人教版数学教材八年级上
11.3.2多边形及其内角和
1、填空：如图，此多边形应记作 边形 ，AB边的邻边是 、 ，顶点E处的内角为 ，过顶点A画出这个多边形的对角线，共有 条，它们把多边形分成 个三角形。
2、n边形有 个顶点， 条边，有 个角，有 个不同顶点的外角．
3、四边形有 条对角线。五边形有 　　 条对角线。
4、四边形的一条对角线将它分成 个三角形．
5、从六边形的一个顶点出发可以画 条对角线，它们将六边形分成 个三角形．
6、正多边形的 相等, 相等．
7、多边形分为 和 两类．
五
ABCDE
AE
BC
∠AED
2
3
n
n
n
n
2
5
2
４
３
边
凸多边形
凹多边形
角
布局精巧玄妙，从高空俯视，全村呈八卦形，房屋、街巷的分布走向恰好与历史上写的诸葛亮九宫八卦阵暗合。
想一想
浙江金华兰溪诸葛八卦村
你能算出八卦图的内角和吗？
你能算它的内角和吗？
它们的内角和该怎么计算呢？
其他多边形的内角和呢？
想一想
你知道长方形和正方形的内角和是多少？

其它四边形的内角和是多少？
你还记得三角形内角和是多少度？
（三角形内角和 180°）
（都是360°）
让我们从简单的多边形的内角和开始探索！
Why?
四边形内角和
那么如何求此五边形的内角和呢?
选捷径，我能行！
3× 180° =5400
说说你的 探索思路？
三角形
四边形
五边形
1800
2× 180°
= 3600
3× 180° =5400
探索过程一掠:
六边形
七边形
4× 180° =7200
5× 180° =9000
那么六边形、七边形的内角和呢？
2
3
3×180°=540 °
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
4
4×180°=720°
(n-2)×180°
n
n-3
n-2
7
5×180°=900°
4
5
综上所述，设多边形的边数为n，
则 n边形的内角和等于
（n一2）•180°
百家争鸣
其他方法
其他方案
我们也可以利用以上不同的方法分割多边形，得到n边形的内角和公式
照猫画虎
n边形内角和等于
最终结论
（n－2）× 180°
2、已知一个多边形每个内角都等108° ，求这个多边形的边数？
解：设这个多边形的边数为 n，根据题意得：
(n－2) ×180=108n
解得：n=5 答：这个多边形是五边形。
1、八边形的内角和等于多少度？ 十边形呢？
（8－2) ×180°= 1080°
(10－2) ×180°= 1440°
抢 答
那么正五边形、正六边形、正八边形、正n边形的每个内角分别是多少度呢？
……
正n边形
（5-2）×180°
5
=108°
（6-2）×180°
6
=120°
（8-2）×180°
8
=135°
（n-2）×180°
n
Now I can ……
解：如图四边形ABCD中，
例1、如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补。
典型例题
（2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
（3）在上图中，你能求出1+  2+  3+  4+  5=吗？你是怎样得到的？
（1）小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是 哪 个 角？
清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步。
结论：
1，  2，  3，  4，  5的和等于360ْ
多边形 内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和。
多边形的外角和等于360ْ
如果广场的形状是六边形、八边形，那么还有类似的结论吗？
多边形的外角和
各抒己见
多边形的外角和等于360ْ
多边形 外角与内角有何关系？还有其他方法可以推导出多边形外角和？
多边形的任何一个内角加上与它相邻的内角都等于180°（平角），n个外角连同它们的各自相邻的内角，共有n个180°，总和为n× 180° ，再用它减去n个内角的和，剩下的就是多边形的外角和了！
例1. 已知一个多边形，它的内角和 等于外角和的2倍，求这个多边形的边数。

解： 设多边形的边数为n
∵它的内角和等于 (n-2)•180°，
多边形外角和等于360º，
∴ (n-2)•180°=2× 360º。
解得: n=6
这个多边形的边数为6。
例2. 一个多边形当边数增加1时，它的内角和增加
多少度？

