人教版初中数学九年级上册 第二十四章《圆》
24.1 圆 第3课时
学习目标
1.熟练垂径定理及推论；
2.运用垂径定理解决实际问题；
3.培养将实际问题转化为数学模型的能力。
复习导入
垂径定理：？
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理的推论有哪些？
由五个条件：直径，垂直于弦，平分弦，平分劣弧，平分优弧中的任何两个，可推出其他三个。
探究活动一
证明推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

证明：连接OA、OB
在△OMA和△OMB中
AM=BM(已知)
OA=OB（半径）
OM=OM（公共边）
∴ △OMA≌△OMB（SSS）
∴∠AMO=∠BMO=90°
讨论
上题中为何要强调弦不是直径？
如图：AB是直径，平分CD，CD也是
直径，在圆中，所有的半径相等，但
是，AB和CD并不垂直，AB也没有平
分CD所对的弧。
小组讨论
根据已知条件进行推导：

①过圆心
②垂直于弦
③平分弦
④平分弦所对优弧
⑤平分弦所对劣弧
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所
对的两条弧。
（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分
弦所对的另一条弧。
巩固练习 试证明
命题二：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
命题一：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
探究活动三
平分已知弧AB.
你会四等分弧AB吗?
作法(四等分弧)
1.作弦AB的中垂线，交弧AB于点C
2.再作弦AC的中垂线，交弧AC于点D
3.同理，作弦BC的中垂线，交弧BC于点E
4.则，D、C、E就是四等分弧AB的点。
我国著名的赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
巩固练习
提示：如何把实际问题转化成数学问题？
如图：AB=37.4m,CD=7.2m,求BO的长？
解：设半径为R，根据垂径定
理有
利用因式分解解方程得
R≈27.9

答：赵州桥主桥拱的半径约为27.9m。
归纳方法
解决实际问题先将其转化成数学问题，再利用学过的知识进行解答。
巩固练习
如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
提示：画出图形，转化为数学问题。
解:如图,用 表示桥拱, 所在圆的圆心为O,半径为Rm,
经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交于点C.根
据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高.
由题设得
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得 R≈3.9（m）.
在Rt△ONH中，由勾股定理，得
∴此货船能顺利通过这座拱桥.
思路归纳
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
解决实际问题先转化为数学问题在进行解答。
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面的油面宽AB = 600mm，求油的最大深度。
D
C
拓展练习
小结
本节课我们学习了
垂径定理推论的证明和垂径定理及其推论在实际生活中的应用。
解答和弦有关的问题，一般都需要添加辅助线，构造出满足垂径定理的条件，应用勾股定理解决。
作业：见课后练习题
拓展：课后链接
再见！
这节课就到这里