11.3.2多边形的内角和
三角形的内角和是180°，那么四边形的内角和是多少呢？五边形呢？你是如何得到这个结论的？
任意四边形的内角和等于多少度
你是怎样得到的？
A
B
C
D
探究
探究四边形的内角和
2×180 º
=360 º
4×180 º-360º
=360 º
四边形的内角和是360º
3×180 º-180º
=360 º
E
P
B
A
C
D
E
探究
5边形内角和=3×180°=540°
请你利用分割的方法探索五边形的内角是多少？
方法1
E
A
B
C
D
O
方法2
180°× 5 – 360°= 540°
180°× 5=900°？
五边形内角和540°？？
把一个五边形分成几个三角形，还有其他的分法吗？
A
B
C
D
E
F
180° × 4 – 180° = 540°
方法3
怎样求多边形内角和的？
…
…
…
…
…
…
3
4
5
6
7
n
1
n-2
2
3
4
5
180°
360°
540°
720°
900°
(n－2) ·180°
(n－2) ·180°
5 ×180°
4 ×180°
3 ×180°
2 ×180°
1 ×180°
结论：
1.n边形内角和（n－2)×180°(n≥3)
2.已知内角和求几边形:内角和÷180+2
4.n边形共有对角线 条(n≥3)
3.n边形从一个顶点出发的对角线有(n－3)条
(n≥3)
三角形
六边形
四边形
八边形
……..
五边形
是解决多边形问题的常用辅助线
对角线
多边形问题 三角形问题
转化
（未知）
（已知）
练一练:
（2）已知一个多边形的内角和为720o ，则这个多边形是______边形
6
（3）在五边形ABCDE中，若∠A=∠D=90o,且 ∠B:∠C:∠E=3:2:4,则∠C的度数为_______
80o
（1）求十边形的内角和的度数。
解：(10－2)×180°=8 ×180°=1440°
答:十边形的内角和是1440°
（4）过多边形一个顶点的所有对角线将这个多边形分成3个三角形,求:

①这个多边形的边数.

② 这个多边形内角和的度数.
5.填空(求边数)
（1）已知一个多边形的内角和为1080°，则它的边数为＿＿。
（2）已知一个多边形的每一个内角都是156°，则它的边数为＿＿。
8
15
6.正五边形 的每一个外角等于___.每一个内角等于_____,
72°
108°
7.如果一个正多边形的一个内角等于120°,则这个多边 形的边 数是_____
6
9.如果一个多边形的每一个外角等于30°,则这个多边形的边数是_____
A.12 B.9 C. 8 D.7
8.如果一个正多边形的一个内角等于150°,则这个多边形的边数是_____
A
12
2．下列角度中，不能成为多边形内角和的是（ ）
A 540° B 280° C 1800° D 900°
3.一个九边形的八个内角都是140°，那么，它的第九个内角为_______度．
1.多边形得边数增加一条时，其内角和就增加 度
能力训练：
5.随着多边形的边数n的增加，它的外角和( ) A．增加 B．减小 C．不变 D．不定
6.小明想设计一个内角和为2012°的多边形。他的想法会实现吗？　 .
4.五边形ABCDE中，若∠A = ∠D = 90°，
∠B:∠C :∠E = 3:8:7，求∠B,∠C ,∠E
∵AB∥DE， CD∥AF（已知）
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4（两 直线平行，内错角相等）
∴∠1+∠2＝∠3+∠4，
即∠FAB＝∠CDE，同理∠B＝∠E，∠C＝∠F
∴∠FAB＋∠C＋∠E= 1／2 ×720°=360°
多边形的外角和
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外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角。
外角
6
7
8
9
10
问题
大家清晨跑步吗？小明就有每天坚持跑步的好习惯，他怎样跑步呢？右图就是小明清晨沿一个五边形广场周围的小跑，按逆时针方向跑步的效果图. 请你观察并思考如下几个问题:
(1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？在图中标出它们.
A
B
C
D
E
1
2
3
4
5
(2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
(3)在上图中，你能求出1+∠2+∠3+∠4+∠5的大小吗？你是怎样得到的？
从多边形的一个顶点A点出发，沿多边形的各边走过各点之后回到点A.最后再转回出发时的方向。在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和。
由于在这个运动过程中走了一周，也就是说所转的各个角的和等于一个周角。
即：多边形的外角和等于360º
3×180o-1×180o=360o
4×180o-2×180o=360o
5×180o-3×180o=360o
6×180o-4×180o=360o
n×180o-(n-2)×180o=360o
合作学习
多边形的外角和
从上表中得到了什么结论？
结论：任何多边形的外角和为360°
练习
（1）八边形的内角和为______，外角和为_____
（2）已知一个多边形的每一个外角都是72o，求这个边形的边数为______
例1：一个多边形的内角和等 于它的外 角和的3倍，它 是几边形？
解：设它是n边形，则
(n-2).180=3×360
解得：n=8
答：它是8边形
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例2：一个正多边形的每个内角比相邻外角大36°求这个多边形的边数。
解：设一个外角为x°，
则内角为（x＋36）°
根据题意得：
　　 x+x+36＝180
　　 　 x＝72
360÷72＝5
答：这个正多边形为正五边形。
∵∠FAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE＋∠DEF＋∠AFE=（6-2）×180°=720°
解：∵ DE∥AB
∴∠1=∠R,同理∠2=∠R
∴∠1＝∠2，
∴∠CDE=∠FAB
同理∠AFE＝∠BCD，∠ABC=∠DEF
∴∠FAB＋∠BCD＋∠DEF= ×720°=360°
例3 一个六边形如图，已知AB∥DE，BC∥EF， CD∥AF，求∠A＋∠C＋∠E的度数。
（1）一个多边形的每一个外角都是600，这个多边形是几边形？它的内角和等于多少度?
(2)有没有这样的多边形，它的内角和是外角和的3倍？
（3）一个多边形的每一个外角都相等，且每一个内角都比外角大900，求这个多边形的边数和每个内角的度数。
7、两个多边形的边数比是1:2,两个多边形的内角和为1440度,求这两个多边形的边数,
6、一个多边形的每个内角都比相邻的外角3倍多20度,求这个多边形的边数,
5、四边形的四个内角的比是8:6:3:7,求它的四个内角,
4、一个多边形的内角和是外角和的4倍,这是几边形
拓展：一个六边形如图，已知 BA∥DE ，∠B= ∠ E，∠C=∠F
（1）求证：CD∥AF
（2）求∠A＋∠C＋∠E的度数．
强化训练

