圆锥的体积
广东省深圳市南山区同乐学校 邵玲玲
一、教学内容：北师大版《义务教育课程实验教科书·数学》六年级下册第11-12页。
二、学生知识状况分析：
《圆锥的体积》是北师大版小学数学六年级上册的内容，学习本节课之前，学生已经学会了圆柱体积公式的推导方法，认识了圆锥的特征。因为二者形状的相似性很容易让学生联想到这两种几何图形之间的联系，从而使学生将圆柱体积公式的推导方法应用于圆锥体积公式的推导，而学生对于探究的过程（错误的或是正确的）充满好奇与兴奋，只有在满足学生的心理情况下，课堂效果才得以充分展现；又根据以往的学生学习情况来看，学生由于不够重视或是对圆锥的体积推导过程印象不太深刻，导致学生在应用公式时经常与圆柱的体积公式搞混，漏算“
”。
三、教学任务分析：
由此我的教学设想主要突出以下三点：一、由于上课时间的限制，我根据“微课”短小精辟的特点，将“切拼”的实验方法通过“微课”形式展示，满足学生的好奇心理，从而让学生以全副精力进行后面正确的实验；二、重视“
”的推导、解释及应用，通过各种形式促使学生对“
”的深刻印象；三、根据课堂环节将内容分关卡，设计过关地图，过关形式分完成计时任务汇报、抢答汇报及老师随意对小组检测。将全班分小组参赛计分，带动所有同学的参与性与积极性，突出时间的明示，实现课堂高质高效。
教学目标：
1、通过分小组实验，使学生自主探索出等底等高的圆柱体积和圆锥体积之间的关系，掌握圆锥体积的计算公式，并能正确运用公式，解决实际生活中有关圆锥体积的简单问题；
2、借助已有的生活和学习经验，利用微课创设悬念，激发和培养学生的自主探索能力和动手操作能力。
教学重点：并掌握圆锥体积的计算公式。
教学难点：正确探索理解等底等高的圆柱体积和圆锥体积之间的关系。
教学准备：将学生分为6——8人一组，教师为每组准备足量的沙子，一个圆锥，三个圆柱，这三个圆柱分别与圆锥等底等高（1号）、等底不等高（2号）、等高不等底（3号）、高底都不等（4号），每组规格不一样。每人一张过关地图，其中包含实验报告单，以及比赛得分说明。
四、教学过程：
（一）画面引入课题
师：大家的现在的精神状态相当好！各加一分。
师：这节课老师和大家一起研究“体积”（板书）。我们已研究过这些物品的体积（边举手示意边说明）：土豆、红薯、石块、长方体、圆柱，回忆下用过了哪些方法？
生：土豆、红薯、石块这些属于不规则的物体，不能量出有效数据，所以对于这类物体的体积，我们是将它们放入装水的量杯中，看水增高了多少从而来推断它们的体积是多少。而长方体、圆柱是规则物体，长方体可以将它切成一立方厘米的小块推出长方体的体积公式；圆柱的体积是将它沿着底面半径切开，然后拼成一个类似长方体的物体，再推出圆柱的体积公式。
师（板书：切拼、水量）：那么，圆锥也是一个规则物体，能不能也找到它的计算方法呢？
生：我们可不可以也象圆柱体那样用切拼的方法呢？
师：老师也想到了“切拼”方法，还做过这个实验，让我们来看看这段视频。
微课视频演示：将圆锥等分成若干小块，以各种方式努力的去拼成以往的学过的规则图形，均以失败告终。
师：看来，需要另辟蹊径，找到另外的方法来研究“圆锥的体积” （板书课题）
【设计意图】：荷兰数学教育家弗赖登塔尔说过：真正的数学家——常常凭借数学的直觉思维做出各种猜想，然后加以证实。学习本课之前学生已经有了“圆面积的推导”及“圆柱体积公式的推导”这两个学习经验，学生很容易将“切拼”的方法迁移到这节课的学习过程当中，考虑到学生的动手能力及课堂时间的限制，不可能在一节课中完成两个实验，放弃这个想法，学生会心有不甘。而微课的短小精悍正好解决这一矛盾：一分钟的视频展示不仅吸引了学生的注意力，更满足了学生的好奇心，顺利进入下一个实验。
同时，本环节也向学生说明了这样一种思想：相对于不规则的物体，规则物体是可以得出公式并计算的。】
（二）猜想实验汇报
1、师：我们今天的学习分小组进行闯关比赛，好吗？
让我们先看看课堂学习比赛过关图，分为四关：问题猜想——实验验证——辨别真伪——实际应用。比赛可以开始了吗？好！第一关——问题猜想，请看清楚地图上的两个问题，2分钟的组内思考讨论时间。任务开始！
（课件呈现）猜想：
（1）、圆锥与我们认识的哪种立体图形的关系最为密切？它们之间有哪些共同点？
（2）、你准备怎么来验证你的猜想？
学生边思考、边讨论，并在过关图上作简单的记录。
师：时间到！请各小组派代表向大家说说你们的想法。
生：我认为圆锥的体积应该和我们以前学过的圆柱的体积公式有很密切的关系。它们的共同点是底面都是圆的。我们小组准备用圆锥装满沙子往圆柱里面倒，从而比较它们的大小关系。
【设计意图】：用比赛的方式可以激发学生的挑战欲望，还可以提高课堂效率。教师课前设计好本课的过关地图，上课带领学生读一读，能让学生明确本节课的内容及努力的方向；以分组的形式学习，让个别学生对即将发生的学习减少顾虑，不胆怯；同时这两项安排让全组学生特别是组长在心里和行动上作好充足的应对准备。
2、师：我们的猜想是否行得通？让我们进入第二关——实验验证。用我们手上的工具来验证我们的想法。12分钟的实验及准备时间。请大家严格按照实验要求进行操作。（念要求）任务开始
实验要求：①将圆锥装满沙后，用尺子或笔等工具将杯口的沙抹平；②要将圆柱装满；③完成实验报告单；④将组内实验数据填写在教室电脑相应的表格中。
课件呈现表格：

