《23.1.2 图形的旋转》
　
一、选择题
1．在图形旋转中，下列说法错误的是（　　）
A．图形上的每一点到旋转中心的距离相等
B．图形上的每一点转动的角度相同
C．图形上可能存在不动点
D．图形上任意两点的连线与其对应两点的连线相等
2．下面的四个图案中，既包含图形的旋转，又包含图形的轴对称的是（　　）
A．
 B．
 C．
 D．

3．如图所示的图案绕旋转中心旋转后能够与自身重合，那么它的旋转角可能是（　　）


A．60° B．90° C．72° D．120°
4．如图，摆放有五杂梅花，下列说法错误的是（以中心梅花为初始位置）（　　）


A．左上角的梅花只需沿对角线平移即可
B．右上角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转45°
C．右下角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转180
D．左下角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转90°
5．△ABC绕着A点旋转后得到△AB′C′，若∠BAC′=130°，∠BAC=80°，则旋转角等于（　　）
A．50° B．210° C．50°或210° D．130°
　
二、填空题
6．在图形的平移、旋转、轴对称变换中，其相同的性质是______．
7．如图，△ABC和△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，图中的△ABD绕A旋转42°后得到的图形是______，它们之间的关系是______，其中BD=______．


8．如图，将△OAB绕点O按逆时针方面旋转至△0A′B′，使点B恰好落在边A′B′上．已知AB=4cm，BB′=1cm，则A′B长是______cm．


9．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，4），将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA′，则点A′的坐标是______．


10．如图，自正方形ABCD的顶点A引两条射线分别交BC、CD于E、F，∠EAF=45°，在保持∠EAF=45°的前提下，当点E、F分别在边BC、CD上移动时，BE+DF与EF的关系是______．


11．如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③，④…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为______．


　
三、综合提高题
12．观察下列图形，它可以看作是什么“基本图形”通过怎样的旋转而得到的？


13．如图：若∠AOD=∠BOC=60°，A、O、C三点在同一条线上，△AOB与△COD是能够重合的图形．求：
（1）旋转中心；
（2）旋转角度数；
（3）图中经过旋转后能重合的三角形共有几对？若A、O、C三点不共线，结论还成立吗？为什么？
（4）求当△BOC为等腰直角三角形时的旋转角度；
（5）若∠A=15°，则求当A、C、B在同一条线上时的旋转角度．


14．作图：


（1）如图甲，以点O为中心，把点P顺时针旋转45°．
（2）如图乙，以点O为中心，把线段AB逆时针旋转90°．
（3）如图丙，以点O为中心，把△ABC顺时针旋转120°．
（4）如图丁，以点B为中心，把△ABC旋转180°．
15．如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L，M，D在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系．


16．如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x．
（1）求x的取值范围；
（2）若△ABC为直角三角形，求x的值．


17．如图在Rt△OAB中，∠OAB=90°，OA=AB=6．
（1）请你画出将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°，得到的△OA1B1；
（2）线段OA1的长度是______，∠AOB1的度数是______；
（3）连接AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形．


　

《23.1.2 图形的旋转》
参考答案与试题解析
　
一、选择题
1．在图形旋转中，下列说法错误的是（　　）
A．图形上的每一点到旋转中心的距离相等
B．图形上的每一点转动的角度相同
C．图形上可能存在不动点
D．图形上任意两点的连线与其对应两点的连线相等
【解答】解：A、在图形旋转中，根据旋转的性质，图形上对应点到旋转中心的距离相等，故本选项错误；
B、图形上的每一点转动的角度都等于旋转角，正确；
C、以图形上一点为旋转中心，则这个点不动，正确；
D、旋转前后两个图形全等，则图形上任意两点的连线与其对应两点的连线相等，正确．
故选A．
　
2．下面的四个图案中，既包含图形的旋转，又包含图形的轴对称的是（　　）
A．
 B．
 C．
 D．