三角形三个内角的度数分别是（x+y)o, (x-y)o,xo,且x>y>0,则该三角形有一个内角为 （　　）
A、30O B、45O C、60O D、90O

2.一个正多边形每一个内角都是120o，这个多边形是（　　） A、正四边形 B、正五边形
　　C、正六边形 D、正七边形
C
C

３．一个多边形木板，截去一个三角形后（截线不经过顶点），得到新多边形内角和为2160o，则原多边形的边数为（　 ）
A、13条 B、14条 C、15条 D、16条
下列说法中，错误的是（ 　　）
　　A、一个三角形中至少有一个角不大于60O；　　B、有一个外角是锐角的三角形是钝角三角形；C、三角形的外角中必有两个角是钝角；　　　D、锐角三角形中两锐角的和必然小于60O；
A
D
5.小明绕五边形各边走一圈，他共转了_ __度。
6.下列正多边形（1）正三角形（2）正方形（3）正五边形（4）正六边形，其中用一种正多边形能镶嵌成平面图案的是 　　　　　 ；
360
（1）、（2）、（4）
7.如下图，AD是BC边上的高，BE是 △ ABD的角平分线，∠1=40°，∠2=30°，则∠C=_ __∠BED= 。
65°
60°
8、两个多边形的边数比是1:2,两个多边形的内角和为1440度,求这两个多边形的边数,
2、有一六边形，截去一三角形，内角和会发生
怎样变化？请画图说明。
内角和减少180O
内角和不变
内角和增加180O
把一个五边形切取一个角，将得到几边形？此时多边形的内角与外角有什么变化？
探究活动：
如图， ∠Ａ＝４５°， ∠Ｂ＝２５ ° ∠Ｃ＝３０ ° ，则 ∠Ｄ＝　　　　　。
100 °
探究活动：
如图， ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠Ｅ＋∠Ｆ＝　　　　　。
180 °
探究活动：
如图， ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠Ｅ＋∠Ｆ＝　　　　　。
180 °
巩固一下：
求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数。
7×180O－2×360O＝540O
(4)求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数。
结论
n边形的内角和为(n－2) ×180°(n≥3)
n边形从一个顶点出发的对角线有(n－3)条(n≥3)
任何多边形的外角和为360°
再见
SEE YOU ！