24.1.4 圆周角
第24章 圆
1、复习提问:
(2)圆心角，弧，弦，弦心
距关系定理是什么？
(1)什么是圆心角？
∠ACB与 ∠AOB 有何异同点？
你知道∠ACB这一类的角名字吗？
顶点在圆上，两边与圆相交的角,叫圆周角。
圆周角的概念 ：
判断下列各图形中的是不是圆周角,
并说明理由．
归纳：
一个角是圆周角的条件：①顶点在圆上；
②两边都和圆相交.
问题：同弧所对圆周角的度数与相应的圆心角度数有什么关系？
探究一：
问题：同弧所对圆周角的度数与相应的圆心角度数有什么关系？
(1)当圆心在圆周角的一边上时,
探究一：
证明:(圆心在圆周角上)
结论：在同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
C
O
B
A
2.当圆心在圆周角内部时
提示:能否转化为1的情况?
过点B作直径BD.由1可得:
结论:在同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
3.当圆心在圆周角外部时
结论:在同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
提示:能否转化为1的情况?
过点B作直径BD.由1可得:
D
定理
在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，等于它所对的圆心角的一半。
例 在⊙O中,AB是直径, 弦CG⊥AB于D,交BF于E,求证:BE=EC
练一练.1试找出下图中所有相等的圆周角。
∠2=∠7
∠1=∠4
∠3=∠6
∠5=∠8
如果∠A=44°,则∠BOC=____.
如果∠BOC=44°,则∠A=____.
如果∠A=35°,则∠BDC=____.
练习
1.半圆或直径所对的圆周角等于多少度？
推论：
半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90°(直角).反过来也是成立的,即90°的圆周角所对的弦是圆的直径
探究二：
O
A
B
C
2. 90°的圆周角所对的弦是
否是直径？
问题3
　在半径不等的圆中，相等的两个圆周角所对的弧相等吗？
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，
它们所对的弧一定相等吗？为什么？
A′
结论
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧一定相等
例题讲解
例.如图⊙O的直径AB为10cm,弦AC为6cm,
∠ACB的平分线交⊙O于点D,求BC,AD,BD的长.
例:已知, ⊙O的弦AB长等于圆的半径,求该弦所对的圆心角和圆周角的度数,
练习:1,如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.
40°
500
2. 如图OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC．
求证：∠ABC=∠BAC．
4,已知：△ABC的三个顶点在⊙O上,
∠BAC=50°,∠ABC=47°,求∠AOB．
解：有题意知：∠A、∠B、∠C是圆周角，
∠AOB是圆心角．　
又∵∠BAC=50°，∠ABC=47°　∴∠ACB=180°-(∠A＋∠B)
=180°-(50°＋47°)
=83°．
∴ ∠AOB＝2∠ACB＝2×83°＝166°.
5,求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。（提示：作出这条边为直径的圆）
O
A
B
C
6,如图，已知圆心角∠AOB=100°,求圆周角∠ACB、∠ADB的度数？
7,一条弦分圆为1：4两部分，求这弦所对的圆周角的度数？
4、在圆中，一条弧所对的圆心角和
圆周角分别为（2x+100）°和
(5x—30)°，求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数。
1.如图，∠A是圆O的圆周角，
∠A=40°，求∠OBC的度数。
巩固练习