1
新人教版数学七上
期末复习
2
理清知识脉络，紧抓主干知识
有理数
带负号的数就是负数；
温度0℃就是没有温度；
直线就是数轴；
数轴是直线，任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示；
数轴上到原点距离等于3的点所表示的数是3、-3；
数轴上原点左边表示的数是负数，右边表示的点是正数，原点表示的数是0；
正整数和负整数统称为整数；
正分数和负分数统称为分数。
典型例题：判断下列命题是否正确
4
典 型 例 题
如果一个数的相反数等于它本身，那么这个数是 ；
如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数是 ；
如果一个数的倒数等于它本身，那么这个数是 ；
如果一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数是 ；
如果一个数的绝对值大于它本身，那么这个数是 。
0
非负数
-1或1
非正数
负数
5
例 一种圆形零件的直径规格如图：
表示这种零件的标准尺寸是30mm，
加工时要求这种零件的直径最大不
超过 ,最小不小于 .
典型例题
6
科学记数法与近似数
近似数精确度的两种形式：
精确到哪一位
有效数字：
科学记数法：用字母N表示数，
则N=a×10 n (1≤|a|＜10，n是整数)．
关键是熟练掌握a和n的确定
7
典型例题
用科学记数法记出下列各数：
(1)月球的质量约是 7 340 000 000 000 000万吨；
(2)银河系中的恒星数约是160 000 000 000个；
(3)地球绕太阳转的轨道半径约是149 000 000千米.
近似数与科学记数法相结合
8
定义新运算
8
-x+1
9
运算是重点，正确率是关键
加、减、乘、除、乘方的运算法则要理清
注意混合运算的顺序
运算法则是根本，运算律和一些技巧要合理使用，是选择性的，不是必须的
10
例 计算：16+(-25)+24+(-32)．
解：原式= (16+24)+[(-25)+(-32)]
= 40+(-57)
= -17．
把正数和负数分别结合在一起计算就比较简便．
常用的一些运算的注意事项或简便方法
例 7+5+(-4)+6+4+3+(-3)+(-2)+8+1．
解：原式= [(-4)+(4)]+[5+(-3)+ (-2)]+(7+6+3+8+1)
= 0+0+25
= 25．
把相加得零的数结合起来相加．计算比较简便．
11
解：原式

作分数加法时，先把同分母的或相加得整数的结合起来相加．计算比较简便．
常用的一些运算的注意事项或简便方法
解：原式
先定符号，合理使用分配律
12
常用的一些运算的注意事项或简便方法
解：原式
通过算式的规律确定负因数的个数为1005个，为奇数，因此符号为负.
13
例 用“<”，“>”填空
（1）如果ab>0，a+b>0，那么a___0，b___0；
（2）如果ab>0，a+b<0，那么a___0，b___0；
（3）如果ab<0，a>b，那么a___0，b___0
运算中更一般的问题（略高要求）
两数的同正、同负、异号如何用两数之和、积去表示
例 比较大小
(1)当b＞0时，a，a-b，a+b哪个最大？哪个最小？
(2)当b＜0时，a，a-b，a+b哪个最大？哪个最小？
会根据加数的正负判断和或差的大小关系
14
(5)两数和大于一个加数而小于另一个加数，那么这两数一定是异号；
(6)两个数相加，和一定大于任一个数；
(7)两个数相加，和小于任一个加数，那么这两个数一定都是负数.
判断题
(1)同号两数相乘，取相同的符号，并把绝对值相乘;
(2)两数相乘，如果积为正数，这两个因数同号;
(3)两数相乘，如果积为负数，这两个因数异号;
(4)几个有理数相乘，其中负因数的个数为奇数，那么积一定是负数;
运算中更一般的问题（略高要求）
15
1.判断对错:
(1)0是单项式,也是整式；
典型例题
16
例 若M，N都是4次多项式，则M＋N为（ ）
A. 4次多项式
B. 8次多项式
C. 次数不超过4次的整式
D. 次数不低于4次的整式
C
典型例题
17
合并同类项是要熟练掌握的基本方法
(2)当m取何值时，-3y3mx3与4x3y6是同类项?
(1)k为何值时，3xky与-x2y是同类项？
例题
系数相加
不变
原式
18
合并同类项是要熟练掌握的基本方法
系数相反
找出
同类项
例题
19
去括号、添括号法则是导致错误的一个关键点
例题 先去括号，再合并同类项：
注意括
号前面
的符号
20
化简
条件
代入
结果
多项式的化简与求值
注意解题步骤，结果要有化简和求值两部分 .
