第二十四章　圆
24．1　圆的有关性质
九年级上册数学（人教版）
24．1.1　圆
知识点1：圆的有关概念
1．以已知点O为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
2．下列说法正确的是(　　)
A．直径是圆中最长的弦
B．弧是半圆
C．长度相等的弧是等弧
D．过圆心的线段是直径
A
A
3．如图，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则圆中弦的条数是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
B
4．已知A，B是半径为5 cm的⊙O上两个不同的点，则弦AB的取值范围是(　　)
A．AB＞0 B．0＜AB＜5 cm
C．0＜AB＜10 cm D．0＜AB≤10 cm
5．如图，在⊙O中，直径有____________，弦有________，劣弧有___________________________，优弧有__________________．
D
AB
AB，BC
6．已知⊙O中最长的弦为16 cm，则⊙O的半径为________cm.
8
7．如图，△ABC和△ABD都为直角三角形，且∠C＝∠D＝90°.求证：A，B，C，D四点在同一个圆上．
取AB的中点O，连接OC，OD，图略．∵△ABC和△ABD都为直角三角形，且∠C＝∠D＝90°，∴DO，CO分别为Rt△ABD和Rt△ABC斜边上的中线，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴A，B，C，D四点在同一个圆上．
知识点2：同圆的半径相等
8．如图，AB和CD都是⊙O的直径，∠AOC＝50°，则∠C的度数是(　　)
A．20° B．25° C．30° D．50°
B
9．如图，⊙O的半径为4 cm，∠AOB＝60°，则弦AB的长为________cm.
4
10．如图，OA，OB为⊙O的半径，C，D分别为OA，OB的中点，求证：AD＝BC.
∵C，D分别为OA，OB的中点，OA＝OB，∴OD＝OC，又∵∠O＝∠O，∴△AOD≌△BOC(SAS)，∴AD＝BC.
11．如图，点O是同心圆的圆心，大圆的半径OA，OB分别交小圆于点C，D，求证：AB∥CD.
易错点：对圆的有关概念理解不准确致误
12．下列命题中，正确的个数是(　　)
①直径是弦，弦是直径；②弦是圆上的两点间的部分；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④等于半径两倍的线段是直径．
A．1 B．2 C．3 D．4
A
13．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BOC＝110°，AD∥OC，则∠AOD等于(　　)
A．70° B．60° C．50° D．40°
D
14．在半径为1的⊙O中，弦AB长 ，则∠AOB的度数为(　　)
A．45° B．60° C．90° D．120°
15．下列四边形：①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形．其中四个顶点一定能在同一个圆上的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
B
16．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，则∠E等于(　　)
A．42° B．28° C．21° D．20°
B
17．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD＝4，OD＝3，则AB的长为________．
10
18．如图，已知在△ABC中，点D是∠BAC的平分线上一点，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心．
18．如图，∵点D在∠BAC的平分线上，∴∠1＝∠2.∵DE∥AC，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴AE＝DE.∵BD⊥AD于点D，∴∠ADB＝90°，∴∠EBD＋∠2＝∠EDB＋∠3＝90°，∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，∴AE＝BE＝DE，∴点E是过A，B，D三点的圆的圆心．
19．已知MN为直径，ABCD，EFGD是正方形，小正方形的面积为16，求圆的半径．
20．如图，点A，D，G，M在半圆O上，四边形ABOC，DEOF，HMNO均为矩形，设BC＝a，EF＝b，NH＝c，则a，b，c的大小关系是____________．
a＝b＝c
21．如图，射线OA经过⊙O的圆心，与⊙O相交于点A，点C在⊙O上，且∠AOC＝30°，点P是射线OA上的一个动点( 与点O不重合)，直线PC与⊙O相交于点B.
(1)当点P在线段OA上，且满足BP＝OB时，求∠OCP的度数；
(2)当点P在线段OA的延长线上，且满足BP＝OB时，求∠OCP的度数．
第二十四章　圆
24．1　圆的有关性质
九年级上册数学（人教版）
24．1.2　垂直于弦的直径
知识点1：垂径定理及其推论
1．(2016·黄石)如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON＝(　　)
A．5 B．7 C．9 D．11
A
2．下列说法正确的是(　　)
A．平分弦的直径垂直于弦
B．垂直于弦的直线必过圆心
C．垂直于弦的直径平分弦
D．平分弦的直径平分弦所对的弧
C
3．如图，在⊙O中，弦AB，AC互相垂直，D，E分别为AB，AC的中点，则四边形OEAD为(　　)
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．梯形
C
B
5．如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点(不与A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为________．
4
6．(2016·黔西南州)如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，若CD＝6，BE＝1，则⊙O的直径为________．
10
7．如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是________度．
48
8．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为________．
3
9．如图，M，N为线段AB上的两个三等分点，点A，B在圆O上，求证：∠OMN＝∠ONM.
