第十六章 二次根式导学案
二次根式(1)
一、学习目标
1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
3、掌握二次根式的基本性质：和
二、学习重点、难点
重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质．
难点：综合运用性质和。
三、学习过程
（一）复习回顾：
（1）已知，那么是的_____;是的____, 记为____,一定是____数。
（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =______；正数的算术平方根为_____，0的算术平方根为____；式子的意义是 。
（二）自主学习
(1)的平方根是 ；
(2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t(单位：秒)与开始下落时的高度h(单位：米)满足关系式。如果用含h的式子表示t，则t= ；
(3)圆的面积为S，则圆的半径是 ；
(4)正方形的面积为，则边长为 。
思考：， ，,等式子的实际意义.说一说他们的共同特征.
定义: 一般地我们把形如（）叫做二次根式，叫做______。 。
1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
，，，，，
2、当为正数时指的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数才有算术平方根。所以，在二次根式中，字母必须满足 , 才有意义。
3、根据算术平方根意义计算 ：
(1) (2) （3） （4）
根据计算结果，你能得出结论： ，其中,
4、由公式，我们可以得到公式= ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。
如()2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=()2.
练习：(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式：
6 0.35
(2)在实数范围内因式分解
4a-11
（三）合作探究
例：当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？
解：由，得
当时，在实数范围内有意义。
练习：1、取何值时，下列各二次根式有意义？
① ② ③
2、（1）若有意义，则a的值为___________．
（2）若 在实数范围内有意义，则为（ ）。
A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数
3、(1)在式子中，的取值范围是____________.
(2)已知+＝0，则_____________.
(3)已知,则= _____________。
（四）达标测试
(一)填空题：
1、
2、若，那么= ，= 。
3、当x= 时，代数式有最小值，其最小值是 。
4、在实数范围内因式分解：
（1）( )2=（x+ ）(y- )
（2）( )2=（x+ ）(y- )
（二）选择题：
1、一个数的算术平方根是a，比这个数大3的数为（ ）
A、 B、 C、 D、
2、二次根式中，字母a的取值范围是（ ）
A、 a＜l B、a≤1 C、a≥1 D、a＞1
2、已知则x的值为
A、 x>-3 B、x<-3 C、x=-3 D、 x的值不能确定
3、下列计算中，不正确的是 （ ）。
A、3= B、 0.5= C、 D、
二次根式(2)
一、学习目标
1、掌握二次根式的基本性质：
2、能利用上述性质对二次根式进行化简.
二、学习重点、难点
重点：二次根式的性质．
难点：综合运用性质进行化简和计算。
三、学习过程
（一）复习引入：
（1）什么是二次根式，它有哪些性质？
（2）二次根式有意义，则x 。
（3）在实数范围内因式分解：( )2=（x+ ）(y- )
（二）自主学习
1、计算：
观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当
2、计算：
观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当
3、计算： 当
（三）合作交流
1、归纳总结：
2、化简下列各式：
（1）、 （2）、
（3）、 （4）、= （）
3、讨论二次根式的性质与有什么区别与联系。
（四）巩固练习
化简下列各式：（1） (2)
（3） （4）（x＜-2）
注：利用可将二次根式被开方数中的完全平方式“开方”出来，达到化简的目的，进行化简的关键是准确确定“a”的取值。
（五）达标测试：
A组
1、填空：（1）、-=_________. （2）、=
（3）a、b、c为三角形的三条边，则 ________.
2、已知2＜x＜3，化简：
B组
3 已知0＜x＜1，化简：－
4 边长为a的正方形桌面，正中间有一个边长为的
正方形方孔．若沿图中虚线锯开，可以拼成一个新的
正方形桌面．你会拼吗？试求出新的正方形边长．
5、把的根号外的适当变形后移入根号内，得（ ）
A、B、 C、 D、
6、 若二次根式有意义，化简│x-4│-│7-x│。
二次根式的乘法
一、学习目标
理解·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简
二、学习重点、难点
重点： 掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。
难点： 正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质化简二次根式。
三、学习过程
（一）复习引入
1．填空：（1）×=____，=____； ×__
（2）×=____，=___； ×__
（二）、探索新知
交流总结规律：一般地，对二次根式的乘法规定为
·＝．（a≥0，b≥0 反过来: =·（a≥0，b≥0）
例1、计算
（1）× （2）× （3）3×2 （4）·
例2、化简
（1） （2） （3） （4） （5）
巩固练习
（1）计算： ① × ②5×2 ③·
（2）化简: ; ; ; ;
（三）、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展
判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：
（1）
（2）×=4××=4×=4=8
（四）展示反馈
展示学习成果后，讨论：对于×的运算中不必把它变成 后再进行计算，你有什么好办法？
注：1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作为积的系数，被开方数之积为被开方数。
2、化简二次根式达到的要求：
（1）被开方数进行因数或因式分解。 （2）分解后把能开尽方的开出来。
（五）达标测试：
A组
1、选择题
（1）等式成立的条件是（ ）
A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1
（2）二次根式的计算结果是（ ）
A．2 B．-2 C．6 D．12
2、化简：
（1）； （2）；
3、计算：
（1）； （2）；
B组
1、选择题
若，则=（ ）
A．4 B．2 C．-2 D．1
2、计算：（1）6×（-2）； （2）；
3、不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号内。
(1) -3 (2)
二次根式的除法
一、学习目标
1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。
2、能熟练进行二次根式的除法运算及化简。
二、学习重点、难点
重点： 掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。
