三角形
人教版数学教材七年级下
7.2 与三角形有关的角(2)
关注三角形的外角
如左图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD,像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角
上图中∠A=70°, ∠B =60° ∠ACD是△ABC的一个外角,你能求出∠ACD 是多少度？
关注三角形的外角
由上边的计算结果，你发现了什么
你能得到什么结论
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
课本P81的练习题，完
成后同学之间互相交流.
已知:如图所示,在△ABC中,外角∠DCA=100°,∠A=45°.
求:∠B和∠ACB的大小.
解:∵ ∠DCA是△ABC的一个外角(已知),
∠DCA=100°(已知),
∴ ∠B=100°-45°=55°.(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).
又∵ ∠DCA+∠BCA=180°(平角意义).
∴ ∠ACB=80°(等式的性质).
∠A=45°(已知),
行家伸伸手
三角形的内角与外角
练习：
如图，在△ABC中，
∠ C= ∠ ABC=2 ∠ A，
∠ADB=90 °
求：∠ DBC的度数.
已知:如图所示.
求证:(1)∠BDC>∠A;
(2) ∠BDC=∠A+∠B+∠C.
证明(1):∵ ∠BDC是△DCE的一个外角 (外角意义),
∴ ∠BDC>∠CED(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角).
∴ ∠DEC>∠A(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角).
∴ ∠BDC>∠A (不等式的性质).
∵ ∠DEC是△ABE的一个外角 (外角意义),
关注三角形的外角
已知:如图所示.
求证:(1)∠BDC>∠A;
(2) ∠BDC=∠A+∠B+∠C.
证明(2):∵ ∠BDC是△DCE的一个外角 (外角意义),
∴ ∠BDC =∠C+∠CED(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).
∴ ∠DEC=∠A+ ∠B(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和).
∴ ∠BDC=∠A+∠B+∠C (等式的性质).
∵ ∠DEC是△ABE的一个外角 (外角意义),
关注三角形的外角
“行家”看“门道”
已知:如右图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B= ∠C. 求证:AD∥BC.
证明:∵ ∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),
∴ AD ∥BC(内错角相等,两直线平行).
∠B=∠C (已知),
∴∠DAC=∠C(等量代换).
分析:要证明AD∥BC,只需要证明“同位角相等”,“内错角相等”或“同旁内角互补”.
∵ AD平分 ∠EAC(已知).
·
·
例题是运用了定理“内错角相等,两直线平行”得到了证实.
一题多解思维灵活
·
·
∠B=∠C (已知),
∵ AD平分 ∠EAC(已知).
∴∠DAE=∠B(等量代换).
∴ AD∥BC(同位角相等,两直线平行).
这里是运用了公理“同位角相等,两直线平行”得到了证实.
证明:∵ ∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),
分析:要证明AD∥BC,只需要证明“同位角相等”,“内错角相等”或“同旁内角互补”.
已知:如右图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B= ∠C. 求证:AD∥BC.
·
分析:要证明AD∥BC,只需要证明“同位角相等”,“内错角相等”或“同旁内角互补”.
∠DAC=∠C (已证),
∵ ∠BAC+∠B+∠C =1800 (三角形内角和定理).
∴ ∠BAC+∠B+∠DAC =1800 (等量代换).
∴ AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行).
这里是运用了定理“同旁内角互补,两直线平行”得到了证实.
证明:由证法1可得:
·
一题多解思维灵活
已知:如右图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B= ∠C. 求证:AD∥BC.
如图，D 是△ABC 的BC 边上一点，
∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°，
∠BAC=70°.
求：（1）∠B 的度数；
（2）∠C 的度数.
典型例题
学习了本节课你有哪些 收获？
1. P82-83，
5，6，8，9
作 业
已知:国旗上的正五角星形如图所示.
求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
思考题
挑战自己