回 顾 与 思 考
一、定义及一般形式:
1.只含有_____个未知数,且未知数的最高次数为______的________方程叫做一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式是________________(a≠0);其中a是二次项系数,b是一次项系数 ,c是 常数项.
一
2
整式
ax2+bx+c=0
1、判断下面哪些方程是一元二次方程：
√
√
×
×
×
×
( )
×
2、把方程（1-x)(2-x)=3-x2 化为一般形式是：___________, 其二次项系数是____,一次项系数是____,常数项是____.

3、方程（m-2)x|m| +3mx-4=0是关于x的一元二次方程，则 （ ）
A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠ ±2

4、若x=2是方程x2+ax-8=0的根，则a=______.
2x2-3x-1=0
2
-3
-1
C
2
二、你学过一元二次方程的哪些解法?
因式分解法
开平方法
配方法
公式法
你能说出每一种解法的特点吗?
方程的左边是完全平方式,右边是非负数;即形如x2=a(a≥0)
开平方法
1.化1:把二次项系数化为1;
2.移项:把常数项移到方程的右边;
3.配方:方程两边同加一次项系数 一半的平方;
4.变形:化成
5.开平方，求解
“配方法”解方程的基本步骤
★一除、二移、三配、四化、五解.
用公式法解一元二次方程的前提是:
公式法
1.必需是一般形式的一元二次方程:
ax2+bx+c=0(a≠0).
2.b2-4ac≥0.
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够
分解,而右边等于零;
因式分解法
2.理论依据是:如果两个因式的积等于零
那么至少有一个因式等于零.
因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
一移-----方程的右边=0;
二分-----方程的左边因式分解;
三化-----方程化为两个一元一次方程;
四解-----写出方程两个解;
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0
③ -3t2+t=0 ④ x2-4x=2
⑤ 2x2－x=0 ⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0
⑨ (x-2)2=2(x-2)
适合运用直接开平方法 ；
适合运用因式分解法 ；
适合运用公式法 ；
适合运用配方法 .
例：解一元二次方程
1.用直接开平方法：(x+2)2=９
3.用公式法解方程 :3x2=4x+7
2.用因式分解法解方程：（y+2)2=3(y+2）
4.用配方法解方程 :4x2-8x-5=0
用最好的方法求解下列方程：
1)（3x-2）²-49=0
2)（3x-4）²=（4x-3）²
3) 4y=1－ y²
请用四种方法解下列方程:
4(x＋1)2 = (2x－5)2
比一比
结论
先考虑开平方法,
再用因式分解法;
最后才用公式法和配方法;
三、一元二次方程根的判别式
两不相等实根
两相等实根
无实根
一元二次方程
根的情况
定理与逆定理
两个不相等实根
两个相等实根
无实根(无解)
若一元二次方程有实数根，则
例题：求证：关于x的方程
x2-(m+2)x+2m-1=0有两个不相等的实数根.
1、关于x的一元二次方程
有实数根，则m的取值范围是_______ ．
2、关于x的方程 有实数根，
则整数a的最大值是_______.
练习：
ax2+c=0 ====>
ax2+bx=0 ====>
ax2+bx+c=0 ====>
因式分解法
公式法（配方法）
2、公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定 是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）
3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法。
1、
直接开平方法
因式分解法
练习检测
1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
2、一元二次方程(3x-1)(2x+2)=x2-2化为一般形式为__________________,二次项系数为_____,一次项系数为______,常数项为_______.
3、已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则代数式a2+b2+2ab的值是______.
4.下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题，其中答对的是（ ）
A、若x2=4，则x=2
B、若3x2=6x，则x=2
C、若x2+x-k=0的一个根是1，则k=2
5.一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是________.
6（2014•广西贺州）已知关于x的方程x2+(1﹣m)x+ =0
有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是____．
9.（2014•扬州）已知关于x的方程
（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+ =0有两个相等的实数根，求k的值．
8、已知关于x的方程(m2-1)x2+(m-1)x-2m+1=0,
当m_______时，是一元二次方程；当m______时，是一元一次方程；当m=______时，x=0.
7、写出一个一元二次方程，使它的两个根分别为1，-2，则这个方程可以是______________.
10.（2014•株洲）已知关于x的一元二次方程
（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为 △ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
选择适当的方法解下列方程:
若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2 ，则
x1+x2 = x1·x2=
若方程x2+px+q=0(a≠0)的两根 为x1、x2 ，则
x1+x2 = x1·x2=
以x1、x2为两根的一元二次方程为：
x2－(x1+x2)x+x1·x2=0
一元二次方程根与系数关系
1、关于x的一元二次方程x²+(m-1)x-5=0， 当
m ___时，方程的两根为互为相反数.
