第二十四章　圆
24.1　圆的有关性质
24.1.1　圆
教学内容
圆的有关概念.
教学目标
1.知识与技能:了解圆的有关概念,理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题.
2.过程与方法
从感受圆在生活中大量存在到圆及圆的形成过程,讲授圆的有关概念.
教学重难点
掌握弦、直径、弧、等弧等概念
教学过程
一、教师导学
(学生活动)请同学口答下面两个问题(提问一、两个同学)
1.举出生活中的圆三、四个.
2.你能讲出形成圆的方法有多少种?
老师点评(口答):(1)如车轮、杯口、时针等.(2)圆规;固定一个定点,固定一个长度,用细绳绕定点拉紧运动就形成一个圆.
二、合作与探究
从以上圆的形成过程,我们可以得出:
在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点所形成的图形叫做圆.固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径.
以点O为圆心的圆,记作“☉O”,读作“圆O”.
学生四人一组讨论下面的两个问题:
问题1:图上各点到定点(圆心O)的距离有什么规律?
问题2:到定点的距离等于定长的点又有什么特点?
老师提问几名学生并点评总结.
(1)图上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r);
(2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.
因此,我们可以得到圆的新定义:圆心为O,半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形.
同时,我们又把:
①连接圆上任意两点的线段叫做弦,如图线段AC,AB;
②经过圆心的弦叫做直径,如图线段AB;
③圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,“以A、C为端点的弧记作
”,读作“圆弧AC或“弧AC”.大于半圆的弧(如图所示弧ACB)叫做优弧,小于半圆的弧(如图所示,弧AB或弧BC叫做劣弧)


④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都相等;
⑤等圆、等弧:能够重合的两个圆叫等圆;在同圆或等圆中,能够完全重合的弧叫等弧.
【例】如图所示,在☉O中,AB、CD为直径,判断AD与BC的位置关系.


　　解:AD∥BC.
∵AB、CD为☉O的直径,
∴OA=OD=OC=OB.
又∠AOD=∠BOC,
∴△AOD≌△BOC.
∴AD=BC,∠A=∠B.
∴AD∥BC;即AD与BC的位置关系为平行.
三、巩固练习
教材P81　练习1、2
四、能力展示
如图,已知CD是☉O的直径,∠EOD=78°,AE交☉O于点B,且AB=OC,求∠A的度数.



分析:连接BO;
由AB=OC;
可得AB=OB;
从而得出∠A=∠BOA,又∠E=∠OBE;
最终利用角之间的关系求出∠A的度数.
学生自主解答.
五、总结提升
本节课应掌握圆的有关概念,会利用半径、直径之间的关系解题.
六、作业布置
教材P89　习题24.1　1
24.1.2　垂直于弦的直径
教学目标
1.知识与技能:理解圆的轴对称性,掌握垂径定理及其推论.
2.过程与方法:通过折叠等方法理解圆是轴对称图形,从而进一步理解垂径定理及其推论.
教学重难点
垂径定理及其运用
教学过程
一、教师导学
(学生活动)请同学按要求完成下题:
此图,AB是☉O的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.


(1)此图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
(2)你能发现图中有哪些等量关系?说一说你的理由.
(老师点评)
(1)是轴对称图形,其对称轴是CD所在的直线.
(2)AM=BM,即直径CD平分弦AB,并且平分弧AB、弧ADB,即
=
,
=
.
　　二、合作与探究
这样,我们就得到下面的定理:
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
下面我们用逻辑思维证明一下:
已知:直径CD、弦AB且CD⊥AB,垂足为M.
求证:AM=BM,弧AC=弧BC,弧AD=弧BD.
分析:要证AM=BM,只要证AM、BM构成的两个三角形全等.因此,只要连接OA、OB或AC、BC即可.
证明:如图,连接OA、OB,则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,




∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称.
∵☉O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直线CD对折时,点A与点B重合,弧AC与弧BC重合,弧AD与弧BD重合.
∴弧AC=弧BC,弧AD=弧BD.
进一步,我们还可以得到结论:
平分弦(不是直径)的直径垂直
于弦,并且平分弦所对的两条弧.
(本题的证明作为课后练习)
【例】如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中
,点O是
的圆心,其中CD=600m,E为
上一点,且OE⊥CD,垂足为F,EF=90m,求这段弯路的半径.


分析:例题是垂径定理的应用,解题过程中使用了列方程的方法,这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握.
解:如图,连接OC.
设弯路的半径为R,则OF=(R-90)m,
∵OE⊥CD,
∴CF=1/2CD=1/2×600=300(m).
根据勾股定理,得:OC2=CF2+OF2,
即R2=3002+(R-90)2　解得R=545.
∴这段弯路的半径为545m.
三、巩固练习
教材P83　练习

四、能力展示
有一石拱桥的桥拱是圆弧形,如图所示,正常水位下水面宽AB=60m,水面到拱顶距离CD=18m,当洪水泛滥,水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施?请说明理由.