圆锥与1号圆柱
圆锥与2号圆柱
圆锥与3号圆柱
圆锥与4号圆柱


底面
高
几次装满
底面
高
几次
装满
底面
高
几次
装满
底面
高
几次
装满

一组













二组













三组













四组













五组













六组













师：时间到！六个小组的任务全部完成，下面老师开始检测。
（1）、仔细观察全部小组的实验数据，你有什么发现？
生：我发现一个特殊情况，在1号圆柱那一栏，差不多都是3次。
师：为什么是“差不多”？
生：可能是装沙子的时候会有误差吧？有的组装的满些，有的组装的浅些。所以会出现比3次多一点或者少一点的情况。
师：有道理！那为什么都差不多是3次呢？会不会每组圆柱和圆锥都是一样大的，请小组长举起来让大家看看。
生：有的组大一些，有的组小一些，说明在等底等高的情况下，大号的也是3倍的关系，小号的也是3倍的关系。
师：大家说的挺好的，让我们再看看另外三种圆柱的实验数据。
生：另外三种情况数据相差比较大，找不出任何规律。
师（指着最大的和最小的两个数）：这两个数据是哪两个组得出的，也举起对应的圆锥和圆柱给大家看看。
生：圆锥和圆柱的体积看起来相差特别大的，数据就很大，体积相差不大的，得出来的数据就比较小。
师：从以上讨论你们有什么发现？
生：我发现圆锥体积等于圆柱体积的
！
（师板书）圆锥体积= 圆柱体积的
，同时追问：大家同意吗？
生：等底等高的圆柱。
师板书，追问：为什么要加“等底等高”？
生：从实验来看，不是所有情况下的圆柱和圆锥都是3倍的关系。
【设计意图】：学生的汇报要求在教师的引导下涉及到三个方面：1、在等底等高的情况下，三次装满（老师要特意带领学生展示任意几个小组的等底等高的圆柱和圆锥，向学生示意大小不一，让学生明白无论大小，只要在特定的情况下就能得出相同的数据：3次装满）；2、在另外三种情况下的数据没有规律（特意展示数据相差较大的两个小组的圆柱和圆锥，让学生明白，无论大小，只要不符合“等底等高”，是很难有“3次装满”这样的情况发生）；3、圆锥的体积公式；根据学生的汇报老师在黑板上板书：圆锥体积=等底等高的圆柱体积的
。同时在根据学生的回答板书公式的时候，特意放大学生的疏忽，在黑板上留空引起全班学生的注意，意在告诉学生“等底等高”是这个结论的必要条件，是非常重要的。只有从这三个方面来引导学生，这个实验才算完满，才能从正反两方面来说明结论的正确性，符合实验的科学性和严谨性。
（2）、在这个结论或公式中，你想提醒大家注意些什么？
师：能把你觉得注意的地方再清楚的说一遍吗？还有什么疑问或者想法吗？
生：我想提醒大家的是：要计算圆锥的体积，一定有“等底等高”这个前提条件。
生：我有个疑问：有没有可能，不在等底等高的情况下出现3次装满这样的情况？
生：我觉得有可能，但这只能是碰巧，概率很小。
师：同学们说的都非常精彩！我们这个结论只限于一般的情况，即只讨论“等底等高” 的情况，而这种小概率事件我们不讨论。
（3）、师：大家通过实验都得出了圆锥体积公式，如果用V表示圆锥的体积，用S表示底面积，用h表示高，你能写出圆锥的体积公式吗？
