24.1.1 圆
教学目标：
1、理解圆的概念的描述和圆的集合概念.
2、认识圆的弧、弦、直径、同心圆、等圆、等弧、圆心角等与其相关的概念
3、培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．在解决问题过程中使学生体会数学知识在生活中的普遍性．
4、初步渗透数形结合和转化的数学思想，并逐步学会用数学的眼光和运动、集合的观点去认识世界、解决问题
教学重点：与圆有关的概念.
教学难点：用集合观点定义圆.
教学过程：
一、情境创设：
1.（1）说说你生活中见过的“圆形”的物体.


生活中奥运五环、红日、满月等圆的形象到处可见.平面图形中，圆象征着完美、和谐和对称.
（2）操作：用圆规画一个圆，并仔细观察画圆的过程，并尝试给圆下定义.
如图，把线段OP的一个端点O固定，使线段OP绕着点O在平面内旋转一周，
另一个端点P运动形成的图形是什么？
二、新课讲授
1.（1）圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它的一个固定端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.
注意：①在平面内，②圆是指圆周，而不是圆面，③圆的两要素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，④线段OP的长也可以叫半径.

（2）圆的集合性定义：
圆心为O，半径为r的圆，可以看成所有到定点O，距离等于定长r的点的集合。
注：①圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；
②到定点的距离都等于定长的点都在同一个圆上。

2、弦与直径
（1）连接圆上任意两点的线段叫做弦。如：弦AB，AC
（2）经过圆心的弦叫做直径。如：直径AD
注意：凡直径都是弦，但弦不一定是直径，直径是最长的弦。

3、弧与半圆
（1）圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称“弧”，用符号“
”表示，以A、B为端点的弧记作
，读作“弧AB”.
（2）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆。
（3）优弧：大于半圆的弧叫做优弧：如图3，

劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧：如图4，
、

注意：半圆是一种特殊的弧，而弧不一定是半圆。

4、同心圆和等圆
同心圆：圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆。如图2所示：


图2 图3
等圆：半径相等的圆（能够互相重合的圆）叫做等圆。
注：同圆或等圆的半径相等。如图3.等圆与位置无关
等弧：在同圆和等圆中，等够完全重合的弧叫做等弧。
注：长度相等的弧，度数相等的弧都不一定是等弧。
三、例题讲解
例1. 矩形的四个顶点能否在同一个圆上？如果不在，说明理由；
如果存在，指出这个圆的圆心和半径.
解：如图,连接AC、BD交与点O,在矩形ABCD中,
∵OA=OC=
AC OB=OD=
BD AC=BD
∴OA=OB=OC=OD
∴A、B、C、D者这四个点在以点O为圆心,OA为半径的同一个圆上
点拨：要证明几个点在同一个圆上，先确定圆心，再证明这几个点到圆心的距离相等.

例2. 如图，DE为⊙O的直径，A为ED延长线上一点，过点A的一条直线
交⊙O于点B、C，且AB=OC，∠COE=78°，求∠A的度数。
四、课堂反馈
1、下列命题正确的有 （1）（4）（8）
（1）半圆是弧；（2）弧是半圆；（3）过圆心的直线是直径；（4）直径是圆中最长的弦，圆中最长的弦是直径；（5）一个劣弧和一个优弧之和是一个圆；（6）过圆心的线段是直径；（7）长度相等的两条弧是等弧；（8）半圆既不是优弧，也不是劣弧。

2、已知：如图，OA、OB是⊙O的直径，C、D分别为OA、OB的中点，
若AD=3cm，则BC= cm。
3、如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中非直径的弦，你能判断
AB与CD的大小关系吗？
备选习题：
1、已知：在⊙O中，AB和CD是直径，猜想AD与BC的关系，并说明理由。


2、求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上.
3、如图：⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA长为半径的圆弧
交⊙O于点B、C，求BC的长。 (
)
五、课堂小结：
圆、弧、弦、直径、同心圆、等圆、等弧、等与其相关的概念

六、布置作业

24.1.2 垂直于弦的直径
课题
垂直于弦的直径（第一课时）

课型
新授课



教
学
目
标
知识与技能
研究圆的对称性, 掌握垂径定理及其推论.