2、关于x的一元二次方程3x²-5x+ (m-1)=0， 当m ___时，方程的两根为互为倒数.
=1
=4
若方程的两根为互为相反数，则b=0。
若方程的两根为互为倒数，则a=c。
1. 审清题意，弄清题中的已知量和未知量找出题中的等量关系。
2. 恰当地设出未知数，用未知数的代数式表示未知量。
3. 根据题中的等量关系列出方程。
4. 解方程得出方程的解。
5. 检验看方程的解是否符合题意。
6. 作答注意单位。
列方程解应用题的解题过程。
三、一元二次方程的应用。
1、数字问题
2、变化率问题、疾病传播问题
4、面积问题
3、利润问题
5、几何问题
注意： ①设要有单位
②解出方程后检验根的合理性
两个数的差等于4,积等于45,求这两个数.
2.有一个正两位数,它的十位数字与个位数字的和是5.把这个两位数的十位数字与个位数字互换后得到另一个两位数,两个两位数的积为736.求原来的两位数.
一次会议上,每两个参加会议的人都互相握了一次手,有人统计一共握了66次手.这次会议到会的人数是多少?
如图,在一块长92m,宽60m的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽度都相等.水渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩形小块,水渠应挖多宽.
甲公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元.该公司缴税的年平均增长率为多少?
某电冰箱厂每个月的产量都比上个月增长的百分数相同。已知该厂今年4月份的电冰箱产量为5万台，6月份比5月份多生产了12000台，求该厂今年产量的月平均增长率为多少?
某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量减少20千克,现该商场要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?
解:设每千克水果应涨价x元, 依题意得: (500-20x)(10+x)=6000
整理得: x2-15x+50=0
解这个方程得:x1=5 x2=10
要使顾客得到实惠应取x=5
答:每千克水果应涨价 5元.
某商场销售一批名牌衬衫,现在平均每天能售出20件,每件盈利40元.为了尽快减少库存,商场决定采取降价措施.经调查发现:如果这种衬衫的售价每降低1元时,平均每天能多售出2件.商场要想平均每天盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?
某果园有100棵桃树,一棵桃树平均结1000个桃子,现准备多种一些桃树以提高产量.试验发现,每多种一棵桃树,每棵棵桃树的产量就会减少2个.如果要使产量增加15.2%,那么应多种多少棵桃树?
小明将勤工助学挣得的500元钱按一年定期存入银行,到期后取出50元用来购买学习用品 剩下的450元连同应得的税后利息又全部按一年定期存入银行。如果存款的年利率保持不变,且到期后可得税后本息约461元,那么这种存款的年利率大约是多少? (精确到0.01%) .
将一条长为56cm的铁丝剪成两段,并把每一段围成一个正方形.
(1).要使这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎样剪?
(2).要使这两个正方形的面积之和等于196cm2,该怎样剪?
(3).这两个正方形的面积之和可能等于200m2吗?
将一条长为56cm的铁丝剪成两段,并把每一段围成一个正方形.
(1).要使这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎样剪?
(2).要使这两个正方形的面积之和等于196cm2,该怎样剪?
(3).这两个正方形的面积之和可能等于200m2吗?
将一条长为56cm的铁丝剪成两段,并把每一段围成一个正方形.
(1).要使这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎样剪?
(2).要使这两个正方形的面积之和等于196cm2,该怎样剪?
(3).这两个正方形的面积之和可能等于200m2吗?
在<九章算术>“勾股”章中有这样一个问题:
今有邑方不知大小,各中开门.出北门二十步有木,出南门十四步折而西行,一千七百七十五步见木.问邑方几何.
大意是:
如图,四边形DEFG是一座正方形小城,北门H位于DG的中点.南门K位于EF的中点,出北门20步到A处有一棵树,出南门14步到C处,再向西行1775步到B处,正好看到A处的树木(即点D在直线AB上).求小城的边长.
如图,四边形DEFG是一座正方形小城,北门H位于DG的中点.南门K位于EF的中点,出北门20步到A处有一棵树,出南门14步到C处,再向西行1775步到B处,正好看到A处的树木(即点D在直线AB上).求小城的边长.
-284不合题意，舍去
某军舰以20节的速度由西向东航行,一艘电子侦察船以30节的速度由南向北航行,它能侦察出周围50海里(包括50海里)范围内的目标.如图,当该军舰行至A处时,电子侦察船正位于A处的正南方向的B处, AB=90海里.如果军舰和侦察船仍按原来速度沿原方向继续航行,那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰 ?如果能,最早何时能侦察到?如果不能,请说明理由.
再 见