课题 三角形的内角和
[教学过程]
教学过程
说明

一、三角形内角和性质的说理证实
1、开门见山，引出课题
这是我们非常熟悉的三角形，今天，我们一起研究三角形的内角和.关于三角形的内角和，你们知道多少？
小学时，你们就已经知道三角形的内角和是180°，当时你们是通过量角器量一量、剪刀剪一剪拼一拼的操作去解释的。然而，量一量、拼一拼都只能对具体的三角形进行操作，不具有一般性，并且量、拼都会产生误差，所以通过操作来说明就不可靠了。因此，我们要用严谨的说理去证实。
2、联想构造，说理证实
如何说理验证？
为了便于说明，我们结合图形△ABC，把它用符号形式表示出来。
（1）将命题（文字语言）转化为数学符号语言（图像语言、符号语言）
图像语言：

符号语言：如果 ∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角，
那么 ∠A+∠B+∠C=180°.
（2）联想、启发
要说明∠A+∠B+∠C=180°，想一想在已学的几何意义、定理中，会出现180°的有哪些结论？
（3）构造、说理
如果 ∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角，
那么 ∠A+∠B+∠C=180°.

解：过△ABC的顶点A作直线DE∥BC
∵ DE∥BC
∴ ∠B=∠DAB（两直线平行，内错角相等）
∠C=∠EAC（两直线平行，内错角相等）
∵D、A、E在直线DE上
∴∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°（平角的意义）
∴∠B+∠BAC+∠C=180°（等量代换）
启发和鼓励同学们用其它方法证明，例如延长三角形的一边构造平角或过三角形一顶点作其对边的平行线构造同旁内角。这里不给出其他证法的详细证明过程了。
在肯定学生思路的同时，点出几种证法背后的共同点，即∶借助联想，通过添加辅助线，构造平角或两直线平行，进行几何说理，初步体验联想与构造的思维方法。
（4）归纳和整理
通过同学们多种的说理方法，我们证实了“三角形的内角和是180°”，而这个结论就是我们今天要研究的三角形的内角和性质。
三角形的内角和性质——三角形的内角和等于180°
图像语言：
符号语言：∵ ∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角（已知）
∴ ∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和等于180°）
二、三角形内角和性质的应用举例
. 探索得到了三角形的内角和性质，接下来，就让我们一起解决以下问题吧。
1、试一试：应用三角形的内角和性质，判断下列各组角度的角是否为同一个三角形的内角：
（1）80°、95°、5° 答：是同一个三角形的内角；
（2）60°、20°、90° 答：不是同一个三角形的内角；
（3）73°、50°、57° 答：是同一个三角形的内角；

2、例题1：在△ABC中，如果∠B=25°，∠C=65°，求∠A的大小，并判断△ABC的类型.
解：∵∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角（已知）
∴∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和等于180°）
∵∠B=25°，∠C=65°（已知）
∴∠A=180°—∠B—∠C=180°—25°—65°=90°
（等式性质）
∴△ABC是直角三角形
直接应用三角形的内角和性质，通过已知的两个内角，求出第三个内角。还结合角的特征判断三角形的形状。

3、例题2：在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=1：2：3,求∠A、∠B、∠C的大小.
解：根据题意，可设∠A、∠B、∠C的大小分别为x°,2x°,3x°
∵∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角（已知）
∴∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和等于180°）
即x+2x+3x=180
∴x=30
∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°
当给出按比例分配的条件时，我们通常可以采取设元的方法。在设元的过程中，采用简单原则，比如在例题2中，我们设每一份为x，由份数把∠A、∠B、∠C的大小都可用含有x的代数式表示。再根据已知条件寻找数量关系，建立含有元的方程进行求解。这也是今后在几何计算中的常用方法之一。

4、例题3：如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=45°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的大小.
分析：
通过这两种解题思路的分析，再写出说理过程就简单多了。下面，我们写出其中一种解题过程。
解：∵AD是△ABC的角平分线（已知）
∴∠DAC=
∠BAC（角平分线的意义）
∵∠BAC=60°（已知）
∴∠DAC=30°（等式性质）

∵∠DAC、∠ADC、∠C是△ADC的三个内角（已知）
∴∠DAC+∠ADC+∠C=180°（三角形的内角和等于180°）
∵∠C=45°（已知）
∴∠ADC=180°—∠DAC—∠C=180°—30°—45°=105°（等式性质）

∵B、D、C在直线BC上（已知）
∴∠ADB+∠ADC=180°（平角的意义）
∴∠ADB=180°—∠ADC=180°—105°=75°（等式性质）
若有同学通过添加辅助线进行求解，应向学生指出这种想法可以证明，但繁琐而不必要。然而添加辅助线的方法有价值，应予以肯定。
三、课堂小结
1、学生小结
2、教师小结
（1）经历对三角形内角和性质说理证实的过程，体验联想与构造的思维方法；
（2）通过对三角形内角和性质的应用，进一步了解演绎推理的意义。
四、思考拓展
1、思考题：一个三角形的三个内角中最多有几个钝角？
解：一个三角形的三个内角中最多有1个钝角。
假设一个三角形中有2个钝角，那么它们的和一定大于180°，则这个三角形的内角和也必定大于180°，与“三角形的内角和等于180°”矛盾，所以一个三角形的三个内角中最多有1个钝角。

2、拓展题：你能求出四边形的内角和吗？六边形呢？

解：把四边形的内角和问题转化成两个三角形的内角和问题。


解：把六边形的内角和问题也可以转化成三角形或四边形内角和问题。

五、回家作业
必做题∶练习册习题14.2（1）.
选做题：请运用今天的探索成果，解决以下问题：
1、你还能用其它的方法对三角形内角和性质进行说理吗？
2、你能猜想出五边形的内角和吗？请对你的猜想结论通过说理进行证实。

学生在小学的学习中，通过实验操作知道了三角形内角和的结论，所以尊重学生的认知基础，直接进入说理阶段。

文字语言、图像语言和符号语言是几何说理的基础，为之后论证几何阶段的说理作准备。
让学生自己回顾已学过的几何意义、定理，从中发现有180°的结论.以便进行联想与构造.
从学生认知的最近发展区角度出发，学生很容易由180°想到平角的意义或两直线平行下的同旁内角互补，从而进行构造、说理。
这里不给出其他证法的详细证明过程，只是对说理思路进行数学交流。


对三角形内角和性质的直接巩固应用。

先让学生进行表达，然后示范几何说理的格式，指出几何计算不能只有结论，而应有严密的推理过程，逐步要求学生养成言必有据的习惯。
本题渗透用方程思想将几何中的数量问题转化为方程问题。在许多几何题中，运用方程思想去解决，具有思路顺畅、过程简捷的特点。

渗透分析法，并以分析框图的方式呈现，一方面培养学生分析能力，同时以此降低说理书写的难度。
对较长的说理过程引导学生学会分段处理，以简明的逻辑段落逐步演绎说理，用空一行加以区分。




本题既是三角形内角和性质的运用,同时体验化归思想，把多边形内角和的问题转化成我们熟悉的三角形、四边形内角和问题。

作业设计说明：必做题对所学知识进行有效巩固，面向全体学生；选做题面向部分有自主探究能力的学生。