21
渗透思想方法，提升综合能力
22
数学推理能力，数学表达能力
23
数学推理能力，数学表达能力
24
整体代入的思想
25
数形结合思想
例题 一个负有理数a在数轴上的位置为A，那么在数轴上与A相距d(d>0)个单位的点中，与原点距离最远的点所对应的数是多少？
通过数形结合容易发现与原点距离最远的点所对应的数为a – d .
26
运算律与图形
a
a
b
c
a（b+c）=ab+ac
数形结合思想
27
数形结合思想
28
计算
(1)1+(-2)+3+(-4)+5+(-6)+7+(-8)+…+99+(-100)．
=(-1)+(-1)+(-1)+…+(-1) (共50个)
=-50
1+(- 2)+(- 3)+4+5+(- 6)+(- 7)+8+… +2005+
(- 2006)+(- 2007)+2008+2009+(- 2010)+(- 2011)
=[1+(- 2)+(- 3)+4]+[5+(- 6)+(- 7)+8]+… +[2005+
(- 2006)+(- 2007)+2008]+2009+(- 2010)+(- 2011)
=0+0+…+0+2009+(-2010)+(-2011)
=-2012
运算方法与技巧
寻找规律和方法，并把方法通过计算过程体现出来
29
在数1,2,3, …,2010前分别添加“＋”或“－”，求其所有可能的运算结果中最小的非负数.
运算方法与技巧
因为1+2+3+ …+2010=2021055为奇数，所以在1,2,3,…,2010前分别添加“＋”或“－”的运算结果为奇数.
又因为(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(2005-2006-2007+2008)-2009+2010=1,
则其所有可能的运算结果中最小的非负数为1.
连续四个整数通过这种方式可以得到0
30
例题 青蛙落在数轴上表示2011这个数的点上．它第一步往左跳1个单位，第二步往右跳2个单位，第三步往左跳3个单位，第四步往右跳4个单位，依此类推，当跳了100步时，青蛙恰好落在了M点．你能求出点M所表示的数吗？
实际问题与有理数运算
方法一：M表示的数m=2011-1+2-3+4-…-99+100=2011+(1+1+…+1) (共50个) =2061；
方法二：每相邻两步的结果可以看作是向右跳一个单位，则100步就是向右跳50个单位，则M表示的数m=2011+50=2061；
31
运算方法与技巧
倒序相加法（用于等差数列求和）
例 计算1+3+5+7+…+2009+2011的值．
　 用字母S表示所求算式，即
S=1+3+5+…+2009+2011． ①
　又S=2011+2009+…+5+3+1． ②
将①，②两式左右分别相加，得
2S=(1+2011)+(3+2009)+…+(2009+3)+(2011+1)
=2012+2012+…+2012+2012 (共1006个2012)
=2012×1006．
从而有 S=1006×1006=1012036．
可先研究第n项，进行化简得n/2
32
运算方法与技巧
裂项法
33
分析、探究、现场学习类问题
34
发现、归纳、表达
35
发现、归纳、表达
36
发现、归纳、表达
第2行的规律并不容易发现，但可以通过第1行得到
通过这个问题，让学生学会在题目中去寻找方法
37
发现、归纳、表达
（1）小明归纳上面各式得出一个猜想：“两个有理数的积等于这两个有理数的和”，他的猜想正确吗？为什么？
（2）请你观察上面各式的结构特点，归纳出一个猜想.
区分一般性与特殊性；
说明一个结论是错误的，只需要举出反例即可.
38
下图是由一些完全相同的等腰梯形和等边三角形拼成的大平行四边形或梯形，根据规律填表：
……
发现、归纳、表达
…
…
13a
14a
当n为奇数时，周长为(2n+3)a；
当n为偶数时，周长为(2n+2)a；
39
下图是由一些完全相同的等腰梯形和等边三角形拼成的大平行四边形或梯形，根据规律填表：
……
发现、归纳、表达
…
…
13a
14a
(4n+1)a
(4n+2)a
不难发现规律，分奇数、偶数来考虑
40
错位相减法（用于等比数列求和）
运算方法与技巧、边学边用
模仿上面的结果可能会误选B，应该在理解的基础上模仿上面的方法，动手进行计算.
41
边学边用、信息技术中的数学
本例渗透了计算机的基本知识——“二进制计算”，无论何种进制的数都可表示为与数位上的数字、进制值有关联的和的形式.
c
42
按下图所示的程序计算，若开始输入的值为x=2,则最后输出的结果是多少？若开始输入的值为x=1,则会怎么样？
信息技术中的数学问题
若已知输出结果为232，求输入的正整数x.
