人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）
第十一章 三角形
11.2 与三角形有关的角
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11.2.1 三角形的内角
三角形两边的夹角叫做三角形的内角
三角形的内角
在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结。可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？”老二很纳闷。同学们，你们知道其中的道理吗？
内角三兄弟之争
如下图所示是我们常用的三角板,它们的三个角之和为多少度?
想一想:任意三角形的三个内角之和也为180度吗?
思考与探索
三角形的三个内角和是多少?
把三个角拼在一起试试看？
你有什么办法可以验证呢?
从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗?
180°
实践操作
2
1
E
D
C
B
A
三角形的内角和等于1800.
延长BC到D，
于是CE∥BA
(内错角相等，两直线平行).
∴∠B=∠2
(两直线平行，同位角相等).
∵∠1+∠2+∠ACB=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
在△ABC的外部，以CA为一边，
CE为另一边作∠1=∠A，
证法一
2
1
E
D
C
B
A
三角形的内角和等于1800.
延长BC到D，
过C作CE∥BA，
∴ ∠A=∠1
(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2
(两直线平行，同位角相等)
∵∠1+∠2+∠ACB=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
证法二
F
2
1
E
C
B
A
三角形的内角和等于1800.
过A作EF∥BC，
∴∠B=∠2
(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠1
(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°
∴∠B+∠C+∠BAC=180°
证法三
C
B
E
A
三角形的内角和等于1800.
过A作AE∥BC，
∴∠B=∠BAE
(两直线平行,内错角相等)
∠EAB+∠BAC+∠C=180°
(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠B+∠C+∠BAC=180°
证法四
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。
为了证明三个角的和为1800,转化为一个平角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法.
思路总结
(口答)下列各组角是同一个三角形的内角吗?为什么?
（2）60°， 40°， 90°
（3）30°， 60°， 50°
（1）3°， 150°， 27°
（是 ）
（ 不是）
（ 不是）
巩固练习
（1）在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °
则∠ C= .
（2）在△ABC中， ∠A :∠B:∠C=2:3:4
则∠A = ∠ B= ∠ C= .
（3）一个三角形中最多有 个直角？为什么？
（4）一个三角形中最多有 个钝角？为什么？
（5）一个三角形中至少有 个锐角？为什么？
（6）任意一个三角形中,最大的一个角的度数至少为 .
102 °
80 °
60 °
40 °
60°
2
1
1
应用新知
A
B
C
在直角三角形ABC中,∠C＝90°，由三角形内角和定力，得,
∠A +∠B+ ∠C=180°
即
∠A +∠B+ 90°=180°，
所以
∠A +∠B= 90°.
例题讲解1
也就是说，
直角三角形的两个锐角互余.
由三角形内角和定理可得：
有两个角互余的三角形是直角三角形。
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC也可以写成Rt△ABC.
A
B
C
已知△ABC中,∠ABC＝∠C=2∠A ,
BD是AC边上的高，求∠DBC的度数。
解：设∠A＝x0，则∠ABC＝∠C＝2x0
∴x＋2x＋2x＝180
（三角形内角和定理）
解得x＝36
∴∠C＝2×360＝720
∴∠DBC＝1800－900－720（三角形内角和定理）
在△BDC中，∵∠BDC＝900
(三角形高的定义）
∴∠DBC＝180
?
例题讲解2
如图,C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向。求下面各题.
（1）∠DAC＝_____ ∠DAB＝______ ∠EBC＝_______ ∠CAB ＝ ______
A
(2)从C岛看A 、B两岛的视角∠C是多少?
50°
80°
40°
北
解：∵ AD∥BE