生：V=
Sh
师板书，并提问：如果有同学在用这个公式的时候不小心忘了“
”，会是什么情况？
生：那就是圆柱的体积了。
师：看得出来，大家都对刚才的实验很有成就感！让我们看着屏幕回顾一下刚才的实验过程。当时的数学家为了找到圆锥的体积公式，也用了刚才的方法。刘徽（公元225-295），魏晋时期中国最杰出的数学家。他发现了圆柱、圆锥、圆台等体积公式。其实我们刚才的实验过程正是经历了数学的再创造。老师为你们感到自豪！（竖拇指）
【设计意图】：将猜想与实验分开，利于小组之间的互相借鉴及改进，明确实验的方向，减少失败的成本，提高对实验的信心；带领学生齐读实验要求及温馨提示，能让学生了解即将进行的实验动作，以便快速进行组内的分工安排，并在指定的时间内完成实验任务。
老师为每组准备的学具大小各不相同，每组的学具有四样，一个圆锥，另外三个是圆柱，分别与圆锥等底等高、等底不等高、等高不等底、高底都不等。实验完毕各小组根据实验的快慢在班级电脑上输入自己的实验数据，再组织学生进行分析讨论。这样安排的目的是为了让学生感受实验数据的随机性，发现在这些看似纷繁复杂的数据中得出的结论却是唯一的，验证了实验方法的正确。让学生感受到实验的奇妙，体验到成功的喜悦，对学习的兴奋达到高潮。
得出实验结论后，又用课件重现实验过程，以便帮学生梳理、明晰思路，加深印象。这个环节的最后安排了“刘徽”这样一个小插曲，让学生与古代的数学家走在了一起，在感受民族自豪感的同时再次体验成功是非常简单的一件事情，加强了学生对数学学习的自信心。
（三）实践检验解题
1、师：接下来进入第三关“辨别真伪”：请作好抢答准备。
选择并说明理由：（听口令抢答）
（1）圆柱的体积相当于圆锥体积的（ ）。
A、3倍 B、
C、倍数不确定
生：只有在“等底等高”的情况下，圆柱的体积是圆锥体积的3倍。所以这题是不确定的。
（2）一个圆柱与一个圆锥等底等高，圆锥的体积是6立方米，则圆柱的体积是（ ）。
A、6立方米 B、18立方米 C、2立方米
生：这题选B，用6×3=18立方米。
师：为什么这样想呢？
生：因为第一句话说明了“等底等高”，而根据我们的实验结论，在等底等高的情况下，圆锥的体积是圆柱体积的
，反过来说圆柱体积就是圆锥体积的3倍，所以用“6×3”。
（3）一个圆柱与一个圆锥等底等高，圆柱的体积是6立方米，则圆锥的体积是（ ）。
A、6立方米 B、18立方米 C、2立方米
生：这题与上面一题是同样的道理，因为告诉的是圆柱的体积，所以用6÷3=2立方米，或者用6×
=2立方米，选C。
（4）一个圆柱体积是6立方米，把它削成一个最大的圆锥，削去部分是（　 ）。
A、6立方米 B、4立方米 C、2立方米
生：选B，用6-6×
=4立方米。6×
是与圆柱等底等高的圆锥的体积，用总体积减去圆锥的体积就是削去部分了。
师：你怎么知道是与圆柱等底等高呢？
生：因为题目要求圆锥“最大”，说明底和高都不能变，所以与圆柱等底等高。
生：还可以用6×（1-
）=4立方米。把圆柱看作“1”，既然圆锥占
，那么削去部分就是（1-
）。

