11.3 多边形及其内角和
1.了解多边形内角和与外角和的探究过程;
2.掌握多边形内角和与外角和定理;

3.掌握镶嵌的条件;

4.感受数学知识在实际生活中的应用.
图中有你认识的多边形吗？
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图中有你认识的多边形吗？
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
你能仿照三角形的定义给出四边形、五边形……的定义吗？
顶点
内角
边
可表示为：
五边形ABCDE或五边形DCBAE
A
B
C
D
E
外角
：多边形相邻两边组成的角
内角的邻补角
在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.
等边三角形
正方形
正五边形
正六边形
对角线
对角线
对角线——— 连接多边形不相邻的两个顶点的线段.
A
B
C
D
E
读出图中所有的对角线
画出多边形中从一个顶点出发的对角线，写出它的条数.
0
1
2
3
5
从n边形的一个顶点出发能画出多少条对角线？
你能写出每个图形中对角线的总条数吗？如果不能，请画出所有对角线.
0
2
5
9
你能告诉我二十边形的对角线的总条数吗？五十边形呢？一百边形呢？n边形呢？
太难画了！
0
0
0
1
2
2
2
3
5
3
4
9
4
5
14
n-3
n-2
…
…
…
…
…
…
…
3
4
5
6
7
n
0
n-3
1
2
3
4
1
2
3
4
5
n-2
(n－2)×180°
5 ×180°
4 ×180°
3 ×180°
2 ×180°
1 ×180°
B
A
C
D
G
F
E
n边形内角和=(n－2)×180°
把一个五边形分成几个三角形，还有其他的分法吗？
A
B
C
D
E
F
180°× 4 – 180° = 540°
E
A
B
C
D
O
180°× 5 – 360°= 540°
A
B
C
D
E
4 × 180°-180 °
O
=540°
【例】已知四边形ABCD，∠A+∠C=180°，求∠B+∠D.
A
B
C
D
解:四边形的内角和为:
(4-2) ×180 =360°，
所以∠B+∠D= 360°- (∠A+∠C)=180°.
∠A+∠C=180°，
【例题】
十二边形的内角和是 .
一个多边形当边数增加1时，它的内角和增加 .
一个多边形的内角和是720°，则此多边形共有 个内角.
如果一个多边形的内角和是1 440°，那么此多边形是
边形.
1 800°
180°
六
十
【跟踪训练】
如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和．五边形的外角和等于多少？
6
五边形外角和
五边形的外角和等于360°.
-(5-2) × 180°
=360°.
=五个平角
-五边形内角和
=5×180°
在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．
n边形外角和=
n边形的外角和等于360°.
-(n-2) × 180°
=360°.
n个平角-n边形内角和
=n×180°
点此播放解析视频
从多边形的一个顶点A点出发，沿多边形的各边走过各点之后回到点A.最后再转回出发时的方向.
多边形的外角和
在行程中所转的各个角的和是多少？
好平整的地板!这是怎么铺成的?怎么一点空隙也没有？
好平整的地面!这是怎么铺成的?怎么一点空隙也没有？
砖与砖不留空隙、不重叠，并且把地面全部铺满.
正方形
正三角形
正六边形
1
2
3
∠1+∠2+∠3=?
用边长相同的正五边形能否铺满地面？
铺满地面满足的条件:
能铺满地面的正多边形,围绕某一点的内角和为_______.
360°
1.什么样的正多边形能够铺满地面?
要用正多边形铺满地面,关键是：这种正多边形内角的度数能整除360°.
能单独铺满地面的正多边形有正三角形、正四边形、正六边形.
2.用边长相等的两种正多边形铺地面，哪两种正多边形能铺满地面？
点此播放讲课视频
60°×3+90°×2=360°
正三角形和正方形
正三角形和正六边形
60°×4 +120°=360°，60°×2+120°×2=360°.
135°
135°
90°
150°
150°
60°
正八边形和正方形
正十二边形和正三角形
135°+135°+ 90°=360°，
150°+150°+ 60°=360°.
正方形和正六边形能否铺满地面？
【解析】正方形和正六边形不能铺满地面.
1．（茂名·中考）下列命题是假命题的是（ ）
A．三角形的内角和是180°
B．多边形的外角和都等于360°
C．五边形的内角和是900°
D．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
C
2．（自贡·中考）一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1 620°，则原来多边形的边数是
（ ）
A．10 B．11 C．12 D．以上都有可能
D
3．（肇庆·中考）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形
Ｃ
4.在四边形ABCD中，∠A=120°，∠B:∠C:∠D
=3:4:5，求∠B，∠C，∠D的度数.
【解析】设∠B，∠C,∠D的度数分别是3x°,4x°,5x°，由四边形的内角和等于360°可得：
120 + 3x + 4x + 5x = 360，
12x = 240，
x=20，
∴ 3x = 60，
4x = 80，
5x = 100.
答：∠B,∠C，∠D的度数分别为60°,80°,100°.
5.探究： 用几个形状、大小相同的任意三角形能镶嵌成一个平面图案吗？四边形呢？
1
3
2
∵ ∠1+∠2+∠3=180°，
∴2(∠1+∠2+∠3)=360°.
所以，用几个形状、大小相同的任意三角形能镶嵌成平面图案。
解：
因为∠1+∠2+∠3+∠4=360°，
所以用几个形状、大小相同的任意四边形能镶嵌成平面图案.
3.用几个大小、形状相同的任意三角形,任意四边形都能镶嵌成平面图案.
2.镶嵌成平面图案的条件是:多边形围绕某一点的内角和为360°.
1.n边形内角和为(n－2)×180°；n边形的外角和等于360°.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
一个有信念者所开发出的力量，大于99个只有兴趣者。