第21章 一元二次方程复习
1.下列方程中，关于x的一元二次方程是 （ ）
A.
B.
C.
D.
A
（1）三个特征：只含有一个未知数；
方程的两边都是整式；
未知数的最高次数为2次.
（2）形如ax2 + bx + c=0（a≠0）叫做一元二次方程.
2.关于x的方程（a-1）x2 - 2x + 3=0是一元二次方程，则 （ ）
A. a>1 B. a<1 C.a=1 D.a≠1
D
一元二次方程的概念
解： 原方程转化为(2a-4)x2 -2bx+a=0
当a≠2时是一元二次方程；
当a＝2,b≠0时是一元一次方程；
4、把方程（1-x)(2-x)=3-x2 化为一般形式是：___________, 其二次项系数是____,一次项系数是____,常数项是____.
5、方程（m-2)x|m| +3mx-4=0是关于x的一元二次方程，则 （ ）
A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠ ±2
2x2-3x-1=0
2
-3
-1
C
能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
B
一元二次方程的根
(1)直接开平方法
(2)配方法
(3)公式法
(4)因式分解法
解一元二次方程的方法有几种?
你能说出每一种解法的特点吗?
例:解下列方程
１、用直接开平方法：(x+2)2=９
解:两边开平方,得: x+2= ±3
∴ x=-2±3
∴ x1=1, x2=-5
右边开平方后，根号前取“±”。
例:解下列方程
2、用配方法解方程4x2-8x-5=0
两边加上相等项“1”。
解:移项,得: 3x2-4x-7=0 a=3 b=-4 c=-7 ∵b2-4ac=(-4)2-4×3×(-7)=100＞0 ∴ ∴x1= -1 x2 =
先变为一般形式，代入时注意符号。
3、用公式法解方程 3x2=4x+7
用公式法解一元二次方程的前提是:

解:原方程化为 （y+2) 2﹣ 3（y+2）=0
(y+2)(y+2-3)=0
(y+2)(y-1)=0
y+2=0 或 y-1=0
∴y1=-2 y2=1
4、用因式分解法解方程：（y+2)2=3(y+2）
一元二次方程的解法
选择你认为适当的方法解下列方程：
谁最快
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况：
(1)Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；
(2)Δ=0 方程有两个相等的实数根；
(3)Δ＜0 方程无实数根.
一元二次方程根的判别式
△=b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式
利用根的判别式解题的几种常见题型
题型一：不解方程直接判别根的情况
解：①△>0，此方程有两不等实根；
②△=0，此方程有两相等实根；
③△<0，此方程无实数根。
利用根的判别式解题的几种常见题型
题型二：根据△证明方程根的情况
题型三：已知根的情况求字母的值（范围）
1. 已知: (a2+b2)(a2+b2-3)=10
求a2+b2 的值。
中考直击
思考
2.若方程4x2-(m-2)x+1=0的左边可写成一个完全平方式，则m的值是（ ）A.-6或-2 B.-2 C. 6或-2 D.2或-6
根与系数的关系：
一元二次方程
一元二次方程根与系数的关系
(韦达定理）
设 X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则
X1+X2 = ___ X1X2 = ____，
X12+X22 = ；
( X1-X2)2 = ；
基础练习
.
1、若关于x的一元二次方程 x2+px+q=0的两根互为相反数，则 p=______;若两根互为倒数，则q=_____．
2、已知一元二次方程 2 x2 + b x + c = 0的两个根是 – 1 、3 ，则
b= ，c= .
二、选择
1、若方程 中有一个根为零，另一个根非零，则 的值为 ( ) A B C D

3、两根均为负数的一元二次方程是(　)
A.4x2+2x+5=0 B.6x2-13x-5=0　C.7x2-12x+5=0 D.2x2+15x+8=0
2、已知方程 的两个根都是整数，则k的值可以是（ ）
（A）-1 （B） 1 （C） 5 (D)以上三个中的任何一个
补充规律：
两根均为负的条件： X1+X2 且X1X2 。
两根均为正的条件： X1+X2 且X1X2 。
两根一正一负的条件： X1+X2 且X1X2 。
当然，以上还必须满足一元二次方程有根的条件：b2-4ac≥0
例2：已知关于x的方程 x2+(2k+1)x+k2-2=0 满足：两根的平方和比两根之积的3倍少10，求k的值.
三、解答题：
在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根
为1与－3；小王看错了q，解得方程的根为4与－2。这个
方程的根应该是什么?
1. 为响应国家“退耕还林”的号召,某地2000年退耕还林1600公顷，计划到2002年退耕还林1936公顷.,那么这两年退耕还林的增长率是多少?
增长率与方程
方程应用
2. 剪一块面积是150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，设这块铁片的宽为xcm，根据题意所列方程是 .
x（x+5）=150
3. 一个直角三角形三边的长为三个连续的偶数，则这个直角三角形的三边长分别为 .
6，8，10
4. 有一间长18米，宽7米的会议室，在它的中间铺一块地毯 ，
地毯的面积是会议室面积的三分之一，四周未铺地毯处的宽度
相同，求所留宽度是多少米?若设所留宽度为x米, 则可列方程
.
( 18-2x ) (7- 2x ) = 42
5. 某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800 万元，如果平均每月增长率为x，则所列方程应为（ ）
A、100(1+x)2=800 B、100+100×2x=800
C、100+100×3x=800 D、100+100(1+x)+100(1+x)2 = 800
D
我是商场精英
1.某商场销售一批名牌衬衫,现在平均每天能售出20件,每件盈利40元.为了尽快减少库存,商场决定采取降价措施.经调查发现:如果这种衬衫的售价每降低1元时,平均每天能多售出2件.商场要想平均每天盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?
销售问题
某种商品,按标价销售每件可盈利50元,平均每天销售24件.根据市场信息,若每件降价2元,则每天可多销售6件.如果经销商想保证每天盈利2160元,同时考虑不过分增加营业员的工作量,每件商品应降低多少元?
拓展：每件商品应降低多少时，
商店每天盈利最多？最多盈利是多少？
销售问题
1、如图,已知A、B、C、D为矩形的四个顶点,AB=16㎝,AD=6㎝,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以3㎝/s的速度向点B移动,一直到点B为止,点Q以2㎝/s的速度向点D移动.
问:P、Q两点从出发开始几秒时,四边形PBCQ的面积是33c㎡
面积问题
问P、Q两点从出发开始几秒时,四边形PBCQ的面积是33c㎡？
分析:四边形PBCQ的形状是梯形,上下底,高各是多少?
1、如图,已知A、B、C、D为矩形的四个顶点,AB=16㎝,AD=6㎝,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以3㎝/s的速度向点B移动,一直到点B为止,点Q以2㎝/s的速度向点D移动.
面积问题
运动与方程
1、 某军舰以20海里的速度由西向东航行,一艘电子侦察船以30海里的速度由南向北航行,它能侦察出周围50海里(包括50海里)范围内的目标.如图,当该军舰行至A处时,电子侦察船正位于A处的正南方向的B处,且AB=90海里.如果军舰和侦察船仍按原来速度沿原方向继续航行,那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰 ?如果能,最早何时能侦察到?如果不能,请说明理由.
运动与方程
(90-30x)2+(20x)2=502
１、试证明关于x的方程(a2-8a+20)x2+2ax+1=0，不论a为何值，此方程都是一元二次方程。
提升练习
复 习
一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0）
直接开平方法
解法 配方法
公式法
知识结构 因式分解法
一元二次方程 根的判别式、根与系数的关系

一元二次方程的应用

思想方法 转化思想；
配方法、换元法