小学数学
容斥原理
容斥原理
在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
容斥原理（第一讲）
一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？
数学 语文
15 4 12
数学和语文

数学
语文
15
12
4
得满分的同学
这个班至少有一门得满分是什么意思？
数学得满分
只有数学得满分
两种都得满分
<
语文得满分
<
只有语文得满分
}
得满分的学生
方法一：（15-4）+4（12-4）=23（人）
方法二：15+（12-4）=23（人）
方法三：（15-4）+12=23（人）
方法四：15+12-4=23（人）
方法一、二、三是
分块计数的方法；方法
四不考虑重复，先相加，再去重。
容斥原理一
上题中语文满分人数是12，数学满分人数是15，一门满分的人数应该是27，但我们重复计算了语文数学都是满分人数4，所以应该减去4，答案就是23

结论：（公式一）
如果被计数的事物有A、B两类，那么，
A类或B类事物个数= A类事物个数+ B类事物 个数—既是A类又是B类的事物个数。
某班学生每人家里至少有空调和电脑两种电器中的一种，已知家中有空调的有41人，有电脑的有34人，二者都有的有27人，这个班有学生多少人？


41 27 34
试一试：
41+34-27=48（人）
一个班有45名学生，订阅《小学生数学报》的有15人，订阅《今日少年报》的有10人，两种报纸都订阅的有6人。
（1）订阅报纸的总人数是多少？

15 6 10
（2）两种报纸都没订阅的有多少人？
容斥原理
15+10-6=19人
45-19=26人
在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？不能被3或5整除的数共有多少个？
能被3整除的个数：
1000÷3=333个···1
能被5整除的个数：
1000÷5=200个
能被3和5整除的个数：
1000÷15=66个···10
所以根据容斥原理，能被3或5整除的数共有：
333+200-66=467个
不能被3或5整除的个数：
1000-467=533个
试一试：
某校选出50名学生参加区作文比赛和数学竞赛，作文比赛获奖的有16人，数学比赛获奖的有12人，有5人两项比赛都获奖了。
（1）共有多少人获奖？
16+12-5=23人
（2）两项比赛都没获奖的有多少人？
50-23=27人
试一试：
习题
1、四（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加航模小组，有19个人两个小组都参加了，那么，有多少人两个小组都没有参加？

2、有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语，问既懂英语又懂俄语的有多少人？
25+23+19=29人 40-29=11人
100-10=90人 75+83=158人 158-90=68人
3、在一次数学测验中，所有同学都答了第1、2两题，其中答对第1题的有35人，答对第2题的有28人，这两题都答对的有20人，没有人两题都答错。一共有多少人参加了这次数学测验？

4、一个俱乐部里，会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人，都会下的有30人。这个俱乐部里有多少人？
35+28-20=42人
69+52-30=91人 91+12=103人
5、全班有50人，不会骑车的有23人，不会滑旱冰的有35人，两样都会的有5人。问：两样都不会的有多少人？

6、六年级（2）班有48名学生，其中会骑自行车的有27个，会游泳的有18人，既会骑自行车又会游泳的有10人。问两样都不会的有多少人？
50-5=45人 23+35-45=15人
27+18-10=35人 48-35=13人
容斥原理（第二讲）
某校六（1）班，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有34人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有18人，排球、游泳都参加的有14人，三项都参加的有8人，这个班有多少人？
足球 排球



游泳
A+B+C+D+E+F+G=六（1）班人数
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
只参加足球训练
只参加游泳训练
只参加排球训练
既参加足球又参加游泳
既参加足球又参加排球
既参加游泳又参加排球
三种都参加
共七块
↓
A+D+E+G=25 D+G=18
B+D+F+G=34 F+G=14
C+E+F+G=22 E+G=12
（A+D+E+G）＋（B＋D＋F＋G）＋（C＋E+F+G）-（D＋G）－（F＋G）－（E＋Ｇ）
↓
↓
↓
↓
↓
↓
２５
３４
２２
１８
１４
１２
＋
＋
－
－
－
＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ
＝６块（去重时把G去完了）
再加上三种都参加的G
２５＋３４＋２２－１８－１４－１２＋８
＝这个班人数
结论（公式二）
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类或B类或C类事物个数= A类事物个数+ B类事物个数+C类事物个数—既是A类又是B类的事物个数—既是A类又是C类的事物个数—既是B类又是C类的事物个数+既是A类又是B类而且是C类的事物个数。
例1：设某班每名学生都要选修至少一种外语，其中选修英语的学生人数为25，选修法语的学生人数为18，选修德语的学生人数为20，同时选修英语和法语的学生人数为8，同时选修英语和德语的学生人数为13 ，同时选修法语和德语的学生人数为6，而同时选修上述三种外语的学生人数则为3，问该班共有多少名学生？
25+18+20-8-13-6+3=39人
例2、在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的没有，只要汽水和雪碧的有1人；三样都要的有1人。问：共有几个小朋友去了冷饮店？
6+6+4-（3+1）-（0+1）-（1+1）+1=10人
分析与解：根据题意画图。
例3. 某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文小组有10人。老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，求既参加英语又参加数学小组的人数。
分析与解：根据已知条件画出图。
三圆盖住的总体为49人，假设既参加数学又参加英语的有x人，既参加语文又参加英语的有y人，可以列出这样的方程： 整理后得： 由于x、y均为质数，因而这两个质数中必有一个偶质数2，另一个质数为7。
答：既参加英语又参加数学小组的为2人或7人。
例5. 某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科满分者8人，数学、语文两科满分者7人，语文、英语两科满分者9人，三科都没得满分者3人。问这个班最多多少人？最少多少人？
分析与解：根据题意画图。
设三科都得满分者为x
全班人数
整理后：全班人数＝39＋x
39+x表示全班人数，当x取最大值时，全班人数就最多，当x取最小值时，全班人数就最少。x是数学、语文、英语三科都得满分的同学，因而x中的人数一定不超过两科得满分的人数，即 且 ，由此我们得到 ，另一方面x最小可能是0，即没有三科都得满分的。
当x取最大值7时，全班有 人，当x取最小值0时，全班有39人。
答：这个班最多有46人，最少有39人。
试一试
1. 某班45名同学参加体育测试，其中百米得优者20人，跳远得优者18人，又知百米、跳远都得优者7人，跳高、百米得优者6人，跳高、跳远均得优者8人，跳高得优者22人，全班只有1名同学各项都没达优秀，求三项都是优秀的人数。
45-1=44 20+18+22-6-7-8=39 44-39=5人
2. 某班四年级时，五年级时和六年级时分别评出10名三好学生，又知四、五年级连续三好生4人，五、六年级连续三好生3人，四年级、六年级两年评上三好生的有5人，四、五、六三年没评过三好生的有20人，问这个班最多有多少名同学，最少有多少名同学？
设三年连续三好生人数为x人
全班人数=10×3-5-4-3+X+20
因为x应该小于等于3，所以x最大是3，最 小是0
所以这个班最多有41名同学，最少有38名同学