学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题。


过程与方法
经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其推论的过程，锻炼学生的思维品质，学习证明的方法。


情感态度价值观
在学生通过观察、操作、变换和研究的过程中进一步培养学生的思维能力，创新意识和良好的运用数学的习惯和意识。

教学重点
垂径定理及其推论的发现、记忆与证明。

教学难点
垂径定理及其推论的运用。

教具
圆形纸张、圆规、直尺、多媒体课件




教

学

过

程

问题与情境
师生行为
备注与修改


创设情境导入新课
将你手中的圆沿圆心对折，你会发现圆是一个什么图形？
将手中的圆沿直径向上折，你会发现折痕是圆的一条弦，这条弦被直径怎样了？
一个残缺的圆形物件，你能找到它的圆心吗？
赵州桥是我国古代桥梁史的骄傲，我们能求出主桥拱的半径吗？
前两个问题可以由学生动手操作，并观察结果，得到初步结论。
后两个问题作为问题情境，激发学生学习兴趣，引导学生进一步的学习。



合作交流探究新知
圆的对称性
（探究）圆是轴对称图形吗？它有几条对称轴？分别是什么？
垂径定理
（思考）如图 ：AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足E。
这个图形是对称图形吗
你能发现图中有哪些相等的线段和弧？请说明理由。
你能用一句话概括这些结论吗？垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
你能用几何方法证明这些结论吗？
你能用符号语言表达这个结论吗？
3．垂径定理的推论
如上图，若直径CD平分弦AB则
直径CD是否垂直且平分弦所对的两条弧？如何证明？
你能用一句话总结这个结论吗？（即推论：平分弦的直径也垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）
如果弦AB是直径，以上结论还成立吗？

圆的对称性由学生发现并总结，教师进行板书。

教师循序渐进地将一个个的问题抛出，引导学生一步步地进行思考和总结，师生一起总结垂径定理并板书。

学生小组讨论，发现垂径定理的证明方法，并由学生代表发言。

学生尝试将文字转变为符号语言，用几何符号表达定理的逻辑关系。教师更正并板书。
教师明确定理中的条件和结论，初步理解“知二得三”口诀的含义。

教师提出问题，引导学生进行思考和讨论。
学生尝试得出垂径定理和推论，教师规范并板书。
教师提醒学生此中的弦一定不能是直径。

垂径定理的内容比较多，且为考察重点，非一课时所能解决，所以此内容最少需两课时来探究。
本节课主要探讨垂径定理及第1条推论，还有它们的应用。
而其它推论和更深入的应用，放在下一节课进行研究。


灵活应用
提高能力
简单应用
如图，在⊙O中，直径MN⊥AB于C，则下列结论错误的是（ ）
AC=BC B、AN=BN C、OC=CN D、AM=BM
典型应用
如图。在⊙O中弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离OD=3cm，则⊙O的半径为 cm
连结什么可得到一个直角三形？
利用什么知识可以解得半径。
从中你可总结出利用垂径定理计算的什么技巧？
生活中的应用
如图，是赵州桥的几何示意图，若其中AB是桥的跨度为37.4米,桥拱高CD为7.2米,你能求出它所在的圆的主桥拱半径吗?
提示：此中直角三角形AOD中只有AD是已知量，但可以通过弦心距、半径、拱高的关系来设未知数，利用勾股定理列出方程。
利用垂径定理进行的几何证明
教材第82练习第2题。
简单应用由学生独立完成,教师可让学生自己进行评判.