【解答】解：A、只包含图形的旋转，不符合题意；
B、只是轴对称图形，不符合题意；
C、只是轴对称图形，不符合题意；
D、既包含图形的旋转，又包含图形的轴对称，符合题意．
故选：D．
　
3．如图所示的图案绕旋转中心旋转后能够与自身重合，那么它的旋转角可能是（　　）


A．60° B．90° C．72° D．120°
【解答】解：该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，
并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．
故选C．
　
4．如图，摆放有五杂梅花，下列说法错误的是（以中心梅花为初始位置）（　　）


A．左上角的梅花只需沿对角线平移即可
B．右上角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转45°
C．右下角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转180
D．左下角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转90°
【解答】解：由平移和旋转可得，D选项中左下角的梅花需先沿对角线平移后，再逆时针旋转90°，所以D选项错误．
故选：B．
　
5．△ABC绕着A点旋转后得到△AB′C′，若∠BAC′=130°，∠BAC=80°，则旋转角等于（　　）
A．50° B．210° C．50°或210° D．130°
【解答】解：∵∠BAC′=130°，∠BAC=80°，
∴如图1，∠CAC′=∠BAC′﹣∠BAC=50°，
如图2，∠CAC′=∠BAC′+∠BAC=210°．
∴旋转角等于50°或210°．
故选C．


　
二、填空题
6．在图形的平移、旋转、轴对称变换中，其相同的性质是　图形的形状、大小不变，只改变图形的位置　．
【解答】解：在图形的平移、旋转、轴对称变换中，其相同的性质是图形的形状、大小不变，只改变图形的位置．
　
7．如图，△ABC和△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，图中的△ABD绕A旋转42°后得到的图形是　△ACE　，它们之间的关系是　全等　，其中BD=　CE　．


【解答】解：△ABD绕点A逆时针旋转42°得到△ACE，
它们之间的关系是全等，其中BD=CE．


　
8．如图，将△OAB绕点O按逆时针方面旋转至△0A′B′，使点B恰好落在边A′B′上．已知AB=4cm，BB′=1cm，则A′B长是　3　cm．


【解答】解：根据旋转的性质，得：A′B′=AB=4cm．∴A′B=A′B′﹣BB′=4﹣1=3（cm）．
　
9．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，4），将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA′，则点A′的坐标是　（4，﹣1）　．


【解答】解：由图知A点的坐标为（1，4），根据旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，
画图，从而得A′点坐标为（4，﹣1）．
故答案为：（4，﹣1）．


　
10．如图，自正方形ABCD的顶点A引两条射线分别交BC、CD于E、F，∠EAF=45°，在保持∠EAF=45°的前提下，当点E、F分别在边BC、CD上移动时，BE+DF与EF的关系是　BE+DF=EF　．


【解答】解：如图，延长CD到M，使DM=BE，
连接AM、EF；
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠ADC=90°，AB=AD；
在△ABE与△ADM中，

，
∴△ABE≌△ADM（SAS），
∴∠BAE=∠DAM，AE=AM；
∴∠BAE+DAF=∠DAM+∠DAF=∠MAF；
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+DAF=90°﹣45°=45°，
∴∠EAF=∠MAF=45°；
在△EAF与△MAF中，

，
∴△EAF≌△MAF（SAS），
∴MF=EF，而MF=MD+DF=BE+DF，
∴BE+DF=EF，
故答案为BE+DF=EF．


　
11．如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③，④…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为　（36，0）　．


【解答】解：由原图到图③，相当于向右平移了12个单位长度，象这样平移三次直角顶点是（36，0），再旋转一次到三角形⑩，直角顶点仍然是（36，0），则三角形⑩的直角顶点的坐标为（36，0）．
故答案为：（36，0）．
　
三、综合提高题
12．观察下列图形，它可以看作是什么“基本图形”通过怎样的旋转而得到的？


