11.3多边形及其内角和第一课时同步习题与答案
一、选择题
1.下列图形中，是正多边形的是（）
A.直角三角形B.等腰三角形C.长方形 D.正方形
2.九边形的对角线有（）
A.25条 B.31条C.27条D.30条
3. 如图，下面四边形的表示方法：①四边形ABCD；②四边形ACBD；③四边形ABDC；④四边形ADCB．其中正确的有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
/
4. 四边形没有稳定性，当四边形形状改变时，发生变化的是（　　）
A．四边形的边长 B．四边形的周长
C．四边形的某些角的大小 D．四边形的内角和
5.下列图中不是凸多边形的是（　　）

6．把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（　　）
　
A．
六边形
B．
五边形
C．
四边形
D．
三角形

7．如图，木工师傅从边长为90cm的正三角形木板上锯出一正六边形木块，那么正六边形木板的边长为（　　）
　
A．
34cm
B．
32cm
C．
30cm
D．
28cm

8．下列图形中具有稳定性的有（　　）
A．正方形 B．长方形C．梯形D．直角三角形
二、填空题
9．以线段a=7，b=8，c=9，d=11为边作四边形，可作_________个.
10．把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是_________边形.
11．在平面内，由一些线段________________相接组成的_____________叫做多边形。
12．多边形_________组成的角叫做多边形的内角。
13．多边形的边与它的的邻边的__________组成的角叫做多边形的外角。
14．连接多边形_________的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
15．_________都相等，_________都相等的多边形叫做正多边形。
16．在四边形ABCD中，AC⊥BD，AC=6cm，BD=10cm，则四边形ABCD的面积等于　_________　．
17．将一个正方形截去一个角，则其边数　_________　．
18．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是　_________　．
/
三、解答题：
19．（1）从四边形的一个顶点出发可以画_____条对角线，把四边形分成了个三角形；四边形共有____条对角线．
（2）从五边形的一个顶点出发可以画_____条对角线，把五边形分成了个三角形；五边形共有____条对角线．
（3）从六边形的一个顶点出发可以画_____条对角线，把六边形分成了个三角形；六边形共有____条对角线．
（4）猜想：①从100边形的一个顶点出发可以画_____条对角线，把100边形分成了个三角形；100边形共有___条对角线．②从n边形的一个顶点出发可以画_____条对角线，把n分成了个三角形；n边形共有_____条对角线．
20．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于P，请添加一个条件，使四边形ABCD的面积为：S四边形ABCD=/AC•BD，并给予证明．
解：添加的条件：　_________　


21．如图所示，在直角坐标系中，四边形ABCD各个顶点的坐标分别是A（0，0），B（3，6），C（14，8），D（16，0），确定这个四边形的面积．

　
　

22．四边形是大家最熟悉的图形之一，我们已经发现了它的许多性质．只要善于观察、乐于探索，我们还会发现更多的结论．
（1）四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线，将四边形分成四个三角形（如图①），其中相对的两对三角形的面积之积相等．你能证明这个结论吗？试试看．
已知：在四边形ABCD中，O是对角线BD上任意一点．（如图①）
求证：S△OBC•S△OAD=S△OAB•S△OCD；
（2）在三角形中（如图②），你能否归纳出类似的结论？若能，写出你猜想的结论，并证明：若不能，说明理由．

　

23．用两个一样大小的含30°角的三角板可以拼成多少个形状不同的四边形？请画图说明．

参考答案
一、选择题
1．D 2．C 3．B 4．C 5．A 6．A 7．C 8.D
二、填空题
9.无数 10.六 11．首尾顺次，图形 12．相邻两边 13．延长线 14．不相邻15．各边，各角 16．30cm2 17．3或4或5 18．（n+1）2－1或n2+2n
三、解答题
19．⑴1，2，2 ⑵2，3，5 ⑶3，4，9 ⑷①97，98，4750 ②n－3,n－2,

20．解：添加的条件：　AC⊥BD　
理由：
/

解：条件：AC⊥BD，理由：
∵AC⊥BD，
∴/，/，
∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ACB=/+/
=/
=/．


21．解：分别过B、C作x轴的垂线BE、CG，垂足为E，G．
所以SABCD=S△ABE+S梯形BEGC+S△CGD=/×3×6+/×（6+8）×11+/×2×8=94．
/
22．