232
2，6或21
43
如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，…，第2011次输出的结果为 .
信息技术中的数学问题
经过几次运算，输出结果为3和6循环出现
6
44
定义新运算
-9
-3
一元一次方程复习
知识结构
方 程
去括号
解题步骤
知识点复习一(概念)
方程是指含有未知数的等式，方程是等式，但等式不一定是方程。
一元一次方程是只指含有一个 未知数，且未知数的最高次数是1的方程。
它的标准形式是：ax+b=0
( )
它的最简形式是：ax=b
( )
1、什么是方程？方程和等式的区别是什么？
2.什么是一元一次方程？它的标准形式和最简形式是什么？
知识点练习一
1.下列说法中正确的是 （ A ）
A.方程是等式 　B.等式是方程
C.含有字母的等式是方程
D.不含有字母的方程是等式
２.若关于x的方程2x2m-3+m=0是一元一次方程，
则m=_____，方程的解是＿＿。
知识点复习二
１.什么是方程的解，
　什么是解方程？
方程的解是指能使方程左右两边相等的未知数的值。
解方程是指求出方程 的解的过程。
-1
X=3
7
2、若x＝－3是方程
x＋a＝4的解，则a的值是 .
1、方程5－x＝2中未知数的系数是 ，方程的解是 。
１.等式性质有哪些？并以字母的形式表示出来
等式性质1：
如果a=b ，那么a+c=b+c
需注意的是“同一个数，或同一个式子”。
知识点练习三、

等式性质2：
如果a=b ， 那么ac=bc
如果a=b ， 那么a/c=b/c
需注意的是“两边都乘，不要漏乘”；“同除一个非0的数”
2、已知 x = y，下列变形中不一定正确的是（ ）
A.x-5=y-5 B.-3x=-3y
C.mx=my D.
1、若a+2b = x + 10，则2a + 2b = x + 10+ .
a
D
知识点复习四、
2、去括号：注意符号
3、移项：①将含有未知数的项移到等式的 一边；将常数项 移到另一边；②注意“变号”
4、合并 （乘法分配律的逆用）
5、系数化1：除以一个数等于乘以这个数的倒数。
5.解一元一次方程的一般步骤有哪些？
它的根据是什么？
1、去分母：不要漏乘分母为1的项。
（1）去分母：
不要漏乘不含分母的项
（2）去括号：
去括号后的符号变化,并且不要漏乘括号中的每一项
例：去括号
A、+（2X- 5)= ___________ B、- (2X- 5)=__________

C、3（3X+1)=___________ D、-2(3X- 5)= _________
（3）移项：
移动的项要变号
例：方程3X+20=4X-25+5
移项正确的是：A、3X--4X=-5-25-20
B、 3X-4X=-25+5-20
5、解一元一次方程的一般步骤
3(3Y-1)-12=2(5Y-7)
2X- 5
- 2X+5
9X+3
- 6X+10
√
×
解方程
下面方程的解法对吗？若不对，请改正 。
不对
火眼金睛
知识点练习四、
例题1、解方程：
解：去分母，方程两边都乘以12，
得3（x-1）=2（3-2x）－30
去括号，得3x-3=6-4x-30
移项， 得3x+4x=6-30+3
合并， 得7x=-21
系数化1，得x=-3
1、若方程3x＋5＝11与6x＋3a＝22的解相同，则a的值为（ ）
A、3 B、10 C、3/11 D、10/3
2、如果－b2＋a＋5＝－b2－5，那么a的值（ ）
A、5 B、 － 5 C、10 D、 － 10
D
D
3、解方程 　　时，下列选项出错的一步是（ ）
A、2（x － 1） － 3（4 － x）＝1
B、2x － 2 － 12＋3x＝1
C、5x＝15
D、x＝3
A
数学乐园
4、在解方程5x-2=7x-2时，小糊计算如下：
两边同加2，得：5x-2+2=7x-2+2 得：5x=7x
两边同除以x，得：5=7
所以他说此方程无解。
你觉得他做得对吗？为什么？
那“因为ac=bc，所以a=b”推理对吗？
？
5、解下列方程
⑴　3（x － 5） － 2（x＋2）＝5（x－7）

⑵

⑶
解：由题意可得： x＝－2是方程2x＋4＝x/2－a的解， 则-4+4=-1-a，从而得出：a =-1
将a =-1代入代数式a2－1/a中，得
原式=（-1）2-1/（-1）=2
6、已知x＝－2是方程2x＋4＝x/2－a的解，求a2－1/a的值
10
B
1/9
3.解方程 ，较简便的是（ ）

A.先去分母 B.先去括号