【解答】解：图形（1）是通过一条线段绕点O旋转360°而得到的；
图形（2）可以看作是“一个Rt△ABC”绕线段AC旋转360°而得到的；
图形（3）将矩形ABCD绕AD旋转一周而得到的．
　
13．如图：若∠AOD=∠BOC=60°，A、O、C三点在同一条线上，△AOB与△COD是能够重合的图形．求：
（1）旋转中心；
（2）旋转角度数；
（3）图中经过旋转后能重合的三角形共有几对？若A、O、C三点不共线，结论还成立吗？为什么？
（4）求当△BOC为等腰直角三角形时的旋转角度；
（5）若∠A=15°，则求当A、C、B在同一条线上时的旋转角度．


【解答】解：（1）∵△AOB与△COD是能够重合的图形，
∴旋转中心是点O；
（2）根据题意得：旋转角是∠AOD或∠BOC，
∴旋转角度数是60°，
（3）经过旋转后能重合的三角形有△AOB与△DOC，△AOE与△DOF，△BOE与△COF共三对，
若A、O、C三点不共线，△AOE与△DOF，△BOE与△COF不一定重合，结论不一定成立，
∵若A、O、C三点不共线，∠DOB≠60°，
∴∠AOD=∠BOC=60°≠∠DOB，
∴△BOE与△COF不一定重合，结论不一定成立；
（4）∵△BOC为等腰直角三角形，
∴∠BOC=∠AOD=90°，
∴旋转角度为：90°，
（5）∵180°﹣∠BOC=180°﹣60°=120°，
∴旋转角度为120°．
　
14．作图：


（1）如图甲，以点O为中心，把点P顺时针旋转45°．
（2）如图乙，以点O为中心，把线段AB逆时针旋转90°．
（3）如图丙，以点O为中心，把△ABC顺时针旋转120°．
（4）如图丁，以点B为中心，把△ABC旋转180°．
【解答】解：（1）如图甲，点P′为所求；
（2）如图乙，线段A′B′为所求；



（3）如图丙，△A′B′C′为所求；
（4）如图丁，△A′BC′为所求．


　
15．如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L，M，D在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系．


【解答】解：BK与DM的关系是互相垂直且相等．
∵四边形ABCD和四边形AKLM都是正方形，
∴AB=AD，AK=AM，∠BAK=90°﹣∠DAK，∠DAM=90°﹣∠DAK，
∴∠BAK=∠DAM，


∴△ABK≌△ADM（SAS）．
把△ABK绕A逆时针旋转90°后与△ADM重合，
∴BK=DM且BK⊥DM．
　
16．如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x．
（1）求x的取值范围；
（2）若△ABC为直角三角形，求x的值．


【解答】解：（1）在△ABC中，∵AC=1，AB=x，BC=3﹣x．
∴
，解得1＜x＜2．　（4分）

（2）①若AC为斜边，则1=x2+（3﹣x）2，即x2﹣3x+4=0，无解．
②若AB为斜边，则x2=（3﹣x）2+1，解得
，满足1＜x＜2．
③若BC为斜边，则（3﹣x）2=1+x2，解得
，满足1＜x＜2．
∴
或
．
　
17．如图在Rt△OAB中，∠OAB=90°，OA=AB=6．
（1）请你画出将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°，得到的△OA1B1；
（2）线段OA1的长度是　6　，∠AOB1的度数是　135°　；
（3）连接AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形．


【解答】（1）解：△OA1B1如图所示．

（2）解：根据旋转的性质知，OA1=OA=6．
∵将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°，得到的△OA1B1，
∴∠BOB1=90°．
∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，OA=AB=6，
∴∠BOA=∠OBA=45°，
∴∠AOB1=∠BOB1+∠BOA=90°+45°=135°，即∠AOB1的度数是135°．
故答案是：6，135°；

（3）证明：根据旋转的性质知，△OA1B1≌△OAB，
则∠OA1B1=∠OAB=90°，A1B1=AB，
∵将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°，得到的△OA1B1，
∴∠A1OA=90°，
∴∠OA1B1=∠A1OA，
∴A1B1∥OA．
又∵OA=AB，
∴A1B1=OA，
∴四边形OAA1B1是平行四边形．