在典型应用中教师可通过问题设置,引导学生联系弦、半径、弦心距或者拱高等因素，从而构成直角三角形，利用勾股定理解决问题。这也是解决计算问题的主要方法，教师一定要重点重申。

此题是垂径定理计算题中另一种题型，主要利用将垂径定理、勾股定理、方程的知识进行综合应用。
教师在提示后让学生进行小组讨论，然后进行总结，得出结论，让学生做好笔记，养成良好的学习习惯。
本节课的应用是基础应用，在下节课中再进行灵活运用和深入应用。


小结升华与作业
小结升华
本节课你学到了哪些数学知识？
在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些数学方法？
这些方法中你又用到了哪些数学思想？
作业布置
（1）教材82页练习第1题 88页第11题
分层作业
如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是多少？
（2）家庭作业 练习册
教师提出问题，学生回顾本节课所学知识，自己进行小结，养成梳理知识的习惯。


板书设计
教学反思

课题
垂直于弦的直径(第2课时)

课型
习题提高课


教
学
目
标
知识与技能
进一步探索和掌握垂径定理的推论,明确理解“知二得三”的意义.

利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题


过程与方法
经历观察、思考、推理和论证等过程，探索垂径定理的推论。

在利用垂径定理解决数学问题的过程中，注意运用迁移和数形结合等数学思想与方法。


情感态度价值观
学生在探索的过程中，体会学习的快乐，进一步体会数学的应用性，培养学生的创新意识。

教学重点
垂径定理的推论

教学难点
垂径定理及推论的应用

教具





教

学

过

程

问题与情境
师生行为
备注


创设情境导入新课
上节课学习的垂径定理及推论的内容是什么？你能结合图形利用符号语言来说明吗？
在垂径定理及其推论中，条件有几个，结论有几个？你知道知二得三的含义吗？
如图，若AB是⊙O中的一条弦，而另一条弦CD是它的垂直平分线，则CD过圆心，即是否是这个圆的直径？如何说明。
问题1复习上节课所学，主要由教师提出问题，学生回顾后进行回答。
问题2由学生思考后进行总结和体会。
问题3由教师提出，学生思考，教师并不急于得到答案，只是作为问题情境，引出本节课的内容。



合作交流探究新知
垂径定理的其它推论
如上图，若弦CD垂直平分另一条弦AB，则是否可以根据圆的对称性得到，BC是圆的直径？且CD是否平分弦所对优弧和劣弧？
如果条件为CD平分AB所对的优弧和劣弧，则CD是直径吗？CD平分且垂直于弦AB吗？
根据“知二得三”规律，你还能变化出其它推论吗？它们是否都成立？
观察和思考若直线CD具备了以下五个条件中的两个，是否都可以得到其它三个结论？①过圆心（即CD是直径）②垂直于弦；③平分弦；④平分优弧；⑤平分劣弧。
你能总结和概括“知二得三”意义吗？
结合刚才得出的问题，教师引导学生利用圆的对称性来解决问题1。
可以继续利用对称性来解释问题2。
教师循序渐进提出问题3，引导学生进行思考。

进一步引导学生理解“知二得三”的含义。

老师总结和板书结论。



灵活应用
提高能力
垂径定理在作图方面的应用
如图，有一段弧AB，你能用尺规将其平分吗？四等分呢？
垂径定理在计算方面的应用
（1）已知，若⊙O中有两条平行的弦分别分8cm和6cm，且圆的半径为5cm，求两条弦之间的距离。
（提示学生一定要考虑两条弦的两种位置关系）
（2）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径几何？”

垂径定理在生活中的应用
如图，你能用什么方法确定这个残缺的圆的圆心？

教师出示问题，并引导学生利用垂径定理的推论来解决。

教师引导学生画出图形，考虑两种位置关系，利用勾股定理解决计算问题。

先让学生多读题，弄清题意和条件，画出图形。
以此问题激发学生学习的积极性，培养学生的爱国情。

小组讨论，进行思考，教师巡视并进行提示的指导。



小结升华与作业
小结升华
你从本节课中学到了哪些数学知识？
学习中你掌握了哪些方法？
你还有什么疑问？
作业
课堂作业
P88 8、9、10家庭作业
练习题一份
让学生回顾总结，反思提高。