过点O作OC⊥AB，图略．则AC＝BC.∵M，N为线段AB上的两个三等分点，∴AM＝BN，∴MC＝NC.而OC⊥MN，∴△OMN为等腰三角形，∴∠OMN＝∠ONM.
C
11．在直径为200 cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB＝160 cm，则油的最大深度为(　　)
A．40 cm B．60 cm
C．80 cm D．100 cm
A
C
11．在直径为200 cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB＝160 cm，则油的最大深度为(　　)
A．40 cm B．60 cm
C．80 cm D．100 cm
A
12．如图是某风景区的一个圆拱形门，净高5米，路面AB宽为2米，求圆拱形门所在圆的半径是多少米？
B
14．如图所示，矩形ABCD与⊙O相交于点M，N，F，E，若AM＝2，DE＝1，EF＝8，则MN的长为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
C
15．(2016·宿迁)如图，在△ABC中，已知∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为________．
16．(2016·南充)如图是由两个长方形组成的工件平面图(单位：mm)，直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是__________mm.
50
19．⊙O的半径为5 cm，弦AB∥CD，AB＝6 cm.CD＝8 cm，则AB与CD的距离为________．
7 cm或1 cm
20．如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为7.2 m，拱顶高出水面2.4 m，现有一艘宽3 m，船舱顶部为正方形并高出水面2 m的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．
第二十四章　圆
24．1　圆的有关性质
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24．1.3　弧、弦、圆心角
知识点1：认识圆心角
1．如图，不是⊙O的圆心角的是(　　)
A．∠AOB　　　　　　　　 B．∠AOD
C．∠BOD D．∠ACD
D
2．已知圆O的半径为5 cm，弦AB的长为5 cm，则弦AB所对的圆心角∠AOB＝________．
60°
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，则弧AD所对的圆心角的度数________．
72°
7．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且AD＝BC，则AB与CD的大小关系为(　　)
A．AB＞CD B．AB＝CD
C．AB＜CD D．不能确定
B
11．如图所示，AB是⊙O的弦，C，D为弦AB上的两点，且OC＝OD，延长OC，OD，分别交⊙O于点E，F.求证：AE＝BF.
∵ OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC.∵AO＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠OCD－∠OAB＝∠ODC－∠OBA，即∠AOC＝∠BOD，∴AE＝BF.
易错点：对“圆心角、弧、弦”的关系理解不清
12．下列说法中正确的是(　　)
A．若有两条弦相等，则这两条弦所对的弧一定相等
B．在同圆或等圆中，等弧对等弦
C．若有两条弦相等，则这两条弦所对的圆心角一定相等
D．两个半圆就是等弧
B
13．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，∠BAC＋∠EAD＝180°，则弦BC的长等于(　　)
A．8 B．10 C．11 D．12
A
C
①②③
第二十四章　圆
24．1　圆的有关性质
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24．1.4　圆周角
1．下列四个图中，∠α是圆周角的是(　　)

　　　　A　　　　B　　 　　C　　　　D
C
4
∠C
∠A，∠B
D
5．(2016·巴彦淖尔)如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB＝40°，则∠ABD与∠AOD分别等于(　　)
A．40°，80° B．50°，100°
C．50°，80° D．40°，100°
B
8．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝40°，∠APD＝65°.
(1)求∠B的大小；
(2)已知AD＝6，求圆心O到BD的距离．
知识点3：圆内接四边形的性质
9．(2016·兰州)如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为(　　)
A．45° B．50°
C．60° D．75°
C
30
易错点：忽略弦所对的圆周角在圆中有两种情况
12．一条弦把圆分为2∶3两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为_____________．
72°或108°
21．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F.
(1)若∠E＝∠F，求证：∠ADC＝∠ABC；
(2)若∠E＝∠F＝42°，求∠A的度数；
(3)若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β.请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．