比和比例
教学目标
1、比例的基本性质
2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题
3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化；
4、单位“1”变化的比例问题
5、方程解比例应用题
一、比和比例的性质
性质1：若a: b=c：d，则(a + c)：(b + d)= a：b=c：d；
性质2：若a: b=c：d，则(a - c)：(b - d)= a：b=c：d；
性质3：若a: b=c：d，则(a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x为常数)
性质4：若a: b=c：d，则a×d = b×c；(即外项积等于内项积)
正比例：如果a÷b=k(k为常数)，则称a、b成正比；
反比例：如果a×b=k(k为常数)，则称a、b成反比
二、主要比例转化实例
① 　　 ； ； ；
② 　　 ； (其中 )；
③ 　 ；　 ； ；···
④ ， ； ；
⑤ x的 等于 y的 ，则x是y的 ,y是x的 ．
三、按比例分配与和差关系
⑴按比例分配
例如：将x个物体按照a:b的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与的比分别为a:(a+b)和b:(a+b)，所以甲分配到 个，乙分配到 个.
⑵已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题
例如：两个类别A、B，元素的数量比为a:b(这里a>b)，数量差为x，那么的A元素数量为 ，B的元素数量为 ，所以解题的关键是求出(a-b)与a或b的比值。
四、比例题目常用解题方式和思路
解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l”。题中如果有几个不同的单位“1”，必须根据具体情况，将不同的单位“1”，转化成统一的单位“1”，使数量关系简单化，达到解决问题的效果。在解答分数应用题时，要注意以下几点：
1、题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量为单位“1”。
2、若题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1”。
3、应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正比例，还是成反比例。找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更好、更巧的解法。
4、题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解。
5、赋值解比例问题
模块一、比例转化
例1.已知甲、乙、丙三个数，甲等于乙、丙两数和的1/3，乙等于甲、丙两数和的1/2，丙等于甲、乙两数和的5/7，求甲：乙：丙。
解析：由甲等于乙、丙两数和的1/3，得到甲等于三个数和的1/(3+1)=1/4，同样的乙等于甲、丙两数和的1/(2+1)=1/3，同样的丙等于甲、乙两个数和的5/(7+5)=5/12 ，所以甲：乙：丙=1/4:1/3:5/12=3:4:5
例2.已知甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的2倍也等于丙的2/3，那么甲的2/3、乙的倍2、丙的一半这三个数的比为多少？
解析：甲的一半、乙的2倍、丙的2/3这三个数的比为1:1:1，所以甲、乙、丙这三个数的比为 即2:1/2:3/2，化简为4:1:3，那么甲的2/3、乙的2倍、丙的一半这三个数的比为 ，即8/3:2:3/2化简为16：12：9。
例3.如下图所示，圆B与圆C的面积之和等于圆A面积的4/5，且圆A中的阴影部分面积占圆A面积的1/6，圆B的阴影部分面积占圆B面积的1/5，圆C的阴影部分面积占圆C面积的1/3．求圆A、圆B、圆C的面积之比．
解析:
设A与B的共同部分的面积为x，A与C的共同部分的面积为y，则根据题意有 x=B/5,Y=C/3于是得到 ，这条式子可化简为B=15C，所以 .最后得到A:B:C=20:15:1.
例4.某俱乐部男、女会员的人数之比是3：2，分为甲、乙、丙三组．已知甲、乙、丙三组的人数比是10：8：7，甲组中男、女会员的人数之比是3：1，乙组中男、女会员的人数之比是5：3．求丙组中男、女会员人数之比 。
以总人数为1，则甲组男会员人数 女会员 ，乙组男会员为 ，女会员为 ；丙组男会员为 ，女会员为 ；所以，丙组中男、女会员人数之比为 ．
巩固练习
一项公路的修建工程被分成两份承包给甲、乙个工程队建设，两个工程队建设了相同多的一段时间后，分别剩下60%、40%的任务没有完成，已知两个工程队的工作效率(建设速度)之比3：1，求这两个工程队原先承包的修建公路长度之比.