师：我想学习到现在，大家对圆锥的体积有更多更深地理解。如果要用红笔来划上这节课内容当中最重要的几个字，你觉得应该划哪几个？（等底等高、
）
【设计意图】：从以往的学习来看，学生在平时的练习中很容易忽略“
”的计算，说明学生对它不够重视，不够敏感。所以对于这个内容在本节课安排了三个“点”来突出，第一个“点”是在学生最初得出实验公式后，有这样一个提问：你想提醒大家注意些什么？第二个“点”是在学生理解公式后，安排了“辨别真伪”；第三个“点”是让学生用红笔划上这节课当中最重要的几个字，再次突出“
”这样一个关系。这些安排都是在练习应用之前，通过不同的形式在学生的头脑中建立并刻画这个印象，让学生在做题时，能不用思考和记忆就自然而然的写上“
”，预防圆柱和圆锥体积公式应用上的混乱。
2、师：那就让我们进入实战阶段：第四关——“实际应用”。可向组内成员请教，5分钟时间，任务开始！
（1）、独立练习课本15页“练一练”第1大题。

（2）、农民伯伯量得他的圆锥形小麦堆的底面周长是12.56米，高为1.5米，如果每立方米小麦是800千克，那么这堆小麦有多少千克？
师：任务全部完成！老师来检查一个小组的答案。（实物投影）
学生汇报时，老师要求学生说明理由：第1题的第1小题告诉了底面积和高，直接带入公式计算；第2小题要通过半径算出底面积再计算体积；第3小题要先根据直径得出半径，再通过半径计算底面积，从而通过公式得出体积。
师指着有代表性的计算：特别强调在连乘计算中，能与
约分的要先约分，这样能使计算变得简单。

