第十三章 轴对称
小结与复习
把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.
知识回顾
1、轴对称图形：
2、轴对称：
一、轴对称图形
3、轴对称图形和轴对称的区别与联系
轴对称图形
轴对称
区别
联系
图形
(1)轴对称图形是指( )
具有特殊形状的图形,
只对( ) 图形而言;
(2)对称轴( ) 只有一条
(1)轴对称是指( )图形
的位置关系,必须涉及
( )图形;
(2)只有( )对称轴.
如果把轴对称图形沿对称轴
分成两部分,那么这两个图形
就关于这条直线成轴对称.
如果把两个成轴对称的图形
拼在一起看成一个整体,那
么它就是一个轴对称图形.
一个
一个
不一定
两个
两个
一条
知识回顾：
4、轴对称的性质：
①关于某直线对称的两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
1、小明照镜子的时候，发现T恤上的英文单词在镜子中呈现“ ”的样子，请你判断这个英文单词是（ ）
A.
B.
C.
D.
A
练习：
2、△ABC与△DEF关于直线L成轴对称，则∠C是多少度？
650
750
1、什么叫线段的垂直平分线？
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。
2、线段垂直平分线有什么性质？
线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等 。
你能画图说明吗？
二.线段的垂直平分线
3.逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，都在线段的垂直平分线上。（完备性）
4.线段垂直平分线的集合定义：
线段的垂直平分线可以看作是
与线段两个端点距离相等的所
有点的集合。
三、用坐标表示轴对称小结： 在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.
点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为______ .

点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为______ .
(x, － y)
(－ x, y)
1、完成下表.
(-2, -3)
(2, 3)
(-1,-2)
(1, 2)
(6, -5)
(-6, 5)
(0, -1.6)
(0,1.6)
(-4,0)
(4,0)
2、已知点P(2a+b,-3a)与点P’(8,b+2).

若点p与点p’关于x轴对称，则a=_____ b=_______.

若点p与点p’关于y轴对称，则a=_____ b=_______.
练 习
2
4
6
-20
(抢答)
例：已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3，5),B(- 4，1),C(-1，3)，作出△ABC关于y轴对称的图形。
解：点A(-3,5),B(-4,1),
C(-1,3)，关于y轴对称
点的坐标分别为A’(3,5), B’(4,1),C’(1,3).依次连接A’B’,B’C’,C’A’,就得到△ABC关于y轴对称的△A’B’C’.
·
·
·
·
A
B’
A’
C’
归纳:先求出已知图形中的 特殊点(如多边形的顶点或端点)的对应点的坐标,描出并连接这些点,就可 得到这个图形的轴对称图形.
x
y
思考：如图,分别作出点P,M,N关于直线x=1的对称点, 你能发现它们坐标之间分别有什么关系吗?
点（x, y）关于直线x=1对称的点的坐标为（2-x, y）
如图，分别作出△ABC关于直线x=1（记为m) 和直线y=-1（记为n）对称的图形，它们的对应点的坐标之间分别有什么关系？
如图：
点（x, y）关于直线x=1对称的点的坐标为（2-x, y）关于直线y=-1对称的点的坐标为（x, -2-y）
点（x, y）关于直线x=m对称的点的坐标为（2m-x, y）,关于直线y=n对称的点的坐标为（x, 2n-y）
x
类似: 若两点(x1，y1)、(x2，y2)关于直线y=n对称，则 ，

归纳:若两点(x1，y1)、(x2，y2)关于直线

x=m对称，则;
y1=y2
x1=x2
X2=2m-x1
y2=2n-y1
(m= )
(n= )
1.如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P。
（1）求证：PA=PB=PC。
（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上呢？由此你能得出什么结论？
结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。
4.利用轴对称变换作图：
如图：要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道什么地方，可使所用的输气管道线最短？
A
B
L
P
1.有A、B、C三个村庄，现准备要建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置。
A
B
C
利用轴对称变换作图：
2.如图：在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=5厘米，△ABD的周长等于13厘米，则△ABC的周长是 。
18厘米
三、（等腰三角形)知识点回顾
1.等腰三角形的性质
①等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）
2.等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边）
四、（等边三角形)知识点回顾
1.等边三角形的性质：
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于600 。
2.等边三角形的判定：
①三个角都相等的三角形是等边三角形。
②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
3.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
那么它所对的直角边等于斜边的一半。
1.“有一个等腰三角形的两条边长分别是4cm和8cm，则周长为
20cm
2.已知，如图:AB=AC，AD=BD=BC，则∠A=
36°
3.已知，如图，AB=AC=CD，AD=BD则∠BAC=
A
B
C
D
108°
1. 哪个在镜子中的像跟原来的一样？(直线表示镜子垂直放置在纸条前)
口 木 E 目 人 晶 S N 中 田
课堂练习：
2. 等腰三角形的一个角为100°，底角为_____
3. 等腰三角形的周长为16cm，腰比底长2cm，则腰长为_______
4. 等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,则它的周长是_______ 。
5. 如图△ABC中，AC=16cm，DE为AB的垂直平分线， △BCE的周长为26cm，求BC的长。
C
6. 如图，在△ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂直平分线交AC于点D，如果BC=10cm，那么△BCD的周长是_______.
A
B
C
D
E
26cm
7. 如图，P、Q是△ABC边上的两点，BP=PQ=QC=AP=AQ，
求∠BAC的度数。
作业布置：
1. 已知，如图：△ABC中， AB=AC， E为AC延长线上一点且CE=BD ，DE交BC于点F。
求证：DF=EF
A
B
C
D
E
F
(提示:过D作DG∥AE交BC于点G，证△DFG≌△EFC即可)
G
2. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF。
（1）求证：AD ⊥CF；
（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由。
A
F
B
D
E
F
C
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90，DE是AB的垂直平分线，连接AE，∠CAE：∠DAE=1：2，求∠B的度数。
4.如图，△ABC中，AC=16cm，DE为AB的垂直平分线， △BCE的周长为26cm，求BC的长。
C