证明：（1）分别过点A、C，做AE⊥DB，交DB的延长线于E，CF⊥BD于F，
则有：S△AOB=/BO•AE，
S△COD=/DO•CF，
S△AOD=/DO•AE，
S△BOC=/BO•CF，
∴S△AOB•S△COD=/BO•DO•AE•CF，
S△AOD•S△BOC=/BO•DO•CF•AE，
∴S△AOB•S△COD=S△AOD•S△BOC．；
（2）能．从三角形的一个顶点与对边上任意一点的连线上任取一点，与三角形的另外两个顶点连线，将三角形分成四个小三角形，其中相对的两对三角形的面积之积相等．
或S△AOD•S△BOC=S△AOB•S△DOC，
已知：在△ABC中，D为AC上一点，O为BD上一点，
求证：S△AOD•S△BOC=S△AOB•S△DOC．
证明：分别过点A、C，作AE⊥BD，交BD的延长线于E，作CF⊥BD于F，
则有：S△AOD=/DO•AE，S△BOC=/BO•CF，
S△OAB=/OB•AE，S△DOC=/OD•CF，
∴S△AOD•S△BOC=/OB•OD•AE•CF，
S△OAB•S△DOC=/BO•OD•AE•CF，
∴S△AOD•S△BOC=S△OAB•S△DOC．
23.解：四个．如图所示：////