五、总结提升(学生归纳,老师点评)
本节课应掌握:
1.圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴.
2.垂径定理及其推论以及它们的应用.
六、布置作业
1.教材P89　习题24.1　2、9、10.
2.车轮为什么是圆的呢?
3.垂径定理推论的证明.
24.1.3　弧、弦、圆心角
教学目标
1.知识与技能:了解圆心角的概念:掌握在同圆或等圆中,圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值相等,及其它们在解题中的应用.
2.过程与方法:通过复习旋转的知识,产生圆心角的概念,然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等,最后应用它解决一些具体问题.
教学重难点
重难点:探索定理和推导及其应用.
教学过程
一、教师导学
(学生活动)请同学们完成下题.
已知△OAB,如图所示,作出绕O点旋转30°、45°、60°的图形.


老师点评:绕O点旋转,O点就是固定点,旋转30°,就是旋转角∠BOB'=30°.
二、合作与探究
如图所示,∠AOB的顶点在圆心,像这样顶点在圆心的角叫做圆心角.


(学生活动)请同学们按下列要求作图并回答问题:
如图所示的☉O中,分别作相等的圆心角∠AOB和∠A'OB',将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A'OB'的位置,你能发现哪些等量关系?为什么?


通过探究发现:在同一个圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.
在等圆中,相等的圆心角是否也有所对的弧相等、
所对的弦相等呢?请同学们现在动手做一做.
你能发现哪些等量关系?说一说你的理由?
我能发现:弧AB=弧A'B',AB=A'B'.
因此,我们可以得到下面的定理:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.
同样,还可以得到:
在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦也相等.
在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等.
(学生活动)请三位同学到黑板板书,老师点评.
【例】如图,在☉O中,AB、CD是两条弦,OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为E,F.


(1)如果∠AOB=∠COD,那么OE与OF的大小有什么关系?为什么?
(2)如果OE=OF,那么弧AB与弧CD的大小有什么关系?AB与CD的大小有什么关系?为什么?∠AOB与∠COD呢?
解:(1)如果∠AOB=∠COD,那么OE=OF.
理由是:∵∠AOB=∠COD,∴AB=CD.
∵OE⊥AB,OF⊥CD,∴AE=1/2AB,CF=1/2CD.
∴AE=CF.又∵OA=OC,
∴Rt△OAE≌Rt△OCF.∴OE=OF.
(2)如果OE=OF,那么AB=CD,
=
,∠AOB=∠COD
理由是:
∵OA=OC,OE=OF　∴Rt△OAE≌Rt△OCF
∴AE=CF　又∵OE⊥AB,OF⊥CD
∴AE=1/2AB,CF=1/2CD
∴AB=2AE,CD=2CF　∴AB=CD
∴弧AB=弧CD,∠AOB=∠COD
三、巩固练习
教材P85　练习.
四、能力展示
如图(1)和图(2),MN是☉O的直径,弦AB、CD相交于MN上的一点P,∠APM=∠CPM.


(1)


(2)

(1)由以上条件,你认为AB和CD大小关系是什么,请说明理由.
(2)若交点P在☉O的外部,上述结论是否成立?若成立,加以证明;若不成立,请说明理由.
　　五、总结提升(学生归纳,老师点评)
本节课应掌握:
1.圆心角概念.
2.在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等,及其它们的应用.
六、布置作业
教材P89　习题24.1　4、5、13.

24.1.4　圆周角
第1课时　圆周角定理及推论
教学目标
1.了解圆周角的概念.
2.理解圆周角的定理及其推论
设置情景,给出圆周角的概念,探究这些圆周角与圆心角的关系,运用数学分类思想给予逻辑证明定理,得出推导,让学生活动证明定理推论的正确性,最后运用定理及其推导解决一些实际问题.
教学重难点
圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题.
教学过程
一、教师导学
(学生活动)请同学们口答下面两个问题.
1.什么叫圆心角?
2.圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢?
老师点评:顶点在圆心上的角,有一组等量的关系,如果顶点不在圆心上,在其它的位置上呢?如果在圆周上,是否还存在一些等量关系呢?这就是我们今天要探讨,要研究,要解决的问题.

二、合作与探究
问题:如图所示的☉O,我们在射门游戏中,设E、F是球门,设球员们只能在
所在的☉O其它位置射门,如图所示的A、B、C点.通过观察,我们可以发现像∠EAF、∠EBF、∠ECF这样的角,它们的顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.


