4－1 比例的意义和应用
例1：两个相同的杯子装满盐水，一只杯子中盐水与水的比例为1：3，另一杯子中盐与水的比例为1：5，若把两杯水混合在一起，盐与水的比例为多少？

分析 盐与水的比例为1：3，也就是说共为4份，盐为1份，水为3份；盐与水的比例为1：5，也就是说共为6份，盐占1份，水占5份，所以盐的比例为1/4+1/6 水占的比例为3/4+5/6 将混合后盐与水的比例化简就可以。

解：依题意得 混合后盐与水的比例为 （1/4+1/6）/(3/4+5/6)＝(5/12)/(19/12)=5/19
例2：有大小两个长方形，大长形的长比小长形的长多1/4,而小长方形的宽比大长方形的宽多1/10.求这两个长方形的面积比

分析 长的比多1/4，也就是说小长形的边为4时，大长方形的边为5，宽多1/10,也就是说，大长方形的宽为10时，小长方形的宽为11，这样将各自长×宽再比就可以了。

解：依据题意 大小长方形面积之比＝5*10/4*11=50/44=25/22
4－2 比例的意义和应用
例3：某小学学生中男生点3/5，教师中男教师占1/10.已知全体师生中男女的比例为9：10。求这个小学师生人数的比例为多少？

分析 设学生的总人数为a 人。教师的总人为为b人，刚有学生中男生有3/5a人，教师中男教师的比例为1/10b人，所以有3/5a+1/10b=(a+b)*9/(9+10),这样化简后，可得b/a=多少即可

解：依据 3/5a+1/10b=(a+b)*9/(9+10) 得b/a=24/71
增例1；
两个数的差相当于被减数的3/4,那么减数差的比是多少？

分析 设被减数为a,减数为b,则差为3/4a,则减数1/4a,可算出减数与差的比

解 a-b=3/4a,所以b=1/4a 因而减数与差的比＝（1/4×a）/(3/4×a)=1/3
增例2：把甲班的1/8调入乙班后，两班的人数相等，问原来甲乙两班人数的比是多少？

分析 设甲班的人数为a人，乙班的人数为b人。则有a-1/8×a=b+1/8×a 化简后得，3/4×a=b 则有 a/b=4/3
4－3 比例的意义和应用
增例3；一个平行四边形和一个三角形，它们的底边之比1：2，高之比为：1：2，则它们的面积之比为多少？

分析 高平行四边形的底边为a,则三角形的底边为2a；平行四边形的高为b ,则三角形的高为2b.各自计算面积相比就可以了。

解：平行四边形的面积＝a×b 三角形的面积＝1/2×2a×2b 所以面积之比为1：2
增例4：快、慢两车从A、B两地同时相向而行，在距AB中点的距离为全程的1/6处相遇，快车慢车的车速之比是多少？

分析 v =s/t 因为相遇时T是相同的，所以速度比与路程成正比，设全程长为a,中点距两边为1/2×a 快车走的路程(1/2+1/6) ×a 慢车所走的路程（1/2-1/6) ×a

解： V快:V慢＝S快:S慢＝(（1/2+1/6）×a)/((1/2-1/6) ×a=2:1
4－4 比例的意义和应用
例4：商店出售甲、乙两种商品，如果甲种商品的利润增加1/5，乙种商品的利润减少1/10，那么两种商品获得的利润相同，求原来甲、乙两种商品利润的比是多少？

分析 可设甲种商品的利润为a 增加1/5,也就是在原来1的基础上加1/5,即现在的利润为 a×（1+1/5）,同样可得 乙利润现在为b×(1-1/10) (设乙原来的利润为b); 根据现在的利润相同可列出方程。

解：根据原题意，可得 a×（1+1/5）＝ b×(1-1/10)
所以a/b=(1-1/10)/(1+1/5)=9/10 ×5/6=3:4
例5：小军行走的路程比小红多1/4，而小红行走的时间却比小军多1/10，问小军与小红的速度之比是多少？

分析 如果将小红的路程设为4，则小军的路程则为4+ 将小军的时间设为10，则小红的行走时间为1+10，这样 就可以求出它们的速度，然后再比就可以了
也可这样分析：设小红的咱程为S 则小军的路程为（1+1/4）S;设小军的时间为t 则小红的时间为（1+1/10）t,再根据速度V=S/T 就可以求出它们的速度之比了

解：V军：V红＝（（1+1/4）S）÷t/s ÷(1+1/10)t=5/4 ×11/10=11:8
4－4 比例的意义和应用
例6：现在A、B两辆货车往返于机场与仓库之间，其中A货车从机场去仓为的速度为40公里，但从仓库回机场的途中为赶时间速度改为60公里，B货车的速度为的来回的速度都为50公里，问A、B往反机场的时间之比为多少？

解：设机场与仓库之间的距离为S 则有Ta:Tb=（S/40+S/60）/2*(S/50)=24:24

例7：有3堆棋子，每一堆棋子数相同，并且都只有黑白两种颜色。第一堆里的黑子数和第二堆白子数一样多，第三堆里的黑子数占全部黑子数的2/5 .如果把这3堆棋子集中在一起，那么白子数与棋子总数的比是多少？

解：
3堆一样的数量的棋子，可设每堆的数量为1 总数量为3
第一堆的黑子数为X 白子数量为1－X；第二堆的白子也为X,黑子的数量为1－X,因此如果第一堆和第二堆混合，黑子的数量：X+1-X=1,白子的数量：1－X+X=1
又因为第一、第二堆的数量占全部黑子数量：1－2/5＝3/5
因此全部的黑子数量为：1÷3/5=5/3
又因为全部子数量为3，所以白子数量为3－5/3=4/3
所以白子占总数的比为：4/3÷3=4:9
4－5 比例的应用 按比例分配 1
例1：一个长方体的棱长总和为220厘米，它们的长宽高之为5：4：2，求长方体的表面积和体积各是多少？