24.1.3 弧、弦、圆心角
教学目标：
1、理解圆的旋转不变性．
2、掌握圆心角的概念和圆心角定理．
3、通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力；
4、学生在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨论的数学思想，转化的数学思想解决问题．
教学重点：探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题．
教学难点：圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．
教学过程：
一、情境创设：
1、按下面的步骤做一做：
(1)在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下；
(2)在⊙O和⊙O′上分别作相等的角∠AOB和∠A′O′B′，如图1所示，圆心固定．
注意：在画∠AOB与∠A′O′B′时，要使OB相对于OA的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与OA′重合时，OB与O′B′不能重合．


图1
(3)将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA与O′A′重合．
通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的理由．

二、新课讲授
1．定点在圆心的角叫做圆心角。如：∠AOB
2．如图1，由已知条件可知∠AOB＝∠A′O′B′；由两圆的半径相等，可以得到∠OAB＝∠OBA＝∠O′A′B′=∠O′B′A′；由△AOB≌△A′O′B′，可得到AB＝A′B′；由旋转法可知弧AB=弧A’B’.
定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
根据对上述定理的理解，你能证明下列命题是正确的吗？
推论：
（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等．
注意：（1）“同圆或等圆”的条件不能少；
若去掉这个前提，如图所示的是两个同心圆，弦AB与弦CD
相等吗?弧AB与弧CD相等吗? (显然不相等)
（2）定理的作用：在同圆或等圆中证：圆心角、弧、弦相等；
（3）“等弧对等弦”是假命题；
※（4）在同圆或等圆中，等弦的弦心距也相等；（记住结论，但解答题不可直接使用）
※（5）弧的度数等于它所对的圆心角的度数。（弧是圆中非常重要的桥梁）

三、例题讲解
例1．如图，在⊙O中，
，∠ACB＝60°，
求证：∠AOB=∠AOC=∠BOC．

练习：点A、B、C、D为⊙O上四点，
=1：2：3：4，
则∠BOC= 72° .

例2．如图，已知AD=BC，求证：AB=CD．
分析：要证AB=CD，只要证
.

例3．小林根据在一个圆中圆心角、弧、弦三个量之间的关系认为，
在如图中，若∠AOB=∠COD则有
AB=2CD ,你同意他的观点吗？
试说说你的理由。
分析：作∠AOB的平分线交⊙O于点E,则∠AOE=∠EOB=∠COD

所以
正确. 但AB=2CD不正确..连接AE,BE
这时AE=BE=CD, 所以2CD=AE+BE 但因为AB＜AE+BE 即AB＜2CD
所以AB=2CD不成立

四、课堂反馈
1．填空：
（1）⊙O的半径为2cm，弦AB=
cm，则∠AOB= 120°
（2）弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 60°
（3）半径为1的圆中，长为
的弦所对的圆心角为 90°
2．如图，点C、D在⊙O的直径AB上，AC=BD，CE⊥AB，DF⊥AB，
点E、F在⊙O上. 求证：
.
提示：连接OE、OF，证∠AOE=∠BOF.
3．如图，在◇ABCD中，以A为圆心，AB长为半径的圆分别交AD、BC于F、G，交BA的延长线于E, 求证：

提示：连接AG,证明∠EAF=∠FAG
或连接EＦ、FG　证明△EAF
△GAF

五、课堂小结
“等对等”：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．反之也成立.
“在同圆和等圆中”这个条件不可缺。