9：2
模块二、按比例分配与和差关系
（一）量倍对应
例5.一些苹果平均分给甲、乙两班的学生，甲班比乙班多分到16个，而甲、乙两班的人数比为13：11，求一共有多少个苹果？
解析：一共有16÷（13-11）×（13+11）=192个苹果
练习
在抗洪救灾区活动中，甲、乙、丙三人一共捐了80元．已知甲比丙多捐18元，甲、乙所捐资的和与乙、丙所捐资的和之比是10：7，则甲捐 元，乙捐 元，丙 捐 元．
38；22；20
练习
一班和二班的人数之比是8；7，如果将一班的8名同学调到二班去，则一班和二班的人数比变为4：5．求原来两班的人数。
48；42
例6.幼儿园大班和中班共有32名男生，18名女生．已知大班男生数与女生数的比为5：3，中班男生数与女生数的比为2：1，那么大班有女生多少名？
解析：由于男、女生人数有比例关系，而且知道总数，所以可以用鸡兔同笼的方法．假设18名女生全部是大班，则大班男生数：女生数=5：3=30：18，即男生应有30人，实际上男生有32人，相差2个人；又中班男生数：女生数=2：1=6：3，以3个中班女生换3个大班女生，每换一组可增加1个男生，所以需要换2组；所以，大班女生有18-3× 2=12(名)．
例7
甲、乙两只蚂蚁同时从点出发，沿长方形的边爬去，结果在距B点2厘米的点相遇，已知乙蚂蚁的速度是甲的1.2倍，求这个长方形的周长 .
解析：
两只蚂蚁在距B点2厘米的C点相遇，说明乙比甲一共多走了2+2=4(厘米)．又知乙蚂蚁的速度是甲蚂蚁的1.2倍，相同时间内乙蚂蚁爬的路程与甲蚂蚁爬的路程比为：1.2：1＝6：5，
所以甲爬的路程是4÷ (6-5) ×5=20 (厘米) ， 乙爬的路程是20+4=24 (厘米)，长方形的周长为 20+24=44(厘米)．
练习
师徒二人共加工零件400个，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟．完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？
100
（二）利用不变量统一份数
例8.有一个长方体，长和宽的比是2：1，宽与高的比是3：2．表面积为72平方厘米，求这个长方体的体积.
解析：由条件长方体的长、宽、高的比6：3：2，则长方体的所有视面，上面、前面、左面的面积比为 这三个面的面积和等于长方体表面积的二分之一，所以，长方体的上面的面积为 ，前面的面积为12，左面的面积为6，而 ，所以36即是长、宽、高的乘积，所以这个长方体的体积为 ．
例9
6枚壹分硬币摞在一起与5枚贰分硬币摞在一起一样高，4枚壹分硬币摞在一起与3枚伍分硬币摞在一起一样高．用壹分、贰分、伍分硬币各摞成一个圆柱体，并且三个圆柱体一样高，共用了124枚硬币，问：这些硬币的币值为多少元？
解析：
由题目条件壹分硬币和贰分硬币的数量比为6：5，壹分硬币和伍分硬币的数量比为4：3=6：4.5，所以壹分硬币、贰分硬币以及伍分硬币的数量比为12：10：9，因此壹分硬币的数量为 枚，贰分硬币的数量为 枚，伍分硬币的数量
为枚，这些硬币一共
有 分，即币值为3.08元
练习
将一堆糖果全部分给甲、乙、丙三个小朋友．原计划甲、乙、丙三人所得糖果数的比为．实际上，甲、乙、丙三人所得糖果数的比为，其中有一位小朋友比原计划多得了块糖果．那么这位小朋友是 (填“甲”、“乙”或“丙”)，他实际所得的糖果数为 块．
丙；150
（三）利用等量关系列方程解比例
例10.某学校入学考试，参加的男生与女生人数之比是4：3． 结果录取91人，其中男生与女生人数之比是8：5．未被录取的学生中，男生与女生人数之比是3：4． 问报考的共有多少人？
解析：设未被录取的男生人数为3x人，那么未被录取的女生人数为4x人，由于录取的学生中男生有56人，女生有35人，则 解得x=4．所以未被录取的男生有12人，女生有16人．报考总人数是 人
例11
有甲、乙两块含铜率不同的合金，甲块重6千克，乙块重4千克，现在从甲、乙两块合金上各切下重量相等的一部分，将甲块上切下的部分与乙块的剩余的部分一起熔炼，再将乙块上切下的部分与甲块的剩余的部分一起熔炼，得到的两块新合金的含铜率相同，求切下的重量为________．
解析：
设切下的部分重量为x千克，则甲切下的x千克与乙剩下的(4-x)千克混合．由于得到的两块新合金的含铜率相同，所以若将这两块新合金混合，得到的大块合金的含铜率应与原来的两块新合金的含铜率相同，而这一大块合金是由6千克甲块合金与4千克乙块合金混合而成的，所以x千克甲块合金与(4-x)千克乙块合金混合后的含铜率与6千克甲块合金与4千克乙块合金混合后的含铜率相同，而甲、乙两块合金含铜率不同，所以这两种混合中甲、乙两种合金的重量比相同，即 ，解得x=2.4．
下课了~~~