六年级奥数综合复习
第十五节
和差倍问题
已知条件　　
和差问题 几个数的和与差
和倍问题 几个数的和与倍数差
差倍问题 几个数的差与倍数
　　公式适用范围 已知两个数的和，差，倍数关系
公式
①(和－差)÷2=较小数 较小数＋差=较大数
　　和－较小数=较大数
②(和＋差)÷2=较大数 较大数－差=较小数
和－较大数=较小数
和倍
和÷(倍数＋1)=小数
小数×倍数=大数 和－小数=大数
③差÷(倍数-1)=小数
小数×倍数=大数 小数＋差=大数
2．年龄问题的三个基本特征：
　　①两个人的年龄差是不变的；
　　②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；
　　③两个人的年龄的倍数是发生变化的；
植树问题
基本类型
在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树
棵距×段数=总长 棵数=段数＋1
在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树
　棵距×段数=总长 棵数=段数－1
在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树 封闭曲线上植树
棵距×段数=总长 棵数=段数
关键问题 确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系。
鸡兔同笼问题
基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；
　　基本思路：
　　①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：
　　②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；
　　③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；
　　④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式：
　　①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）
　　②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）
盈亏问题
基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．
　　基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量．
基本题型：
①一次有余数，另一次不足；
公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差
②当两次都有余数；
公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差
③当两次都不足；
基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差
　　基本特点：对象总量和总的组数是不变的。
　　关键问题：确定对象总量和总的组数。
牛吃草问题
基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。
基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；
　　关键问题：确定两个不变的量。
基本公式：
　　生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；
　　总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；
周期循环与数表规律
周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。
　　周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
　　关键问题：确定循环周期。
　　闰 年：一年有366天；
　　①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除；
　　平 年：一年有365天。
　　①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；
平均数
基本公式：①平均数=总数量÷总份数
　　总数量=平均数×总份数
　　总份数=总数量÷平均数
　　②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数
基本算法：
　　①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算.
　　②基准数法：根据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式②。
抽屉原理
　　抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。
　　例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：
　　①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1
　　观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。
抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有一个抽屉至少有:
　　①k=[n/m ]+1个物体：当n不能被m整除时。
　　②k=n/m个物体：当n能被m整除时。
　　理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数。
　　例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；
　　关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。
定义新运算
基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
　　基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
　　关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
　　注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
　　②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
数列求和
　　等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。
　　基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示；
　　项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示；
　　公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；
　　通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；
　　数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示．
基本公式：通项公式：an = a1+（n－1）d；
　　通项＝首项＋（项数一1) ×公差；
　　数列和公式：sn,= (a1+ an)×n÷2；
　　数列和＝（首项＋末项）×项数÷2；
　　项数公式：n= (an+ a1)÷d＋1；
　　项数=（末项-首项）÷公差＋1；
　　公差公式：d =（an－a1））÷（n－1）；
　　公差=（末项－首项）÷（项数－1）；
　　关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式；
分数与百分数的应用
　　基本概念与性质：
　　分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。
　　分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
　　分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。
　　百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。
　　常用方法：
①逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。
　　②对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。
　　③转化思维方法：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不同的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。
　　④假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。
⑤量不变思维方法：在变化的各个量当中，总有一个量是不变的，不论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：A、分量发生变化，总量不变。B、总量发生变化，但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。
　　⑥替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。
　　⑦同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。
　　⑧浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。
比和比例
比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫比的后项。
　　比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。
　　比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。
　　比例：表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或
比例的性质：两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，ad=bc。
　　正比例：若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB的商不变时），则A与B成正比。
　　反比例：若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍（AB的积不变时），则A与B成反比。
　　比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。
　　按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。
综合行程
基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系.
　　基本公式：路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间
　　关键问题：确定运动过程中的位置和方向。
　　相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）
　　追及问题：追及时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）
行船问题
顺水速度=船速+水速
　　逆水速度=船速-水速
顺水行程=（船速+水速）×顺水时间
　　逆水行程=（船速-水速）×逆水时间
　　静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2
　　水 速=（顺水速度-逆水速度）÷2
流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。
　　过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。
　　主要方法：画线段图法
　　基本题型：已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追及时间）、速度（速度和、速度差）中任意两个量，求第三个量。
工程问题
基本公式：
　　①工作总量=工作效率×工作时间
　　②工作效率=工作总量÷工作时间
　　③工作时间=工作总量÷工作效率
基本思路：
　　①假设工作总量为“1”（和总工作量无关）；
　　②假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数），利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间.
　　关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。
　　经验简评：合久必分，分久必合。
几何面积
基本思路：
　　在一些面积的计算上，不能直接运用公式的情况下，一般需要对图形进行割补，平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规则的图形变为规则的图形进行计算；另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律。
　　常用方法：
　　1. 连辅助线方法
　　2. 利用等底等高的两个三角形面积相等。
3. 大胆假设（有些点的设置题目中说的是任意点，解题时可把任意点设置在特殊位置上）。
　　4. 利用特殊规律
　　①等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。（斜边的平方除以4等于等腰直角三角形的面积）
　　②梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。
　　③圆的面积占外接正方形面积的78.5%。
立体图形
名称 图形 特征 表面积 体积
　　长方体
　　 8个顶点；6个面；相对的面相等；12条棱；相对的棱相等； S=2(ab+ah+bh) V=abh=Sh
　　正方体
   8个顶点；6个面；所有面相等；12条棱；所有棱相等； S=6a2 V=a3
　　圆柱
　　体 上下两底是平行且相等的圆；侧面展开后是长方形； S=S侧+2S底
　　S侧=Ch V=Sh
　　圆锥
　　体 下底是圆；只有一个顶点；l:母线，顶点到底圆周上任意一点的距离； S=S侧+S底
　　S侧=rl V=Sh
时钟问题-快慢表问题
基本思路：
　　1、 按照行程问题中的思维方法解题；
　　2、 不同的表当成速度不同的运动物体；
　　3、 路程的单位是分格（表一周为60分格）；
　　4、 时间是标准表所经过的时间；
　　合理利用行程问题中的比例关系。