11.3.2 多边形的内角和
学习目标
1、掌握多边形的内角和与外角和的计算方法，并能用其解决一些简单的问题；
2、通过多边形内角和计算公式的推导，体验转化的数学思想方法。
1、在平面内，_____________________叫做多边形。
２、在多边形中连接_________________的线段叫做多边形的对角线。
３、三角形的内角和是_____度．
由一些线段首尾顺次相接组成的图形
多边形不相邻的两个顶点的线段
1800
B
A
D
C
（1）四边形ABCD的内角 和是多少？

（2）你是怎样求的？
思路：多边形问题转化为三角形问题来解决．
(1)从顶点A可以画几条对角线？分别是哪几条？
(2)这样五边形被分成了几个三角形？
(3)五边形的内角和是多少度？
A
B
D
C
E
你来探索六边形的内角和，你一定行！
A
B
C
D
E
F
4
4×180°
这种探索方法你掌握了吗？请完成下表
3
4
5
n-2
180°
×5
(n-2) ×180
180° ×4
想一想：从表中你能发现什么？
n边形的内角和等于(n－2)．180°
想一想
An A5
A1 A4
A2 A3
An A5
A1 A4
A2 A3
(1)
(2)
你还有其他的方法将多边形分割成三角形吗？
例1：求八边形的内角和的度数。
解：（n－2）×180°＝（8－2）×180°
＝1080°
答：八边形的内角和为1080°。
例2：一个正多边形的一个内角为150°，
你知道它是几边形吗？
解：设　这个多边形为n边形，根据题意得：
　　　　（n－2）×180＝1５0n
　　 　　 　 n＝12
答：这个多边形是12边形。
另解：由于多边形外角和等于360°
而这个正多边形的每个外角都等于
180°－150°＝30°，
所以这个正 多边形的边数等于
360°÷30°＝12。
例题、已知两个多边形的内角和为1440°，且两多边形的边数之比为1︰3，求它们的边数分别是多少？
牛刀小试：（1）八边形的内角和等于 。（2）已知一个多边形的内角和等于2340°，  它的边数是 。（3）小明在计算多边形的内角和时求得的 度数是1000°，他的答案正确吗？为 什么？
1080°
15
（4）已知四边形4个内角的度数比是1︰2︰3︰4，
那么这个四边形中最大角的度数是 。
（5）一个五边形的三个内角是直角，另两个内角
都是n°，则n= 。
（6）六角螺母的面是六边形，它的内角都相等，则
这个六边形的每个内角是 　　　　 。
（7）在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，那么∠B
与∠D有什么关系呢？为什么？
144°
135°
120°
问题
大家清晨跑步吗？小明就有每天坚持跑步的好习惯，他怎样跑步呢？右图就是小明清晨沿一个五边形广场周围的小跑，按逆时针方向跑步的效果图. 请你观察并思考如下几个问题:
(1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？在图中标出它们.
A
B
C
D
E
1
2
3
4
5
(2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
(3)在上图中，你能求出1+∠2+∠3+∠4+∠5的大小吗？你是怎样得到的？
探索
（1）什么是三角形的外角？外角有什么性质？
（2）类似地，在多边形中找出外角
多边形的一边与另一边的延长线的夹角，叫做多边形的外角。
（1）如图，求△ABC的三个外角的和。
三角形的三个外角之和为3600
（2）四边形的外角和等于多少度？
（3）五边形的外角和怎么求？n边形呢？
猜想与说理:
n边形的外角和是多少度呢?
答:都是360°.因为多边形的外角与它相邻的内角是邻补角，所以n边形的外角和加内角和等于n·180°，内角和为(n－2)·180°,因此，外角和为：n·180°－(n－2)·180°= 360°.
结论:多边形的外角和都等于360°.
例3：一个多边形的内角和等
于它的外角和的3倍，它
是几边形？
解：设它是n边形，则
(n-2).180=3×360
解得：n=8
答：它是8边形
例3：一个正多边形的每个内角比相邻外角大36°求这个多边形的边数。
解：设一个外角为x°，
则内角为（x＋36）°
根据题意得：
　　 x+x+36＝180
　　 　 x＝72
360÷72＝5
答：这个正多边形为正五边形。
（1）一个多边形的每一个外角都是600，这个多边形是几边形？它的内角和等于多少度?
(2)有没有这样的多边形，它的内角和是外角和的3倍？
（3）一个多边形的每一个外角都相等，且每一个内角都比外角大900，求这个多边形的边数和每个内角的度数。
7、两个多边形的边数比是1:2,两个多边形的内角和为1440度,求这两个多边形的边数,
6、一个多边形的每个内角都比相邻的外角3倍多20度,求这个多边形的边数,
5、四边形的四个内角的比是8:6:3:7,求它的四个内角,
4、一个多边形的内角和是外角和的4倍,这是几边形
强化训练

三角形三个内角的度数分别是（x+y)o, (x-y)o,xo,且x>y>0,则该三角形有一个内角为 （　　）
A、30O B、45O C、60O D、90O

2.一个正多边形每一个内角都是120o，这个多边形是（　　） A、正四边形 B、正五边形
　　C、正六边形 D、正七边形
C
C

３．一个多边形木板，截去一个三角形后（截线不经过顶点），得到新多边形内角和为2160o，则原多边形的边数为（　 ）
A、13条 B、14条 C、15条 D、16条
下列说法中，错误的是（ 　　）
　　A、一个三角形中至少有一个角不大于60O；　　B、有一个外角是锐角的三角形是钝角三角形；C、三角形的外角中必有两个角是钝角；　　　D、锐角三角形中两锐角的和必然小于60O；
A
D
5.小明绕五边形各边走一圈，他共转了_ __度。
6.下列正多边形（1）正三角形（2）正方形（3）正五边形（4）正六边形，其中用一种正多边形能镶嵌成平面图案的是 　　　　　 ；
360
（1）、（2）、（4）
7.如下图，AD是BC边上的高，BE是 △ ABD的角平分线，∠1=40°，∠2=30°，则∠C=_ __∠BED= 。
65°
60°
8、两个多边形的边数比是1:2,两个多边形的内角和为1440度,求这两个多边形的边数,
2、有一六边形，截去一三角形，内角和会发生
怎样变化？请画图说明。
内角和减少180O
内角和不变
内角和增加180O
把一个五边形切取一个角，将得到几边形？此时多边形的内角与外角有什么变化？
探究活动：
如图， ∠Ａ＝４５°， ∠Ｂ＝２５ ° ∠Ｃ＝３０ ° ，则 ∠Ｄ＝　　　　　。
100 °
探究活动：
如图， ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠Ｅ＋∠Ｆ＝　　　　　。
180 °
探究活动：
如图， ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠Ｅ＋∠Ｆ＝　　　　　。
180 °
巩固一下：
求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数。
7×180O－2×360O＝540O
(4)求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数。
作业：
P25/7、8、9