定
【自主解答】选B.因为方程是关于x的一元二次方程,所以a2-
7=2,且a-3≠0,解得a=-3.
【主题升华】
一元二次方程的有关定义及根
1.一元二次方程满足的四个条件.
2.一元二次方程的项的系数包括它前面的符号,一次项的系数和常数项可以为0.
3.根能使方程左右两边相等,已知一个根,可代入确定方程中的字母系数.
1.(2014·武威凉州模拟)下列方程中,一定是一元二次方程的是(　　)
A.ax2+bx+c=0　 B. x2=0
C.3x2+2y- =0　 D.x2+ -5=0
【解析】选B.A中的二次项系数缺少不等于0的条件,C中含有两个未知数,D中的方程不是整式方程.
2.(2013·牡丹江中考)若关于x的一元二次方程ax2+bx+5 =0(a≠0)的解是x=1,则2013-a-b的值是(　　)
A.2 018　　 B.2 008　　 C.2 014　　 D.2 012
【解析】选A.∵x=1是一元二次方程ax2+bx+5=0的一个根, ∴a·12+b·1+5=0,∴a+b=-5,∴2013-a-b=2013-(a+b)=
2013-(-5)=2018.
3.(2014·启东模拟)一元二次方程2x2-3x-2=0的二次项系数是　　　　,一次项系数是　　　　,常数项是　　　　.
【解析】项和系数都包括它前面的符号,所以二次项系数是2,一次项系数是-3,常数项是-2.
答案:2　-3　-2
主题2 一元二次方程的解法
【主题训练2】(2013·义乌中考)解方程x2-2x-1=0.
【自主解答】移项得:x2-2x=1,配方得:x2-2x+1=2,即(x-1)2=2,
开方得:x-1=± ,
x=1± ,所以x1=1+ ,x2=1- .
【备选例题】(2014·齐齐哈尔模拟)方程a2-4a-7=0的解是
　　　　.
【解析】a2-4a-7=0,移项得:a2-4a=7,配方得:a2-4a+4=7+4,
(a-2)2=11,两边直接开平方得:a-2=± ,a=2± .
答案:a1=2+ ,a2=2-
【主题升华】
一元二次方程解法选择
若没有特别说明,解法选择的基本顺序是直接开平方法→因式分解法→公式法.配方法使用较少,除非题目有明确要求才使用.
1.(2013·鞍山中考)已知b<0,关于x的一元二次方程(x-1)2=b的根的情况是(　　)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.有两个实数根
【解析】选C.∵(x-1)2=b中b<0,∴没有实数根.
2.(2013·吉林中考)若将方程x2+6x=7化为(x+m)2=16,则m=　　　　.
【解析】在方程x2+6x=7的两边同时加上一次项系数的一半的平方,得x2+6x+32=7+32,
配方,得(x+3)2=16.所以,m=3.
答案:3
3.(2012·永州中考)解方程:(x-3)2-9=0.
【解析】移项得:(x-3)2=9,两边开平方得x-3=±3,
所以x=3±3,解得:x1=6,x2=0.
主题3 根的判别式及根与系数的关系
【主题训练3】(2013·广州中考)若5k+20<0,则关于x的一元二次方程x2+4x-k=0的根的情况是(　　)
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法判断
【自主解答】选A.Δ=16+4k= (5k+20),
∵5k+20<0,∴Δ<0,∴没有实数根.
【主题升华】
根的判别式的应用
1.根的判别式的作用:不解方程判断方程有无实数根.
2.一元二次方程的根的情况取决于Δ=b2-4ac的符号.
(1)当Δ=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根.
(2)当Δ=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根.
(3)当Δ=b2-4ac<0时,方程没有实数根.
(4)对于以上三种情况,反之也成立.
【知识拓展】根与系数关系的应用
(1)已知一根求另一个根.
(2)求含根的代数式的值.
①两根的倒数和:
②两根的平方和:x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2;
③两根的差:x1-x2= (x1>x2).
1.(2013·福州中考)下列一元二次方程有两个相等实数根的
是(　　)
A.x2+3=0　 B.x2+2x=0
C.(x+1)2=0　 D.(x+3)(x-1)=0
【解析】选C.
2.(2013·珠海中考)已知一元二次方程:①x2+2x+3=0,
②x2-2x-3=0,下列说法正确的是(　　)
A.①②都有实数解
B.①无实数解,②有实数解
C.①有实数解,②无实数解
D.①②都无实数解
【解析】选B.一元二次方程①的判别式的值为Δ= b2-4ac=4-12=-8<0,所以方程无实数根;一元二次方程②的判别式的值为Δ=b2-4ac=4+12=16>0,所以方程有两个不相等的实数根.
