第七讲 行程问题
因为还没有学习分数的运算，故删去了部分内容
行程问题中的基本数量关系
速度=路程÷时间
1、路程=速度×时间
时间=路程÷速度

2、相遇：总路程=速度和×时间
3、追及：路程差=速度差×时间
行程问题的解题思路
1、掌握基本的数量关系
2、认真审题，明白题意，借助线段图分析题中的数量关系
3、依据数量关系，正确解答相向、背向和追及问题
4、解答行程问题最有效、最直接的方法就是用线段图来表达题意，图要画的清晰、成比例，
5、在解决问题时，首先应分清是相遇问题、还是追及问题，若既有相遇又有追及问题，应当将问题分为几个层次，弄清相互关系，逐层考虑，然后再根据公式进行解答
复习和回顾一（相遇问题）
1、甲乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行，已知，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米。如果两人出发后2小时相遇，求A、B两地的距离。
解：根据 速度和×相遇时间＝总路程
可得：（6＋4）×2＝10×2＝20 （千米）
答：AB两地的距离是20千米。
复习和回顾一（相遇问题）
3、甲乙二人分别从相距30千米的A、B两地出发，相向而行，已知，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米。
（1）如果甲先出发2小时，那么，两人在乙出发后几小时相遇？
（2）如果乙先出发2小时，那么，两人在甲出发后几小时相遇？
一 、简单的相遇问题
例1、甲乙两人分别从两地出发，相向而行，距离是5千米。甲每小时走4千米，乙每小时走6千米，乙带有一只小狗，小狗每小时跑10千米。甲、乙和小狗同时出发，小狗遇到甲时就掉头往回跑，遇到乙又往甲这边跑，直到两人相遇，问小狗一共跑了多少千米路？
一、简单的相遇问题
分析：这是一道典型的相遇问题，
其中的数量关系有：总路程=速度和×时间
小狗的路程=小狗的速度×相遇的时间
解：两人从出发到相遇用的时间是
5÷（4+6）=0.5（小时）
小狗走的路程是
10×0.5=5（千米）
答：小狗一共走了5千米。
简单的相遇问题，会车问题
练习：一列慢车车身长120米，车速是每秒15米；一列快车车身长132米，车速是每秒30米。两列火车相向行驶，从相遇到完全分离需要多少秒？
我们看动画来分析一下：
两车相遇又分离，所行的路程和是车长的和，速度和是车速的和，
需要的时间=车长和÷速度和
慢车路程
快车路程
过桥过涵洞
一列长230米的火车，每秒钟行30米，完全通过一座长5800米的大桥，需多长时间？
你能自己画出线段图吗？
开始
过完
总路程
车长
桥长
过桥时路程=桥长＋车长
过桥时间=（桥长车长）÷车速
课后练习
1、甲、乙两车分别同时从A、B两地出发，相向而行，甲车每小时行55千米，乙车每小时行45 千米，两车在距离中点25千米处相遇。求AB两地相距多少千米？
A
B
中点
相遇点
25千米
由图可有看出：
相遇时甲车比乙车多行驶25×2＝50千米。
二、简单的追及问题
例2、练习册24页第9题：一列慢车车身长120米，车速是每秒15米；一列快车车身长132米，车速是每秒30米。慢车在前面行驶，快车与它同向行驶，从后面追上它到完全超过需要多少秒？
分析：从线段图上可以看出，后面追上它到完全超过快车多走的路程是（快车+慢车的车长）
1、晶晶每天早上步行上学，如果每分钟走60米，就要迟到5分钟，如果每分钟走75米，则可以提前2分钟，求晶晶到学校的路程
解：晶晶计划的上学时间是
路程差 ÷ 时间差 ＝ 时间
（60×5＋75×2）÷（75－60）
＝450 ÷15 ＝30（分钟）
60×（30－5）1500（米）
答：晶晶到学校的路程是1500米。
60×5
75×2
上学时间的路程差
四、有趣的环形跑道
环形跑道中的路程关系
背向而行相遇时：
（两人的路程和等于跑道的长）
即：速度和×相遇时间=跑道一圈的长度
同向而行相遇时：
（两人的路程差等于跑道的长）
即：速度差×相遇时间=跑道一圈的长度
例3、学校操场的环形跑道一圈长400米，甲在这里练习骑自行车，乙在这里练习长跑。一旁的丙同学发现，当两人同向而行时，3分20秒相遇一次，当他们背向而行时，40秒就能相遇一次。求甲乙二人的速度各是多少？
解：3分20秒＝200秒
背向而行时，甲乙的速度和是
400÷40＝10（米/秒）
同向而行时，甲乙的速度差是
400÷200＝2（米/秒）
这是一个和差问题，以下就简单了，你能完成吗？
引入参数法（分析问题时，可以假设出一个需要的数量来解决）
例4、环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每12分钟相遇一次；如果两人速度不变，其中一人改成按逆时针方向跑，每隔4分钟相遇一次。问两人各跑一圈需要多少分钟？
分析；这里，路程和速度都不知道，因此，可以设出路程，例如设环形跑道的长是1200米。就转化为前面的问题了
三、综合运用举例 （分层次考虑的问题）
例5、（课本例2）
甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，丙每分钟走40米。甲从A地，乙和丙从B地同时出发相向而行，甲和乙相遇后，过了15分钟，又和丙相遇。求A、B两地的距离