教学准备
1.  教学目标
1、了解多边形的内角、外角等概念；
2、能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算．
2.  教学重点/难点
重点：多边形的内角和与多边形的外角和公式。
难点：多边形的内角和定理的推导。
3.  教学用具
4.  标签
/  教学过程
一、复习引入
1、在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
２、在多边形中连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
３、三角形的内角和是__ 180°__．
二、探究新知 
（1）多边形的内角和
正方形的内角和是多少？为什么？
/
想一想：如果是任意四边形呢？
/
（1）四边形ABCD的内角   和是多少？
（2）你是怎样求的？
观察上图：可以看出四边形从一个顶点出发，
可以做__1_条对角线，它们将四边形分成___2__  个三角形，所以四边形的内角和为__ 360°___ 。
那么如何求此五边形的内角和呢?
说说你的探索思路？
/
3× 180° =540°   
探索过程一掠:
          三角形                      四边形                             五边形
/
         180°                      2× 180°= 3600           3× 180° =540°    
那么六边形、七边形的内角和呢？
                 六边形                                        七边形
/
        4× 180° =720°                               5× 180° =900° 
一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作(n-3)条对角线它们将n边形分为(n-2)个三角形
/
最终结论
n边形内角和等于（n－2）× 180°
总结：
1.n边形内角和（n－2)×180°(n≥3)
2.已知内角和求几边形:内角和÷180+2
3.n边形从一个顶点出发的对角线有(n－3)条(n≥3)
4.n边形共有对角线 /   条(n≥3)
对角线是解决多边形问题的常用辅助线 
把多边形问题转化为三角形问题
（2）正多边形的内角
 那么正五边形、正六边形、正八边形、正n边形的每个内角分别是多少度呢？
 ///
/
典型例题
例1、如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
/
解：如图四边形ABCD中，
/
/
/
这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补。
 小试牛刀
 1、八边形的内角和等于多少度？     十边形呢？
（8－2） ×180°= 1080°
(10－2) ×180°= 1440°
2、已知一个多边形每个内角都等108° ，求这个多边形的边数？
解：设这个多边形的边数为 n，根据题意得：
(n－2) ×180=108n
解得：n=5          
答：这个多边形是五边形。
（3）多边形的外角和
多边形外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角。
/
问题
大家清晨跑步吗？小明就有每天坚持跑步的好习惯，他怎样跑步呢？右图就是小明清晨沿一个五边形广场周围的小跑，按逆时针方向跑步的效果图. 请你观察并思考如下几个问题:
(1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？在图中标出它们.
(2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
(3)在上图中，你能求出1+∠2+∠3+∠4+∠5的大小吗？你是怎样得到的？
/
从多边形的一个顶点A点出发，沿多边形的各边走过各点之后回到点A.最后再转回出发时的方向。在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和。
由于在这个运动过程中走了一周，也就是说所转的各个角的和等于一个周角。
即：多边形的外角和等于360º
多边形的外角和
/
从上表中得到了什么结论？
结论：任何多边形的外角和为360°
练一练
练习1： 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数。
解： 设多边形的边数为n
    ∵它的内角和等于 (n-2)•180°，
        多边形外角和等于360º，
    ∴     (n-2)•180°=2× 360º。
            解得:    n=6
    ∴这个多边形的边数为6。
练习2：正五边形的每一个外角等于____，每一个内角等于_____。
解：设正五边形的每一个外角度数为x，由
多边形的外角和等于360度可得：
5X=360°
X=72°
所以每一个内角度数为108 °
练习3：一个正多边形的每个内角比相邻外角大36°求这个多边形的边数。 
解：设一个外角为x°，
      则内角为（x＋36）°
      根据题意得：
　　    x+x+36＝180
　　       　    x＝72           
          360÷72＝5
答：这个正多边形为正五边形。
（4）正多边形的外角
回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？
每个内角的度数是/
每个外角的度数是/
典型例题
例2：一个正多边形的一个内角为150°，你知道它是几边形吗？ 
解：设　这个多边形为n边形，根据题意得：
　　　　（n－2）×180＝1５0n
　　         　　 　       n＝12
答：这个多边形是12边形。
另解：由于多边形外角和等于360°
         而这个正多边形的每个外角都等于
             180°－150°＝30°，
         所以这个正  多边形的边数等于      
             360°÷30°＝12。
例3、已知两个多边形的内角和为1440°，且两多边形的边数之比为1︰3，求它们的边数分别是多少？
解:设它们的边数分别是x,y.由题意得：
     （x-2）·180+（ y -2）·180=1440
           x : y=1 : 3
           解之得   x =3
                    y =9
          答：它们的边数分别是3和9。
牛刀小试
（1）八边形的内角和等于   1080o       。
（2）已知一个多边形的内角和等于2340°，    
     它的边数是  15        。
（3）小明在计算多边形的内角和时求得的
     度数是1000°，他的答案正确吗？为
     什么？   不
（4）已知四边形4个内角的度数比是1︰2︰3︰4，
   那么这个四边形中最大角的度是    1440         。
（5）一个五边形的三个内角是直角，另两个内角
    都是n°，则n=    1350            。
（6）六角螺母的面是六边形，它的内角都相等，则
     这个六边形的每个内角是  1200   　　　　  。 
（7）在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，那么∠B
   与∠D有什么关系呢？为什么？ 
互补，四边形内角和为360o
三、随堂练习
1、求下列图形中x的值：(1)115  (2)60  (3)95  (4)75
/
2、一个多边形的每一个外角都是600，这个多边形是几边形？它的内角和等于多少度? 
解：六边形，720o
3、有没有这样的多边形，它的内角和是外角和的3倍？ 
解：360*3÷180+2=8，八边形
4、一个多边形的每一个外角都相等，且每一个内角都比外角大900，求这个多边形的边数和每个内角的度数。
解： 设外角为x,则内角为x+900.
x+x+90=180
则x=45
所以边数为3600÷450=8，故为正八边形，每个内角为1350
5、一个多边形的内角和是外角和的4倍,这是几边形?
解：设外角为x,则内角为4x
x+4x=180
x=36
则边数为3600÷360=10.故为正十边形
6、四边形的四个内角的比是8:6:3:7,求它的四个内角.
解：设第一个内角为8x,则其它三个角分别为6x,3x,7x
则8x+6x+3x+7x=360
解得x=15
所以四个角分别为1200，900，450，1050
7、一个多边形的每个内角都比相邻的外角3倍多20度,求这个多边形的边数.
解：设外角为x,则内角为3x+20
x+3x+20=180
x=40
则边数为3600÷400=9
8、两个多边形的边数比是1:2,两个多边形的内角和为1440度,求这两个多边形的边数.
解；设第一个多边形边数为x，则第二个多边形为2x
可列：（x-2）*180+(2x-2)*180=1440
解得：x=4
则这两个多边形的边数分别为4和8
9、有一六边形，截去一三角形，内角和会发生
怎样变化？请画图说明。
/  课堂小结
1. n边形从一个顶点出发的对角线有(n－3)条(n≥3)
2. n边形共有对角线 /   条(n≥3)
3. n边形内角和（n－2）×180°(n≥3)
4、任何多边形的外角和为360°
5. 已知内角和求几边形:内角和÷180+2
6、正n边形每个内角的度数是/
7、正n边形每个外角的度数是/
布置作业
教科书习题11.3第1、2、4、5题．
/  板书
一、 复习引入
二、 探究新知
1. n边形从一个顶点出发的对角线有(n－3)条(n≥3)
2. n边形共有对角线 /   条(n≥3)
3. n边形内角和（n－2）×180°(n≥3)
4、任何多边形的外角和为360°
5. 已知内角和求几边形:内角和÷180+2
6、正n边形每个内角的度数是/
7、正n边形每个外角的度数是/
三、课堂练习
四、课堂小结
五、作业布置