11.3 多边形及其内角和
知识回顾：
什么是三角形、三角形的边、顶点、内角和外角？
在平面内，由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的图形叫做三角形。
记作：△ABC
在平面内，由四条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的图形叫做四边形。
记作：四边形ABCD
在平面内，由五条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的图形叫做五边形。
在平面内，由六条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的图形叫做六边形。
记作：六边形ABCDEF
记作：五边形ABCDE
多（n）边形的定义：
在平面内，由n条不在同一直线上的线段
首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
多边形的内角和外角：
一个四边形有几个外角？
多边形相邻两边组成的角叫做它的内角；
多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
多边形的对角线：
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形
的对角线。
如图是四边形ABCD，求作它的所有对角线.
多边形的对角线
在图（1）中，画出四边形的任何一条边所在的直线，这个图形都在这条之间的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形；
而图（2）的四边形中，画出一边所在的直线后，图形在直线的两侧，我们就称其为凹四边形.
凸多边形与凹多边形
（通常所说的多边形都是指凸多边形）
问题 1 五边形、六边形分别有多少个内角？多少个外角？
答：五边形有5个内角，10个（5对）外角；
六边形有6个内角，12个（6对）外角.
问题：n边形有多少个内角？多少个外角？
答：n边形有n个内角，2n个（n对）外角.
如果多边形的各个角都相等，各条边都相等，那么就称它为正多边形.
如：正三角形、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形等.
正多边形
议一议：
（1）一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？
（2）一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？
11.3 多边形及其内角和
1.画出下列多边形的全部对角线.
11.3 多边形及其内角和
2.四边形的一条对角线将四边形分成几个三角形？从五边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？
答：四边形的一条对角线将四边形分成2个三角形；从五边形的一个顶点出发，可以画出2条对角线？它们将五边形分成3个三角形.
问题2：你知道长方形和正方形的内角和是多少？

任意一个四边形的内角和是多少？
问题1：你还记得三角形内角和是多少度？
（三角形的内角和等于180°）
（都是360°）
想一想
A
B
C
D
问题3：在探究四边形的内角和时，有的同学不是用量角器度量、计算得到，而是 按照如图所示，利用辅助线将四边形分割成两个三角形的方法，利用三角形内角和等于180°，得到四边形内角和等于360°。你能说明它的合理性吗？并且启发你能否借助辅助线找到不同的分割方法呢？
想一想
P
A
B
C
D
图 1
如图1，在四边形内任取一点P,连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形，四边形内角和等于180°×4 － 360°= 360°
学一学
P
A
B
D
C
图 2
如图2，在四边形的一边上任取一点P,连接PB、PC，将四边形变成有一个公共顶点的三个三角形，四边形内角和等于180° ×3－ 180° = 360°
P
A
B
C
D
图 3
如图3，在四边形外任取一点P,连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形，四边形内角和等于180° ×3－ 180° = 360°
你知道五边形的内角和吗？六边形呢？七边形呢？你能证明吗？
请你选择喜欢的一种方法解答上述问题。
想一想
n－2
(n－2)·180°
1
2
3
4
180°
360°
540°
720°
…
…
探究
你知道 n 边形的内角和吗？
1、利用在探究上述多边形内角何时得到的规律，可得
n边形的内角和等于（n－2） · 180°.
想一想
2、我们也可以利用下列不同的方法分割多边形，得到 n 边形的内角和公式
试一试
解：如图，在四边形ABCD中，
∠A＋∠C＝180°
∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D
＝180°（4－2）＝360°
∴∠B＋∠D
＝360°－（∠A＋∠C）
＝360°－180°＝180°
例1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组
对角有什么关系？
如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.
例2：如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和.求六边形的内角和.
解：六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角，都等于180°.因此六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和等于6×180°.
这个总和就是六边形的外角和加上内角和，所以外角和等于总和减去内角和.
即外角和等于
6×180°－（6－2）×180°
＝2×180°＝360°
天生我才
11.3 多边形及其内角和
3.如果将例2中的六边形换为n边形（n的值是不小于3的任意正整数），可以得到同样的结果吗？你能得出什么结论？
结论：
任何多边形的外角和都等于360°.
4、（抢答） 八边形的内角和等于多少度？十边形呢？
（8－2) ×
180°= 1080°
(10－2) ×
180°=
1440°
5.求下列图形中x的值：
做一做
65
60
95
75
11.3 多边形及其内角和
6.已知一个多边形每个内角都等于 108° ，求这个多边形的边数？
解法1：设这个多边形的边数为n.
180°（n－2）＝108°n
解得 n＝5
解法2：设这个多边形的边数为n.
（180°－108°）n＝360°
解得 n＝5
答：这个多边形的边数为5.
11.3 多边形及其内角和
7.如图：AD⊥AB，BC⊥CD，则∠B与∠D是什么关系？为什么？
答：∠B＋∠D＝180°
证明：∵AD⊥AB，BC⊥CD
∴∠A＝∠C＝90°
∴∠A＋∠C＝90°＋90°
＝180°
∴∠B＋∠D＝180°
8.在下面每个多边形中，从一个顶点出发，画出它所有的对角线，观察图形找规律填表：
天生我才
11.3 多边形及其内角和
1
2
3
n－3
天生我才
11.3 多边形及其内角和
9.以五边形为例，探索多边形的对角线与边数的关系.
（1）从顶点A出发做对角线，可以作出 条.分别是 .从顶点B出发做对角线，可以作出 条.分别是 .同理：分别从C、D、E出发均可作出 条对角线.
2
AC、AD
2
BD、BE
2
11.3 多边形及其内角和
天生我才
9.以五边形为例，探索多边形的对角线与边数的关系.
（2）分析：五边形有 个顶点，从每个顶点出发都可以作出 条对角线，按这样计算，五边形的对角线共有 条；不难发现，对每一条对角线都重复算了两次，事实上，五边形总共只有 条对角线，因此，五边形的对角线应表示为
.
（只用算式表示）
5
（5－3）
5（5－3）
5
1/2×5（5－3）
天生我才
11.3 多边形及其内角和
9.以五边形为例，探索多边形的对角线与边数的关系.
（3）猜想：六边形的对角线总共有
条（只用算式表示）；n边形对角线总共有
条.
（4）应用：十边形的对角线共有 条.
1/2×6（6－3）
1/2×n（n－3）
35
再见!