A
D
C
E
B
甲
乙
丙
15分钟
乙
丙
甲
解（1）甲和乙相遇时乙比丙多走的路程也就是甲和丙15分钟的相遇路程
（60+40）×15=1500 （米）
（2）乙和丙的速度差是
50－40=10 （米/分钟）
（3）甲乙相遇时间是
1500÷10=150 （分钟）
（4）A、B两地间的距离是
（60+50）×150=16500（米）=16.5（千米）
答：A、B两地间的距离是16.5千米
例6（课本例5）、甲乙二人分别从A、B两地同时出发，如果同向而行，甲26分钟赶上乙；如果二人相向而行，6分钟可以相遇，又已知乙每分钟走50米，求A、B两地的距离。
D
C
甲26分钟的路程
乙6分钟
甲6分钟的路程
你能看出，C、D间的路程是乙走了多少分钟、甲又是走了多少分钟吗？
两地间的路程怎样算？
（设参数法
例7 、甲、乙、丙三人进行200米赛跑，当甲到终点时，乙离终点还有20米，丙离终点还有25米，如果三人的速度都不变，那么当乙到达终点时，丙离终点还有多远？
解：设甲跑完200米用了40秒，则乙的速度是（20020）404.5 （米/秒）
本课小结
1、掌握基本的数量关系
2、认真审题，明白题意，借助线段图分析题中的数量关系
3、在解决问题时，首先应分清是相遇问题、还是追及问题，若既有相遇又有追击问题，应当将问题分为几个层次，弄清相互关系，逐层考虑，然后再根据公式进行解答
1、晶晶每天早上步行上学，如果每分钟走60米，就要迟到5分钟，如果每分钟走75米，则可以提前2分钟，求晶晶到学校的路程
60×5
75×2
上学时间的路程差
2、一辆汽车和一辆摩托车分别同时从相距800千米的两地出发，相向而行，汽车每小时行45千米，摩托车每小时行65千米，6小时后，两车相距多少千米？
解：两车6小时的路程和是
（45＋65）×6
＝110×6
＝660（千米）＜800（千米）
所以，这时两车相距800－660＝140（千米）
3、甲乙两车分别从A、B两地同时出发，如果两车相向而行，4小时相遇；如果同向而行，甲车20小时追上乙车，已知，乙车每小时行40千米，求A、B两地的距离。
参考课本例5或者单击 例4
4、小容和小华在周长为600米的场地玩，两人从同一点出发，同向而行30分钟又走到一起，背向而行，4分钟相遇。问两人每分钟各走多少米？（小容快）
解：同向而行时，小容与小华的速度差是
600÷30＝20（米/分钟）
背向而行时，小容与小华的速度和是
600÷4＝150（米/分钟）
所以，小容每分钟走（150＋20）÷2＝85（米）
小华每分钟走（150－20）÷2＝65（米）
6、小轿车，面包车和大客车的速度分别是60千米/时、48千米/时和42千米/时，小轿车和大客车从甲地，面包车从乙地同时出发，相向而行，面包车遇到小轿车后30分钟又遇到大客车，问：甲乙两地相距多远？（像不像书上的例2）
（分层次考虑的问题）
6、小轿车，面包车和大客车的速度分别是60千米/时、48千米/时和42千米/时，小轿车和大客车从甲地，面包车从乙地同时出发，相向而行，面包车遇到小轿车后30分钟又遇到大客车，问：甲乙两地相距多远？（像不像书上的例2）
乙地
D
C
E
甲地
面包车
小轿车
大客车
30分钟
乙
解（1）面包车和小轿车相遇时小轿车比大客车多走的路程也就是面包车与大客车30分钟（0.5小时）的相遇路程
（48+42）×0.5=45 （千米）
（2）小轿车与大客车的速度差是
60－42=18 （千米/小时）
（3）甲乙相遇时间是
45÷18=2.5 （小时）
（4）A、B两地间的距离是
（60+48）×2.5=270（千米）
答：A、B两地间的距离是270千米
7、甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米，甲车从A地、乙车从B地同时出发，相向而行，两车相遇后，4.5小时，甲车道德B地。A、B两地相距多少千米？（你能画出线段图吗？）
甲车4.5小时的路程
40×4.5＝180千米
乙车相遇时的路程
乙车需要行几小时？
甲车相遇时的路程
第8题的线段图，你能看懂吗？
甲车6分钟的路程
1000×6＝6000 米
乙车8分钟的路程800×8＝6400 米
2分钟
2分钟
丙车10分钟的路程
你能求出长跑者2分钟的路程和他的速度吗？
第11题的线段图：
60×5
80×5
爸爸追上小明需要多少分钟？爸爸一个走了多少分钟？
5分钟时
追及时
复习和回顾一（相遇问题）
2、甲乙二人分别从相距30千米的A、B两地同时出发，相向而行，已知，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米。
（1）两人出发后几小时相遇？
（2）相遇时，甲比乙多走了几千米？
（3）如果点C是A、B的中点，相遇时甲已经过了点C多少千米？
复习回顾二（追及问题）
1、A、B两地相距20千米，甲乙两辆汽车分别从A、B两地同时出发，同向而行，甲车在乙车后面；如果甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是50千米/小时。
（1）出发几小时后甲车可以追上乙车？
（2）追上乙车时，甲车行驶的路程是多少千米？