3.(2013·黄冈中考)已知一元二次方程x2-6x+c=0有一个根为2,则另一根为(　　)
A.2　　　　　B.3　　　　　C.4　　　　　D.8
【解析】选C.由题意,把2代入原方程得:22-6×2+c=0,解得c=8,把c=8代入方程得x2-6x+8=0,解得x1=2,x2=4.
4.(2013·武汉中考)若x1,x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根,则x1x2的值是(　　)
A.-2　　　 B.-3　　　 C.2　　　 D.3
【解析】选B.∵x1x2= ,∴x1x2=-3.
5.(2014·芜湖模拟)关于x的方程ax2-(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实根x1,x2,且有x1-x1x2+x2=1-a,则a的值是(　　)
A.1　 B.-1　 C.1或-1　 D.2
【解析】选B.由题意:x1+x2= ,x1x2= ,因为x1-
x1x2+x2=1-a,所以 - =1-a,即 =1-a,解得a1=1,
a2=-1.当a=1时,原方程有两个相等的实数根,不合题意,舍去.
所以a=-1.
主题4 一元二次方程的应用
【主题训练4】(2013·泉州中考)某校为
培养青少年科技创新能力,举办了动漫制
作活动,小明设计了点做圆周运动的一个
雏型.如图所示,甲、乙两点分别从直径的两端点A,B以顺时
针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程l(cm)与时间
t(s)满足关系:l= t2+ t(t≥0),乙以4cm/s的速度匀速运动,
半圆的长度为21cm.
(1)甲运动4s后的路程是多少?
(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了多少时间?
(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了多少时间?
【自主解答】(1)当t=4时,
l= ×42+ ×4=14(cm).
答:甲运动4s后的路程是14cm.
(2)设它们运动了ms后第一次相遇,根据题意,得:
+4m=21,
解得m1=3,m2=-14(不合题意,舍去).
答:甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了3s.
(3)设它们运动了ns后第二次相遇,根据题意,得:
+4n=21×3,
解得n1=7,n2=-18(不合题意,舍去).
答:甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了7s.
【主题升华】
一元二次方程解应用题的六个步骤
1.审——审清题意,找出等量关系.
2.设——直接设未知数或间接设未知数.
3.列——根据等量关系列出一元二次方程.
4.解——解方程,得出未知数的值.
5.验——既要检验是否是所列方程的解,又要检验是否符合实际情况.
6.答——完整地写出答案,注意单位.
1.(2013·天水中考)从一块正方形的木板上锯掉2m宽的长方形木条,剩下的面积是48m2,则原来这块木板的面积是(　　)
A.100 m2　 B.64 m2　 C.121 m2　 D.144 m2
【解析】选B.设正方形原边长是x,根据题意可得:(x-2)x=48,解得x1=8,x2=-6(不合题意,舍去),所以原边长是8,面积是64m2.
2.(2014·怀化模拟)我国政府为解决老百姓看病难问题,决定下调药品的价格.某种药经过两次降价,由每盒60元调至48.6元,则每次降价的百分率为　　　　　　.
【解析】∵设每次降价的百分率为x,则根据题意,得60(1-x)2=48.6,解得x1=1.9(不合题意,舍去),x2=0.1=10%.
答案:10%
3.(2013·百色中考)为响应“美丽广西清洁乡村”的号召,某校开展“美丽广西清洁校园”的活动,该校经过精心设计,计算出需要绿化的面积为498m2,绿化150m2后,为了更快地完成该项绿化工作,将每天的工作量提高为原来的1.2倍.结果一共用20天完成了该项绿化工作.
(1)该项绿化工作原计划每天完成多少m2?
(2)在绿化工作中有一块面积为170m2的矩形场地,矩形的长比宽的2倍少3m,请问这块矩形场地的长和宽各是多少米?
【解析】(1)设该项绿化工作原计划每天完成xm2,则提高工作
量后每天完成1.2xm2,根据题意,得 =20,解得x=22.
经检验,x=22是原方程的根.
答:该项绿化工作原计划每天完成22m2.
(2)设矩形宽为ym,则长为(2y-3)m,
根据题意,得y(2y-3)=170,
解得y=10或y=-8.5(不合题意,舍去).
2y-3=17.
答:这块矩形场地的长为17m,宽为10m.