长方形、正方形的面积
五年级奥数—第4讲
公式：长方形面积=长×宽 正方形面积=边长×边长
在平时的学习过程中，我们常常会遇到一些已知条件比较隐蔽、图形比较复杂、不能简单地用公式直接求出面积的题目。这就需要我们切实掌握有关概念，利用“割补”、“平移”、“旋转”等方法，使复杂的问题转化为普通的求长方形、正方形面积的问题，从而正确解答。
王牌例题1
已知大正方形比小正方形边长多2厘米，大正方形比小正方形的面积大40平方厘米。求大、小正方形的面积各是多少平方厘米？
分析与解
从图中可以看出，大正方形的面积比小正方形的面积大出的40平方厘米，可以分成三部分，其中A和B的面积相等。因此，用40平方厘米减去阴影部分的面积，再除以2就能得到长方形A和B的面积，再用A或B的面积除以2就是小正方形的边长。求到了小正方形的边长，计算大、小正方形的面积就非常简单了。
（40-2×2）÷2 ÷ 2=9（厘米 ）
9×9=81（平方厘米）
9+2=11（厘米）
11×11=121（平方厘米）
练习1
一.有一块长方形草地，长20米，宽15米。在它的四周向外筑一条宽2米的小路，求小路的面积。
24+2+2=24(厘米）
24x2x2=96（平方厘米）
15x2x2=60（平方厘米）
96+60=156（平方厘米）
二.正方形的一组对边增加30厘米，另一组对边减少18厘米，结果得到一个与原正方形面积相等的长方形。原正方形的面积是多少平方厘米？
30x18=540(平方厘米)
540 ÷ （30-18）
=540 ÷12
=45(厘米)
45x45=2025(平方厘米)
解：设原正方形的边长为x厘米,
则由题意得: (x+30)*(x-18)= x^2
x^2+30x-18x-30x18= x^2
12x-540=0
12x=540
x=45
所以 原正方形的面积S=45x45=2025（平方厘米）
三.把一个长方形的长增加5分米，宽增加8分米后，得到一个面积比原长方形多181平方分米的正方形。求这个正方形的边长是多少分米？
（181+8x5）÷（5+8）
=（181+40）÷13
=221÷13
=17（分米）
王牌例题2
一个大长方形被两条平行于它的两条边的线段分成四个较小的长方形，其中三个长方形的面积如下图所求，求第四个长方形的面积。
因为AE×CE=6，DE×EB=35，
把两个式子相乘AE×CE×DE×EB=35×6
，而CE×EB=14，
所以AE×DE=35×6÷14=15。
方法2：这样一个长方形被两条线分成四个长方形，两组对着的两个小长方形相乘相等：6×35=14×？
则？=6×35÷14=15
练习2 ： 练习 2
一.下图一个长方形被分成四个小长方形，其中三个长方形的面积分别是24平方厘米、30平方厘米和32平方厘米，求阴影部分的面积。
32x30÷24
=960÷24
=40（平方厘米）
二.下面一个长方形被分成六个小长方 形，其中四个长方形的面积如图所示（单位：平方厘米），求A和B的面积。
15x24÷45
=360÷45
=8（平方厘米）
12x24÷8
=288÷8
=36（平方厘米）
三.下图中阴影部分是边长5厘米的正方形，四块完全一样的长方形的宽是8厘米，求整个图形的面积。
边长：5+8+8=21（厘米）
面积：21x21=441（平方厘米）
王牌例题3
把20分米长的线段分成两段，并且在每一段上作一正方形，已知两个正方形的面积相差40平方分米，大正方形的面积是多少平方分米？
【思路导航】我们可以把小正方形移至大正方形里面进行分析。两个正方形的面积差40平方分米就是图中的A和B两部分，如图。如果把B移到原来小正方形的上面，不难看出，A和B正好组成一个长方形，此长方形的面积是40平方分米，长20分米，宽是40÷20=2（分米），即大、小两个正方形的边长相差2分米。因此，大正方形的边长就是
（20+2）÷2=11（分米），面积是11×11=121（平方分米）。
练习3
1.一块正方形，一边划出1.5米，另一边划出10米搞绿化，
剩下的面积比原来减少了1350平方米。这块地原来的面
积是多少平方米？
（1350+15x10) ÷（15+10）
=（1350+150）÷25
=1500÷25
=60（米）
60x60=3600(平方米）
2.一个正方形，如果它的边长增加5厘米，那么，面积就比原来增加95平方厘米。原来正方形的面积是多少平方厘米？
（95-5x5）÷（5+5）
=（95-25）÷10
=70÷10
=10（厘米）
10x10=100（平方厘米）
3.有一个正方形草坪，沿草坪四周向外修建一米宽的小路，路面面积是80平方米。求草坪的面积。
（80-1x1x4）÷4÷1
=（80-4）÷4÷1
=76÷4
=19（米）
19x19=361（平方厘米）
王牌例题4
有一个正方形ABCD如下图，请把这个正方形的面积扩大1倍，并画出来。
【思路导航】由于不知道正方形的边长和面积，所以，也没有办法计算出所画正方形的边长或面积。我们可以利用两个正方形之间的关系进行分析。以正方形的四条边为准，分别作出4个等腰直角三角形，如图中虚线部分，显然，虚线表示的正方形的面积就是原正方形面积的2倍。
练习4
1.四个完全一样的长方形和一个小正方形组成了一个大正方形，如果大、小正方形的面积分别是49平方米和4平方米，求其中一个长方形的宽。
（7-2）÷2
=5÷2
=2.5（米）
2.正图的每条边都垂直于与它相邻的边，并且28条边的长都相等。如果此图的周长是56厘米，那么，这个图形的面积是多少？
2x2=4（平方厘米）
4x25=100（平方厘米）
3.正图中，正方形ABCD的边长4厘米，求长方形EFGD的面积。
三角形AGD =ADxDC÷2
=正方形ABCD÷2
三角形AGD=GDxED÷2
=长方形EFGD ÷2
4x4=16（平方厘米）
王牌例题5
一个长方形如果宽不变，长增加6米，面积就增加30平方米；如果长不变，宽增加3米，面积就增加24平方米，这个长方形原来有多少平方米？
【思路导航】根据“宽不变，长增加6米，面积就增加30平方米”可以求出宽是30÷6=5(米) ，根据“长不变，宽增加3米，面积就增加24平方米”可以求出长是 24÷3=8（米）。这个长方形原来的面积就是 5×8=40（平方米）
1.有一个周长是72厘米的正方形，它是由四个大小相等的小正方形拼成的。一个小正方形的面积是多少平方厘米？
72÷8=9（厘米）
9x9=81（平方厘米）
2.学校操场长220米，宽80米，平整后长减少了10米，宽增加了10米，平整后操场的面积比原来面积大还是小？
220x80=17600（平方厘米）
（220-10）x（80+10）
=210x90
=18900(平方厘米）
3.有一张长方形纸，长12厘米，宽10厘米。从这张纸上剪下一个最大的正方形后，剩下部分的面积是多少平方厘米？
12x10-10x10
=120-100
=20（平方厘米）