奥数练习
1．△ABC中，求证：cosA＋cosB＋cosC＞1．

2．M为△ABC外接圆O中
的中点，过M作⊙O的直径MN交BC于E，A在MN上的射影为F．求证：

．

3．A、B、C、D是圆周上“相继的”四个点，P、Q、R、S分别是
、
、
、
上的中点．证明：PR⊥QS．

4．D、E、F是△ABC的边AB、BC、CA的中点，AM是△ABC外接圆的切线．求证：若PE∥AM，则PE和△DEF的外接圆相切；反之也成立．

分析与解答
1．如图所示，作△ABC的外接圆，设其半径为R，作其直径AOD、BOE，连BD、CE、DC．由同弦所对圆周角相等可得∠A＝∠E，∠B＝∠ADC，∠C＝∠BDA．求出cos∠E＋cos∠ADC＋cos∠BDA＞1即可．


2．连BM、BN，自M向AB作垂线交AB于G，证明△MBN∽△MGA，得
．
在Rt△MBN、Rt△MAN中用射影定理．
3．通过弧的度数证明∠PQS＋∠RPG＝90°．
4．证明角相等．