C.先两边同除以 D.先两边同乘以
1.已知9x-3y- =0，观察并思考，怎样求出3x-y的值？
2.“*”是新规定的某种运算符号，设x*y=x+y，则（-2）*m=8中，m的值为 。
第四章 图形认识初步
1、几何图形：我们把实物中抽象出来的各种图形叫做几何图形。几何图形分为平面图形和立体图形。
（1）平面图形：图形所表示的各个部分都在同一平面内的图形，如直线、三角形等。
（2）立体图形：图形所表示的各个部分不在同一平面内的图形，如圆柱体、圆锥。
从正面、上面、左面三个不同方向看一个物体，然后描出三张所看到的图（分别叫做正视图、俯视图、侧视图），这样就可以把立体图形转化为平面图形。
2、从不同方向观察几何体
3、立体图形的展开图有些立体图形是有一些平面图形围成的，把它们的表面适当剪开后在平面上展开得到的平图形称为立体图形的展开图。
（1）圆柱和圆锥的侧面展开图
（2）棱柱和棱锥的展开图
（3）根据展开图判断立体图形的规律：
A展开图全是长方形或正方形时------长方体或正方体；
B展开图中含有三角形时-----棱锥或棱柱；
若展开图中含有2个三角形3个长方形-----三棱柱；
若展开图中全是三角形（4个）-----（三）棱锥。
C展开图中含有圆和长方形-----圆柱；
D展开图中含有扇形------圆锥。
4、点、线、面、体
⑴体：几何体简称为体。
⑵面：包围着体的是面，面分为平面和曲面。
⑶线：面与面相交的地方形成线，线分为曲线和直线。
⑷点：线与线相交的地方是点。
点动成线、线动成面、面动成体。
几何图形的组成：由点线面体组成。点是构成图形的基本元素，而点本身也是最简单的几何图形。
5、直线：把线段向两端无限延伸形成的图形叫做直线。
⑴表示方法：直线AB或直线L
⑵点与直线的关系：点在直线上、点在直线外
⑶直线的基本性质：经过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线）；
⑷交点：当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点。
7.线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点。
①表示方法
②画法
③基本性质：两点之间，线段最短。
两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离。
④线段的中点:把一条线段分成相等的两条线段的点叫做线段的中点。
⑤比较线段长短的方法：A叠合法；B度量法。
6、射线：把线段向一方无限延伸的图形叫做射线。
①表示方法：端点字母必须写在前
②射线可以看做是直线的一部分，识别射线是否相同----端点相同、延伸方向也相同。
8、直线、射线、线段三者之间的区别与联系（从以下六个方面区别）
①表示法
②延伸性：直线向两端无限延伸，
射线向一方无限延伸，
线段没有延展性
③端点个数：直线没有端点，
射线只有一个端点，
线段有两个端点
④画图叙述：过AB两点作直线AB；
以O为端点作射线OA；
连接AB。
⑤特征
⑥性质
9.角：①具有公共端点的两条不重合的射线组成的图形叫做角。
这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。（角的静态定义 ）
②一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。
所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。（角的动态定义 ）
10、角的表示方法： （1）用三个大写英文字母表示； （2）用一个大写英文字母表示；
（3）用阿拉伯数字表示；
（4）用小写希腊字母表示。
11、角的度量：“°” “′” “″” 度分秒。
12、角的大小的比较方法：（1）重叠法；
（2）度量法。
13、注意：
（1）角有两个特征：一是角有两条射线，二是角的两条射线必须有公共端点，两者缺一不可；
（2）由于射线是向一方无限延伸的，所以角的两边无所谓长短，即角的大小与它的边的长短无关；
（3）当角的大小一旦确定，它的大小就不因图形的位置、图形的放大或缩小而改变.如一个37°的角放在放大或缩小若干倍的放大镜下它仍然是37°不能误认为角的大小也放大或缩小若干倍.
另外对角的表示方法中，当用三个大写字母来表示时，顶点的字母必须写在中间，在角的两边上各取一点，将表示这两个点的字母分别写在顶点字母的两旁，两旁的字母不分前后.