师：我们已经能根据具体数据计算圆锥的体积，（师随手拿起某小组的圆锥问）要计算这个圆锥的体积，需要知道或者量出哪些数据？
生：知道圆锥的底面积和高的数据就可以进行计算了。
生：量出圆锥的底面半径和高的长度也可以求出圆锥的体积。
生：量出圆锥的底面直径和高或者底面周长和高都可以求出圆锥的体积。
生：如果告诉与圆锥等底等高的圆柱体积最好算，直接×
就可以算出来了。
【设计意图】：此环节从练习到“教师随手拿起圆锥提问”都是为了一个主题：计算圆锥的体积，需要量出哪些数据？因为是第一节课，无需技巧性或较复杂的练习，所以整个练习都围绕这个最基本的问题从不同的侧面来设计：练习题只有一道题可以直接套公式做出，其余的题虽说也要根据公式来做，但要“跳一跳才能摘到果子”，让每个同学对新知识的学习既有成功的喜悦又有挑战乐趣；“教师随手拿起某小组的圆锥”，动作看似随意，实质是告诉学生接下来的问题是针对任意一个圆锥而提出的；同时老师的这个提问也是对应用练习的一个小结。
（四）游戏巩固拓展
我们的过关比赛到此结束，谁是今天的比赛冠军呢？让我们看看小组的最后得分，恭喜 小组，掌声祝贺！
师：接下来是我们的娱乐时间。你们猜这三杯诱人的饮料是否相等？（播放三杯饮料相等的动画）除了用倒入量杯这种方法来验证三杯饮料相等，是不是还可以用捏橡皮泥的方法来验证呢？一起来玩玩吧。
【设计意图】：对于课堂中的游戏，孩子们是非常乐于接受和玩耍的，哪怕是六年级的孩子也是如此。学会新知识后的轻松一刻让孩子们捏橡皮泥，既可以缓解学习后的疲劳，更可以在游戏中继续领会“
”这样一种关系：在体积相等的情况下，既可以表现为在高不变的情况下，圆柱底面积是圆锥的底面积的
，也可以表现为在底面积不变的情况下，圆柱的高是圆锥的高的
。此环节是不同于前面练习题的另一个侧重点，是新知识的深化和延伸，能引发学生对圆锥问题的进一步思考。
五、教学反思
整节课，活泼多样的教学手段，紧张开放的的赛场气氛，给学生一种新奇刺激的感受。同时，这节课为让学生如何理解“
”这种关系而下足了功夫，学生的实验，教师的提问，结尾的游戏，板书中的停顿、在颜色上的区别、甚至教师有些刻意的肢体语言等，都给学生留下了极其深刻的印象。
一、有意识的创新，恰当适时的穿插在整节课中，极大的提高了学生的专注力，保证每个活动顺畅高效的完成。
老师的在本节课的设计中，有五个创新：1、将微课引入教学，这个失败的实验不是本节课的重点，但又是学生疑惑非常想尝试的，以视频的形式播放，既满足了学生的好奇心，又将实验思路引向正确的方向；2、将越野赛、抢答的形式引入课堂，把课堂当成竞技赛场，每名学生都在小组的带动下一致向前，开心学习； 3、以富有挑战性的游戏结束，游戏内容在本节课知识基础上又加强了一丝难度，孩子们的兴致高涨，余味深远；4、设计并制作出等底等高、等底不等高、等高不等底、高底都不等的各种型号的圆柱和圆锥，得出大量的数据，使得结论具有很强的说服力，以往通过一套等底等高的圆柱和圆锥，实验得出相同的结论即可，单调乏味，目的性太强，限制了学生的思维空间，不利于学生思维的发展；5、设计小组及班级的实验数据表格，在实验完毕后由小组长等现场在班级投影上直接输入数据，确保实验的真实性。学生非常乐意将自己的实验成果展示给别人看。由于型号不一样，所以表中的数据不尽相同。在全班数据的对比表格中，很清晰的呈现出每组数据相同的那一种情况，从而将学生的注意力集中到这一类的研究上来。
二、全体学生积极参与，突出学生的主体作用
学生在这节课中活跃而富有纪律性。从一开始的微课亮相到不同型号的圆柱和圆锥实验，及以小组为单位现场填写实验数据，集中到同一表格的观察，到最后的别拘一格的游戏结束，以及中间看似不经意的细节穿插，如板书的刻意留空、教师随意拿起、放下的动作等都能紧紧吸引学生的眼球，牵住学生的思维，让学生不由自主的热烈的思考、讨论，特别在认识“
”的这种关系的学习中，学生表现的尤其出彩，在实验、板书、习题及游戏中，学生都能迅速反应，指出错误或者说出理由。整节课基本不用教师的讲解，所有的任务，难点都在学生的积极参与中迎刃而解。
多样的形式，紧张而热烈的气氛，学生始终处于一种欢快积极、自主投入的状态，他们的收获也是在不知不觉中发生着，我想这堂课带给他们的影响是深远的，主要有二：实验的成功是来之不易的，它是基于多种设想、多个数据对比、乃至失败基础上的；同时也让他们明白知识的获得不是很简单，但也不太难，只要积极投入，特别是有同伴的帮助带动，都会有意想不到的效果。