24.1.2 垂直于弦的直径（3）
人教版九年级上册
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。
CD⊥AB
∵ CD是直径，
∴ AE=BE,
·
O
A
B
C
D
E
回顾：
垂径定理推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
∴ CD⊥AB,
∵ CD是直径，
AE=BE
·
O
A
B
C
D
E
垂径定理的本质是
满足其中任两条，必定同时满足另三条
（1）一条直线过圆心
（2）这条直线垂直于弦
（3）这条直线平分弦
（4）这条直线平分弦所对的优弧
（5）这条直线平分弦所对的劣弧
巩固训练
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦
②平分弦的直线必垂直弦
③垂直于弦的直径平分这条弦
④平分弦的直径垂直于这条弦
⑤弦的垂直平分线是圆的直径
⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦
⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，　
　必平分此弦所对的弧
⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对　
　的两条弧分别三等分
练习1:在圆O中，直径CE⊥AB于
D，OD=4 ㎝，弦AC= ㎝ ，
求圆O的半径。
例1：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ，
DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，
求半径OC的长。
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
·
O
A
B
E
练习
解：
答：⊙O的半径为5cm.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
又　∵AC=AB
∴ AE=AD
∴ 四边形ADOE为正方形.
3.如图，CD为圆O的直径，弦
　　AB交CD于E， ∠ CEB=30°，
　　DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
4.如图，AB是⊙O的弦，∠OCA=300，OB=5cm，OC=8cm，则AB= ；
O
A
B
C
30°
8
5
4
F
垂径定理的应用
例2如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
解:连接OC.
一弓形弦长为　　cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿＿.
巩固训练
4、如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8,点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合）,连接AP、BP,过点O分别作OE⊥AP于E,OF⊥BP于F,EF= 。
4
船能过拱桥吗?
例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围是 。
C
4
5
3
3cm≤OP≤5cm
如图，AB为⊙O的一条直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，从上半圆上一点C作弦CD⊥AB, ∠OCD的平分线交⊙O于P，当点C在半圆上（不包括A、B两点）移动时，点P的位置会发生怎样的变化？试说明理由？
达标检测
一、填空
1、已知AB、CD是⊙O中互相垂直的弦，并且AB把CD分成3cm和7cm的两部分，则圆心O和弦AB的距离为 cm.
2、已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 .
3、已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 .
4、在半径为25cm的⊙O中，弦AB=40cm，则此弦和弦所对的弧的中点的距离是 .
5、 ⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= .
14cm或2cm
2
5cm
10cm和40cm
小 结
运用垂径定理可以解决许多生产、生活实际问题，其中弓形是最常见的图形（如图），则弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
O
d+h=r
垂径定理的应用
h
r
d
1、两条辅助线：
半径、圆心到弦的垂线段
归纳：
2、一个Rt△：
半径、圆心到弦的垂线段、半弦
·
O
A
B
C
3、两个定理：
垂径定理、勾股定理