专题二：简便计算

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2. .
3. .
4. .
5.
2. 在下面各题的5个数中，选出与其它4个数规律不同的数，并把它划掉，再从括号中选一个适合的数替换.
（1）40，48，56，35，72
（12，32，44，64）

（2）25，75，92，100，125
（50，80，30，45）

（3）24，72，96，57，144
（36，210，66，120）
4.
1+2+1=4
1+2+3+2+1=9
1+2+3+4+3+2+1=16
1+2+3+4+5+4+3+2+1=25
1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1= ____
5. 仔细观察，请根据你的眼力，将第4个图补充完整.
益思精析
类型一：递推、堆积问题
【例1】在计算机程序中，二叉树是一种表示数据结构的方法，如图，一层二叉的结点总数为1；二层二叉树的结点总树为3，三层二叉树的结点总数为7；四层二叉树的结点总数为15；照此规律，第七层二叉树的结点数为 .
【变式1.1】木材加工厂堆放木料的方式如下图所示：
请问第30堆木料有 ________ 根.
【变式1.2】小伟搭积木，开始时用2块积木搭拼（第1步），然后用更多的积木块完全包围原来的积木（第2步），如下图反映的是前3步的图案，当第10步结束后组成图案的积木块结束后组成图案的积木块数为 ____ .
类型二：递推中的规律问题
【例2】下图是一个树形图的生长过程，依据图中所示的生长规律，第10行的实心圆点的个数是多少？
【变式2.1】如图，根据图（1）、（2）、
（3）的规律，判断图（4）中的三角形的个数是多少？
类型三：数阵中的归纳问题
【例3】下面是一个按照某种规律排列的数阵，根据你猜想的规律，2012应该排在多少行？在该行上从左到右数的第几个数？
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
类型四：台阶问题
【例4】学校一段楼梯共有8级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶，从地面到最上面一级台阶，一共可以有多少种不同的迈法？
【变式4】小虎每天到思齐学校都要上一段楼梯，他每步可上1阶或2阶或3阶，这样上到第13阶但不踏到第7阶和第11阶，那么，不同的上法共多少种？
类型五：数字规律问题
【例5】观察各题中的变化规律，然后填上各题中所缺的数.
【变式5.1】按下面（1）、（2）图中数的变化规律，在（3）、（4）图的空格里填数.
【变式5.2】观察下面各题中的变化规律， 然后填空.
练习
1. 在空的○内填上适当的数.
2. 观察下图中数的变化规律，然后填出题中缺少的数.
3. 观察下列各数组成的“三角阵”，第十行左起的第5个数是什么数？
六年级奥数上 第12讲 找规律 例1.
的积中有多少个奇数字，

多少个偶数字？
思路分析：如此大的因数，不可能按一般方法列竖式去乘，一定存在着某些规律，使问题得到简化。
我们可以从“简单”入手去寻找规律：
不难发现：积中有数字1、0、8、9，其中1和8的个数相同，比左边因数中1的个数少1，积中0和9只有1个。

所以
积中有700个奇数字，有700个偶数字。
例2. 一个数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5……，那么1997第1次出现在第几项？
思路分析：这个数列中1有1个，2有2个，3有3个，4有4个，……，1996就有1996个。
1~1996这些自然数中一共的个数是：
利用等差数列求和公式：
可得
说明1996这个自然数结束后，这个数列中已有1993006个数，1997第1次出现在它后面，所以1997第1次出现在第1993007项。
例3. 计算
思路分析：
……
根据这个规律，把原式拆分后，再利用加、减抵消的方法进行简算。
例4. 已知最简分数可以表示成：
试说明分子m是1993的倍数。
思路分析：此题所有加数的分母是个自然数列，调整一下写，可以是
从这个结果看，无论括号中的结果是一个什么样的分数，根据分数乘以整数的计算法则，知道积的分子m一定是质数1993的倍数。
例5. 在一个圆周上标出一些数，第一次先把圆周二等分，在两个分点旁分别标上 和 ，如图（1）。第二次把两段半圆弧二等分，在分点旁标上相邻两分点所标两数的和，如图（2） ，。第三次把4段圆弧再二等分，并在4个分点旁标上相邻两分点旁所标两数的和，如图（3）， 。如此继续下去，当第八次标完数之后，圆周上所有已标的数的总和是多少？
思路分析：第一次等分和是
第二次等分和是
第三次等分后，和是
第四次等分，……
各次总和分别是
每一次总和都是上一次的3倍，因此和是一个公比是3的等比数列。
例6. 如下图
虚线框中的9个数的和恰好是162，请你像这样用一个长方形框出9个数，其和恰好是1998，其中最大的数是多少？
思路分析：
作业：1. 把自然数中的偶数2，4，6，8……依次排成5列（如下面所示），把最左边的一列叫做第一列。 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 2 4 6 8 16 14 12 10 18 20 22 24 32 30 28 26问：数“1986”出现在第几列？
所以1986出现在第2列。