∴ ∠DAB﹢∠ABE＝180°
∴ ∠ABE ＝ 180°－∠DAB
＝ 180° － 80° ＝100°
在△ABC中,∠C ＝ 180° － ∠CAB － ∠ABC
＝ 180°－30 °－60 °＝90°
∴ ∠ABC＝∠ABE﹣∠CBE
30 °
＝100°﹣40°＝60°
例题讲解3
D
C
E
北
A
50°
∟
B
40 °
北
M
N
在△AMC中 ∠AMC=90°, ∠MAC=50°
解：过点C画MN⊥AD分别交AD、BE于点M、N
1
2
例:如图,C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向。
∴∠1=180 °-90°-50° =40°
∵ AD∥BE
∴ ∠AMC+ ∠BNC =180 °
∴ ∠BNC =90°
同理得∠2 =50°
∴ ∠ACB =180 ° -∠1 -∠2
=180 °-40°-50° =90°
例题讲解3
B
你能想出一个更简捷的方法来求∠C的度数吗？
1
2
50°
40°
解： 过点C画CF∥AD ∴ ∠1＝∠DAC＝50 °,
F
∵ CF∥AD, 又AD ∥BE
∴ CF∥ BE
∴∠2＝∠CBE ＝40 °
∴ ∠ACB＝∠1﹢∠2 ＝50 °﹢ 40 ° ＝90 °
例题讲解3
解：在△ACD中 ∠CAD ＝30 ° ∠D ＝90 °
∴ ∠ACD =180 ° -30 ° -90 °=6 0 °
在△BCD中 ∠CBD = 45 ° ∠D ＝90 °
∴ ∠BCD = 180 °- 90°-45 °=45 °
∴ ∠ACB = ∠ACD - ∠BCD = 6 0 °- 45 °
巩固练习
1.如图,从A处观测C处时仰角∠CAD＝30°,从B处观测C处时仰角∠CBD＝45°.从C处观测A、B两处时视角∠ACB是多少?
2.如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃,那么最省事的办法是 ( )
(A)带①去　　　　(B)带②去　　　　　(C)带③去　　　　(D)带①和②去
C
巩固练习
3.△ABC中,若∠A＋∠B＝∠C,则△ABC是( )
A、锐角三角形　B、直角三角形
C、钝角三角形　D、等腰三角形
4. 一个三角形至少有（ ）
A、一个锐角 B、两个锐角
C、一个钝角 D、一个直角
B
B
巩固练习
5. 如图△ABC中,CD平分∠ACB,DE∥BC,
∠A＝70°,∠ADE＝50°, 求∠BDC的度数.
解:
∵∠A＝70°
∴∠ACB=180 °-∠A-∠B
=180°-70°-50°
=60°
∵DE//BC
∴∠B=∠ADE＝50°
∵ CD平分∠ACB
巩固练习
甲楼高16米,乙楼座落在甲楼的正北面,已知当地冬至中午12点,太阳光线与水平面夹角为450,如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上,那么两楼的距离应是多少？
甲
乙
450
？
450
16米
解:由题意知
A
B
C
∴BC=AB=16
答:两楼的距离是16米.
拓展与思考1
2、在△ＡＢＣ中，如果∠Ａ= ∠B= ∠ C，那么△ＡＢＣ是什么三角形？
解:设∠A=x°,
那么∠B=2x°,∠C=3x°
根据题意得:
解得
∴∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°
所以△ＡＢＣ是直角三角形
拓展与思考2
小结
1、三角形的内角和：三角形三个内角之和为180°
2、由三角形内角和等于180°，可得出
(1)直角三角形两锐角互余；
(2)一个三角形最多有一个直角或钝角；
(3)任意一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；
(4)一个三角形中至少有一个角小于或等于60°
11.2.2 三角形的外角
D
三角形的外角：
三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角．
A
B
C
D
E
看一看：
算一算：
探究？
图中哪些角是三角形的内角，
哪些角是三角形的外角？
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
115°
60°
65°
55°
125°
通过上题的计算，你发现∠ACD， ∠ CAE与三角形的内角之间有怎样的数量关系呢？请你试着用自己的语言说一说．
想一想：
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
结论：
求下列各图中∠1的度数。
∠1=
∠1=
∠1=
90º
85º
95º

∠ACD ∠A (<、>)；
∠ACD ∠B (<、>)
结论：三角形的一个外角大于任何一个与它不相 邻的内角。
D
>
>
你选什么 ？
把图中∠1、 ∠2、 ∠3按由大到小的顺序排列
∠1
∠2
∠3
＞
＞
三角形的外角和等于360°
议一议
∠2＋ ∠ABC=180°
∠3＋ ∠ACB=180°
三个式子相加得到
∠1＋ ∠2＋ ∠3＋ ∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB=540°
而∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB=180°
∠1＋ ∠2＋ ∠3＝360°
解：过A作AD平行于BC
∴ ∠3＝ ∠4
B
C
1
2
3
A
∴ ∠2＝ ∠BAD
∴ ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝ ∠1＋ ∠BAD＋ ∠4=360°
判断题：
1、三角形的外角和是指三角形所有外角的和。（ ）
2、三角形的外角和等于它内角和的2倍。（ ）
3、三角形的一个外角等于两个内角的和。（ ）
4、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。（ ）
5、三角形的一个外角大于任何一个内角。（ ）
6、三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角。（ ）
练一练
学一学
例1:如图，D是△ABC的BC边上一点，
∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°,∠BAC=70°.
求：（1）∠B的度数；
（2）∠C的度数.
问：（1）中为什么∠ADC＝∠B+∠BAD？
（2）中求∠C的度数还有其他方法吗？
40º
40º
⌒
练一练
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝ .
A
D
E
C
F
B
1
2
3
360°
N
P
M
(3)求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数
⌒
F
G
⌒
∠B+ ∠D= ∠EGF
∠EGF + ∠EFG + ∠E = 180°
所以
∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E= 180°
练一练
已知图中∠A、 ∠B、 ∠C分别为80°， 20° ， 30° ，求∠1的度数
如图，试计算∠BOC的度数．
练一练
90º
30º
20º
A
B
C
O
D
⌒
110°
练一练
如图，在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD＝35°，
求∠A与∠EBC的度数.

小结
1、三角形外角的两条性质
① 三角形的一个外角等于与它不相邻
的两个内角的和。
②三角形的一个外角大于任何一个与它
不相邻的内角。
2、三角形的外角和是360
再见