解： 设多边形的边数为n，
∵它的内角和等于 (n-2)•180°，
当边数增加1时，内角和为(n+1-2)•180°，
 (n+1-2)•180°- (n-2)•180°
=n•180°-180°-n•180°+360°
= 180°
内角和增加180°
外角和呢？
边数增加2或3呢？
解;设五边形中前四个角的度数分别是x,2x,3x,4x,则第五个角度数是x+ 100 °.
X+2x+3x+4x+x+ 100 °= （5－2）×180°
11X +100 °= 540°
11X = 440°
X = 40°
则这个五边形的内角分别为40, 80°, 120°, 160°, 140°.
例3. 五边形中,前四个角的比是1:2:3:4,第五个角比最小角多100 °,则这个五边形的内角分别为_____
1.正五边形 的每一个外角等于___.每一个内角等于_____,
72°
144°
2.如果一个正多边形的一个内角等于120°,则这个多边 形的边 数是_____
6
3.如果一个多边形的每一个外角等于30°,则这个多边形的边数是_____
12
随堂练习
今天的收获
3、n边形的内角和等于：（n－2）×180°
2、n边形从一个顶点所画对角线的条数为：n－3

4、利用类比归纳、转化的学习方法，可以把多边形问题转化为三角形问题来解决;
5、方程的数学思想在几何中有重要的作用。
1、 由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形，又称为多边形。
课后思考
1、一天小明爸爸给小明出了一道智力题考考他。将一个多边形截去一个角后(没有过顶点）得到多边形的内角和将会（ ）
A、不变 B、增加 180°
C、减少 180° D、无法确定
探索与创新
1.已知四边形ABCD中,∠A与∠C互补.如果∠B=80°,则∠D的度数是 .
2.某四边形四个内角的度数之比为1:2:3:3,这四个内角的度数分别是 .
3.在四边形ABCD中,已知∠A=85 ° ∠C =115 ° ∠B比∠D大20°,则∠B的度数是 ，∠D的度数是 .
交一份满意的答卷！
100°
40 °, 80 °, 120 °, 120 °
90°
70 °
练一练: 已知在四边形ABCD中, ∠A= 90° ∠C= 90°,BE平分∠ABC,交CD于点E,DF平分∠ADC,交AB于点F.求证:BE∥DF.
4.若一个n边形的内角都相等，且内角的度数与和它相邻的外角的度数比为3∶1，那么，这个多边形的边数为________.
5.若一个十边形的每个外角都相等，则它的每个外角的度数为________，每个内角的度数为________.
6.若一个凸多边形的内角和等于它的外角和，则它 的边数是_________.

7.如果一个多边形的每一个外角都相等，并且它的内角和为2880°，那么它的内角为_________.
练习
1、 若多边形的外角和与内角和之比为2∶9，求这个多边形的边数及内角和。
2 、一个多边形中的各内角相等，且每个内角与外角之差的绝对值为60°，求此多边形的边数。
3、 已知多边形的一个内角的外角与其它各内角的度数总和为600°，求边数．
4 、如果多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍还多30°，求这个多边形的内角和及对角线的总条数．

练习：
已知一个多边形的每一个外角都 等于36，这个 多边形是 几边形？它的每一个内角是多少度？
3. 六角螺母的一个面是六边形的，这个六边形的六个内角相等。求每一个内角的度数。
计算
　　1. 已知一个多边形内角和是外角和的2倍，求边数．
　　2. 已知多边形每个内角都等于150°，求内角和．
　　3. 一个多边形除了一个内角为130°外，其余各内角的和为2030°，求多边形的边数．
　　4. 已知五边形五个内角的比为1∶1.5∶2∶2.5∶3，求这个五边形的五个外角．
8.已知多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求多边形的边数.
学习了本节课你有哪些 收获？
求下列图形中x的值：
随堂练习
思考一：一个三角形中，它的内角最多可以有几个锐角？ 为什么？
思考二：一个四边形中，它的内角最多可以有几个锐角？ 为什么？
思考三：一个多边形中，它的内角最多可以有几个锐角？为什么？
一个多边形中，它的外角最多可以有几个钝角？
3