分析 一个长方体有四条长 四条宽及四条高，因而220÷4＝55即为长宽同的总和，然后按比例计出长宽高，面积与体积就可以求出来了。

解：长宽高的和为：220÷4＝55 即长为55×5/(5+4+2)=25
宽为：55 ×4/(5+4+2)=20 高为：55 ×2/(5+4+2)=10
表面积＝25*20*2+25*10*2+20*10*2＝1900平方厘米
体积＝25*20*10＝5000立方厘米
例2：为鼓励创新，公司决定拿出100000元重奖3位创新的技术员。已知甲技术员与乙技术员所得奖金数比例为3：2，丙技术同的奖金数比乙技术员多2000元，问3位技术员各得奖金多少元？

分析 先将乙得奖金设为x 则甲为(3/2)X 丙为X+2000,三者之为为100000元，即可求得X

解：X+(3/2)X+X+2000=100000 得X=28000 X+2000=30000
(3/2)X=42000
所以甲得42000元；乙得28000元；丙得30000元

解二：先将奖金分两2000元，然后丙与乙一样多，即3：2：2的比例进行分配 甲得：98000*3/7=42000元 乙得：98000*2/7=28000 元 丙得：98000*2/7+2000=30000元
4－6 比例的应用 按比例分配 1
例3：A、B两桶油共重90千克，若把A桶中油的1/4倒入B桶，则两桶油的重量比为1：2，则A、B桶油原来各重多少千克？

分析 设A桶油重X千克，则B桶油重90-X 倒出1/4后重为（1－1/4）X 加油后B桶的重为90－X+(1/4)X 然后根据比例求出X

解：（1－1/4）X÷(90-X+(1/4)X)=1:2 (3/2)X+(3/4)X=90
(9/4)X=90 X=40千克（A桶） 90-X=50千克（B桶）

解二：倒出油后，A、B桶油得为 A桶：90*1 /（1+2）=30千克，即原得为30 ÷（1－1/4）=40千克，可得B桶油重＝90－40＝50千克
例4：甲、乙、丙3堆煤共重450吨，甲堆煤与乙堆煤的重量比为5：4，丙堆煤是乙堆煤的1.5倍，3堆煤各重为多少？

分析： 甲乙的比为5：4，但乙与丙的比为1：1.5，所以只要将乙与丙的比化为4：6（放大四倍），即可实现连比的形式，从而求得3堆的得量。

解：乙与丙的比为：1：1.5＝4：6（放大四倍——因而甲乙丙的比为5：4：6，所以甲的重量为 450*5/（5+4+6）=450*1/3=150吨 乙 的重量为 450*4/（5+4+6）＝30*4＝120吨 丙的重量为 450*6/(5+4+6)=30*6=180吨
4－7 比例的应用 按比例分配 1
例5：有3桶油共重45千克，如果从第一、第二桶中都取出2.5千克油倒入第三桶，这时一二三桶油的重量之比为1：2：3，问这3桶油原来各有多少千克？

分析：倒入油各桶的重量为 一桶重 45*1/(1+2+3)=7.5千克
二桶重 45*2/（1+2+3）＝15千克 三桶重 45*3/（1+2+3）＝22.5千克，因此再通过加减2.5千克的重量，求得原来各桶的重量

解：加入油后一桶的重量为45*1/(1+2+3)=7.5 原来重7.5+2.5＝10千克
加入油后二桶的重量 45*2/（1+2+3）＝15 原来重 15+2.5＝17.5千克
加入油后三桶重量 45*3/（1+2+3）＝22.5 原生22.5－5＝17.5千克
4－8 比例的应用 按比例分配 2
例6 ：一个长方形周长是130厘米。如果长增加2/7,宽减少1/3,得到新长方形的周长与原来长方形的周长相等。求原来长方形的面积。

分析 周长为130，所以长+宽＝130/2=65厘米 因此设原长为X,则宽为65－X，又因为增加减少后的周长不变，增加的数及减少的数相等，即(2/7)X=(65-X)*1/3 求出X,即可以求出原来的面积

解：设原长为X，因此有(2/7)X=(65-X)*1/3 解得X=35厘米（即长）；宽 65－X=65-35=30 面积为 长×宽＝35*30＝1050平方厘米
4－9 比例的应用 按比例分配 2
例7：张老师有140张电影票，如果发级一年级每人一张，剩下的发二年级，二年级的学生只有一半人有票，如果先发二年级，剩下的发一年级，一年级的只有1/3的人有票，问一、年级各有多少学生？

分析 ：

第一种想法：设一年级有X人，二年级有Y人，因而有X+(1/2)Y=140 Y+(1/3)X=140 因而可以解得 X Y 的值

第二种想法是，无论怎样分法，最后剩下没有票的学生一定是相等的即 一年级的学生×（1－1/3）=二年级的学生×（1－1/2）;可求得一、二年级学生的比例，再用比例的关系，求出一、二年级的学生

解法一：设一年级为X人，二年级Y人，因而得X+(1/2)Y=140 Y+(1/3)X=140 解得X＝84人 Y＝112人

解法二：一、二年级没有票的学生是相等的，得即 一年级的学生×（1－1/3）=二年级的学生×（1－1/2），得 一年学生数：二年级学生数＝（1－1/2）/（1－1/3）=3:4 因而每一分的数量为 140 ÷（3+4/2）=28 一年级学生数 28*3＝84人；二年级的学生数 28*4＝112人