现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题.
1.一段弧所对的圆周角的个数有多少个?
2.同弧所对的圆周角的度数是否发生变化?
3.同弧上的圆周角与圆心角有什么关系?
(学生分组讨论)提问二到三位同学代表发言.
老师点评:
1.一段弧所对的圆周角的个数有无数多个.
2.通过度量,我们可以发现,同弧所对的圆周角是没有变化的.
3.通过度量,我们可以得出,同弧上的圆周角是圆心角的一半.
下面,我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化,并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.”


(1)设圆周角∠ABC的一边BC是☉O的直径,如图所示
∵∠AOC是△ABO的外角,
∴∠AOC=∠ABO+∠BAO.
∵OA=OB,
∴∠ABO=∠BAO.
∴∠AOC=2∠ABO.
∴∠ABC=1/2∠AOC.
(2)如图,圆周角∠ABC的两边AB、BC在一条直径OD的两侧,那么∠ABC=1/2∠AOC吗?请同学们独立完成这道题的说明过程.


第(2)题图


第(3)题图
(3)如图,圆周角∠ABC的两边AB、BC在一条直径OD的同侧,那么∠ABC=1/2∠AOC吗?请同学们独立完成证明.
现在,如果再画一个任意的圆周角∠AB'C,同样可证得它等于同弧上圆心角的一半,因此,同弧上的圆周角是相等的.
从(1)、(2)、(3)我们可以总结归纳出圆周角定理:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
进一步,我们还可以得到下面的推导:
半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.
下面,我们通过这个定理和推论来解一些题目.
【例】如图,AB是☉O的直径,BD是☉O的弦,延长BD到C,使AC=AB,BD与CD的大小有什么关系?为什么?


分析:BD=CD,因为AB=AC,所以这个△ABC是等腰三角形,要证明D是BC的中点,只要连接AD,证明AD是高或是∠BAC的平分线即可.
解:BD=CD.
理由是:连接AD
∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,即AD⊥BC.
又∵AC=AB,
∴BD=CD.
三、巩固练习
教材P88　练习　1、2、3、4、5
四、总结提升(学生归纳,老师点评)
本节课应掌握:
1.圆周角的概念;
2.圆周角的定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半;
3.半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.
4.应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题.
五、布置作业
教材P89　习题24.1　6、7、14、17.

第2课时　圆内接四边形
教学内容
圆的内接四边形
教学目标
掌握圆内接四边形的相关概念以及圆内接四边形的性质定理.
教学重难点
重点:圆内接四边形的性质定理.
难点:圆内接四边形性质定理的准确、灵活应用.
教学过程
一、教师导学
由圆内接三角形及三角形的外接圆的概念引出圆内接四边形及四边形的外接圆的定义.
如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接四边形.这个圆叫做这个四边形的外接圆.
二、合作与探究
了解了圆内接四边形的定义,下面我们来研究圆内接四边形的性质,先从圆内接特殊四边形看,如矩形、正方形、等腰梯形.
如图①,在矩形中,外接圆心即为它的对角线的交点,∠A与∠C均为平角∠BOD的一半,在一般的圆内接四边形中,如果把圆心O与一组相对的顶点B、D分别相连,能得到什么结果呢?
解:由图可知∠A+∠C=180°.


图①


图②

如图②,在正方形中,外接圆心即为它的对角线的交点.把圆心与各顶点相连,与各边所成的角均为45°的角.在一般的圆内接四边形中,把圆心与各顶点相连,能得到什么结果呢?
解:由图可知2(∠1+∠2+∠3+∠4)=360°,
从而∠1+∠2+∠3+∠4=180°.
而∠1+∠2=∠A,∠3+∠4=∠C,
即∠A+∠C=180°,即圆内接四边形内对角互补.
因此,我们可以得出下面的定理:
圆内接四边形的对角互补.
三、巩固练习
如图,在圆内接四边形ABCD中,CD为∠BCA的外角的平分线,F为
上一点,BC=AF,延长DF与BA的延长线交于E.
求证:△ABD为等腰三角形.


分析:此题可先由角平分线定义得出∠MCD=∠DCA,再由同弧所对的圆周角相等得出∠DCA=∠DBA,由等量代换得出∠MCD=∠DBA.最后由圆内接四边形的性质得出∠MCD=∠BAD,即可得出结论.
证明:∵CD平分∠MCA,∴∠MCD=∠DCA.
四边形ABCD内接于圆,
∴∠DCA=∠DBA,∠DCB+∠DAB=180°.
∵∠MCD+∠DCB=180°,∴∠MCD=∠DAB.
∴∠DBA=∠DAB,∴DB=DA,即△ABD为等腰三角形.
四、总结提升
本节课应掌握:
圆内接四边形的定义及性质,了解从“特殊——一般”的研究问题的方法,灵活运用圆内接四边形的性质定理解决问题.
五、布置作业
教材P88　练习5　P89习题24.1　7、14.