14、角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个的射线，叫做这个角的平分线。
15、余角、补角
（1）概念：余角----如果两个角的和相加等于直角即90°，那么这两个角互余，其中一个角叫做另一个角的余角。

补角----如果两个角的和相加等于平角即180°，那么这两个角互补，其中一个角叫做另一个角的补角。

（2）性质：等角的余角相等；等角的补角相等。
互为余角的有关性质：
①∠1＋∠2＝90°，则∠1、∠2互余；反过来，若∠1，∠2互余，则∠1+∠2＝90°；
②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠2＝90°，∠1+∠ 3＝90°，则∠2＝∠3.
互为补角的有关性质：
①若∠A+∠B＝180°，则∠A、∠B互补；反过来，若∠A、∠B互补，则∠A+∠B＝180°.
②同角或等角的补角相等.如果∠A+∠C＝180°，∠A+∠B＝180°，则∠B＝∠C.
16、方位角：必须以正南。正北方向为基准。
17.角的种类：
锐角：大于0°，小于90°的角叫做锐角。
直角：等于90°的角叫做直角。
钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。
平角：等于180°的角叫做平角。
例1.由5个相同的小立方块搭成的几何体如图所示，请画出它的三视图。
典型习题
小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数。
你能摆出这个几何体吗？
试画出这个几何体的主视图与左视图。
主视图：
左视图：
1
1
2
2
1、图1---11是由几个小立方体 所搭几何体的俯视图，
归纳：正方体
的表面展开图
有以下11种。你能看
出有什么规律吗？
一 四 一型
二 三 一型
阶 梯 型
你能解决下列问题吗？
1、图中共有几条线段？几条射线？几条直线？能用字母表示出来的分别用字母表示出来。
A
B
C
2、判断下列说法是否正确：
（1）延长射线OA；（2）直线比射线长，射线比线段长；（3）直线AB和直线CD相交于点m；（4）A、B两点间的距离就是连结A、B两点间的线段。
3.用一个钉子把一根细木条钉在木板上,用手拔木条,木条能转动,这表明___________ ;用两个钉子把细木条钉在木板上,就能固定细木条,这说明________________。
4.如图所示,一只蚂蚁要从圆柱体A点沿表面尽可能地爬到B点,因为那里有它的食物,而它饿得快不行了,怎么爬行路线最短?
·
·
A
B
过一点有无数条直线
两点确定一条直线
探究一、有关距离问题
1.如图,在一条笔直的公路a两侧,分别有A、B两个村庄,现要在公路a上建一个汽车站C,使汽车站到A、B两村距离之和最小,问汽车站C的位置应该如何确定?
a
A
B
·
·
2.平原上有A、B、C、D四个村庄,如图所示,为解决当地缺水问题,政府准备投资修建一个蓄水池,不考虑其他因素,请你画图确定蓄水池H的位置,使它与四个村庄的距离之和最小.
·
·
·
·
A
B
C
D
3.如图,蚂蚁在圆锥底边的点A处,它想绕圆锥爬行一周后回到点A处,你能画出它爬行的最短路线吗?
A
有关线段的计算问题
(1)如图,A、B、C、D是直线l上顺次四点，且线段AC=5，BD=4，则线段AB-CD=_____.
A
B
C
D
l
(2)如图，AC=8cm，CB=6cm,如果O是线段AB的中点，求线段OC的长度。
A
B
C
O
（3）已知AB=16cm，C是AB上一点，且AC=10cm，D为AC的中点，E是BC的中点，求线段DE的长。
（4）同一直线上有A、B、C、D四点，已知AD= DB，AC= CB，且CD=4cm，求AB的长。
(5)已知线段AC和线段BC在同一直线上，若AC=5.6cm,BC=2.4cm.求线段AC的中点与线段BC中点之间的距离。
(6).如图所示,洋河酒厂有三个住宅区A、B、C各分别住有职工30人、15人、10人,且这三个区在酒家大道上(A、B、C)三点共线,已知AB=100米,BC=200米.为了方便职工上下班,该厂的接送车打算在此间只设一个停靠点,为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小,那么该停靠点的位置应设在_____区.
A
B
C
82
例3：已知∠α和∠β互为补角，并且∠β的一半比∠α小30°，求∠α、∠β．
解：设∠α=x°，则∠β=180°－x°．
根据题意 ∠β=2(∠α － 30°)，
得 180－ x° =2(x°－30°)，
解得 x°= 80°．
所以，∠α= 80°，∠β= 100°．
方位角：
1、方位角是以正南、正北方向为基准，描述物体的运动方向。
2、北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏东45 °通常叫做东南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向。
3、方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛。
O
A
练习、在右图中画出表示下列方向的射线：
（1）北偏西30 °（2）北偏东50 °
（3）西南方向
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