六、布置作业
思考题：如图A是半圆上一个三等分点，B是
的中点，P是直径MN上一动点。
已知
O半径为1，求AP+BP的最小值。
24.1.4 圆周角
一、教学目标:
1、知识与技能：
（1）理解圆周角的概念；
（2）掌握圆周角定理及其推论，并运用它们进行论证和计算.
2、过程与方法：
经历圆周角定理的证明，使学生了解分情况证明命题的思想和方法，体会类比、分类的数学方法
3、情感与价值观：
通过圆周角定理的证明向学生渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数学思想方法，体现了辨证唯物主义从未知到已知的认识规律。
二、教学重点、难点
重点：圆周角的概念和圆周角定理。
难点：认识圆周角定理需要分三种情况逐一证明的必要性。
三、教学过程：
（一）创设情境 导入新课
导语：如图1是一个圆柱形的海洋馆的截面示意图，
人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗弧AB观看窗内
的海洋动物，同学们甲站在圆心O的位置，同学乙
站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角
（∠AOB和∠ACB）有什么关系？如果同学丙，
丁分别站乙的其他靠墙的位置D和E，他们
的视角（∠BDA和∠AEB）和同学乙的视角相同吗？
【不相同，2∠ACB=2∠AEB=2∠ADB=∠AOB】
(二）合作讨论 探索新知
1、圆周角的概念
（1）复习提问：
　　（1）什么是圆心角？
　　答：顶点在圆心的角叫圆心角.
　　（2）圆心角的度数定理是什么？
　　答：圆心角的度数等于它所对弧的度数.（如图2的右图）
（2）引出圆周角：
　　如果顶点不在圆心而在圆上，则得到如左图的新的角∠ACB，它就是圆周角.（如图2的右图）（演示图形，提出圆周角的定义）
　　定义：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角
（3）概念辨析：
1、判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由．



这时由学生归纳出圆周角的两个特征：（1）顶点在圆上 （2）角的两边都与圆相交
2、圆周角的定理及推论
　　问题：圆周角的度数与什么有关系？
经过电脑演示图形，让学生观察图形、分析圆周角与圆心角，猜想它们有无关系．引导学生在建立关系时注意弧所对的圆周角的三种情况：圆心在圆周角的一边上、圆心在圆周角内部、圆心在圆周角外部．
（在教师引导下完成）
证明：分三种情况讨论。
（1）如图4，圆心O在∠BAC的一边上
　　


(2)如图5，圆心O在∠BAC 的内部，作出直径AD，利用（1）的结果，有：



(3)如图6，圆心O在∠BAC的外部，作直径AD，利用（1）的结果，
有：


有以上的推导可以得到：
可以发现同弧所对的圆周角的度数没有变化,并且它的度数恰好等于这条弧所对等于它所对圆心角的一半.
提出问题：
问题1：画一个圆，以B、C为弧的端点能画多少个圆周角？它们有什么关系？

问题2：在⊙O中，若
=
，能否得到∠C=∠G呢？根据什么？反过来，若是∠C=∠G ，是否得到
=
呢？
　　
　　让学生分析、研究，并充分交流．
　　注意：①问题解决，只要构造圆心角进行过渡即可；②若
=
，则∠C=∠G；但反之不成立．
　　老师组织学生归纳：
圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
重视：同弧说明是“同一个圆”； 等弧说明是“在同圆或等圆中”．
问题： “同弧”能否改成“同弦”呢？同弦所对的圆周角一定相等吗？（学生通过交流获得知识）
问题3：（1）一个特殊的圆弧——半圆，它所对的圆周角是什么样的角？
　　 （2）如果一条弧所对的圆周角是90°，那么这条弧所对的圆心角是什么样的角?
学生通过以上两个问题的解决，在教师引导下得推论
　　推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．（如图7）
指出：这个推论是圆中一个很重要的性质，为在圆中确定直角、成垂直
关系创造了条件，要熟练掌握．
（三）应用迁移 巩固提高
1、如图，已知在⊙O中，直径AB为10厘米，弦AC为6厘米，
∠ACB的平分线交⊙O于D；求BC，AD和BD的长．


2、100º的弧所对的圆心角等于_______，所对的圆周角等于_______。
3、已知如图，△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于D.
求证：BD=CD


4、如图，CD是⊙O的直径，CD=2
，∠BAC=45°，求BC的长度。

5、已知BC为半圆O的直径，AB=AF,AC交BF于点M，过A点作AD⊥BC于D，交BF于E，则AE与BE的大小有什么关系？为什么？

（四）归纳小结
这节课主要学习了两个知识点：
(1) 圆周角的定义
(2) 圆周角的定理及其定理的应用
方法上主要学习了圆周角定理的证明，渗透了由“特殊到一般”的思想和分类讨论的思想。
（五）布置作业
1、教材87页 习题24.1 （2）（3）
2、如图，在⊙O中，
，∠EOD=640，求∠A的度数？