难点： 正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质化简二次根式。
三、学习过程
（一）复习回顾
1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质
2、计算： （1）3×（-4） （2）
3、填空： （1）=____，=____； 规律： ______；
（2）=____，=____； ______；
一般地，对二次根式的除法规定：
=（a≥0，b>0）反过来，=（a≥0，b>0）
（二）、巩固练习
1、计算：（1） （2） （3） （4）
2、化简：
（1） （2） （3） （4）
注：1、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数，被开方数之商为被开方数。
2、化简二次根式达到的要求：
（1）被开方数不含分母； （2）分母中不含有二次根式。
（三）拓展延伸
，
数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。
利用上述方法化简：
(1) =____ （２）=____(３) =___ (４) =__
（四）达标测试：
A组
1、选择题
（1）计算的结果是（ ）．
A． B． C． D．
（2）化简的结果是（ ）
A．- B．- C．- D．-
2、计算：
（1） （2） （3） （4）
B组
用两种方法计算：
（1） （2）
最简二次根式
一、学习目标
1、理解最简二次根式的概念。
2、把二次根式化成最简二次根式．
3、熟练进行二次根式的乘除混合运算。
二、学习重点、难点
重点：最简二次根式的运用。
难点：会判断二次根式是否是最简二次根式和二次根式的乘除混合运算。
三、学习过程
（一）复习回顾
1、化简（1）= （2）=
（3） = (4）= （5）=
2、结合上题的计算结果，回顾前两节中利用积、商的算术平方根的性质化简二次根式达到的要求是什么？
（二）自主学习
观察上面计算1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：
1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
2、化简:
(1) (2) (3) (4)
（三）合作交流
1、计算：
2、比较下列数的大小
（1）与 （2）
注：1、常见的是运用积、商的算术平方根的性质和分母有理化。
2、判断是否为最简二次根式的两条标准：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中所有因数或因式的幂的指数都小于2．
（四）拓展延伸
观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：
，，
同理可得： =，……
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算
（……+）（）的值．
（五）达标测试：
1、选择题
（1）如果（y>0）是二次根式，化为最简二次根式是（ ）．
A．（y>0） B．（y>0） C．（y>0） D．以上都不对
（2）化简二次根式的结果是
A、 B、- C、 D、-
2、填空：
（1）化简=_________．（x≥0）
（2）已知，则的值等于__________.
3、计算：
（1） (2)
4、计算： （a>0,b>0）
5、若x、y为实数，且y=，求的值。
二次根式的加减学案(1)
学习内容：
同类二次根式 二次根式的加减
学习目标：
1、理解同类二次根式，并能判定哪些是同类二次根式
2、理解和掌握二次根式加减的方法．
3、先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．
学习重点、难点
1、重点：二次根式化简为最简根式．
2、难点：会判定是否是最简二次根式．
学习过程
自主学习
（一）、复习引入
计算．（1）；（2）；（3）；（4）
（二）、探索新知
学生活动：计算下列各式．
（1）2+3 = （2）2-3+5 =
（3）+2+3 = （4）3-2+=
由此可见，二次根式的被开方数相同也是可以合并的，如2与表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？也可以．（与整数中同类项的意义相类似我们把与，、与这样的几个二次根式，称为同类二次根式）
3+=3+2=5 3+=3+3=6
所以，二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行合并．
例1．计算 （1）+ （2）+
例2．计算（1）3-9+3 （ 2）（+）+（-）
归纳： 第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；
第二步，将相同的最简二次根式进行合并．
二、巩固练习
(1) (2)
(3) （4）
三、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展
例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值．
四、课堂检测
（一）、选择题
1．以下二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（ ）．
A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④
2．下列各式：①3+3=6；②=1；③+==2；④=2，其中错误的有（ ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
3．在下列各组根式中，是同类二次根式的是( )
(A)和 (B)和 (C)和 (D)和
4．下列各式的计算中，成立的是( )
(A) (B) (C) (D)
5．若则的值为( )
(A)2 (B)－2 (C) (D)
二、填空题
1．在、、、、、3、-2中，与是同类二次根式的有________．
2．计算二次根式5-3-7+9的最后结果是________．
3．若最简二次根式与是同类二次根式，则x＝______．
4．若最简二次根式与是同类二次根式，则a＝____，b＝____．
5．计算：（1）
三、综合提高题
先化简，再求值．，其中x=，y=27．
二次根式的混合运算
一、学习目标
熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算。
二、学习重点、难点
重点：熟练进行二次根式的混合运算。
难点：混合运算的顺序、乘法公式的综合运用。
三、学习过程
（一）复习回顾：
1、填空
（1）整式混合运算的顺序是： 。
（2）二次根式的乘除法法则是： 。
（3）二次根式的加减法法则是： 。
（4）写出已经学过的乘法公式：
① ②
2、计算：
（1）·· （2） （3）
（二）合作交流
1、探究计算：
（1）（）× （2）
2、探究计算：
（1） （2）
（三）展示反馈
计算： （1） （2）
注：整式的运算法则和乘法公式中的字母意义非常广泛，可以是单项式、多项式，也可以代表二次根式，所以整式的运算法则和乘法公式适用于二次根式的运算。
（四）拓展延伸
观察：
反之，
∴
∴ =-1
仿上例，求：（1）；
（2）你会算吗？
（3）若，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．
（六）达标测试：
A组
1、计算：
（1） （2）
（3）（a>0,b>0）
2、已知，求的值。
B组
1、计算：（1） （2）
《二次根式》复习
一、学习目标
1、了解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件和性质。
2、熟练进行二次根式的乘除法运算。
3、理解同类二次根式的定义，熟练进行二次根式的加减法运算和化简。
二、学习重点、难点
重点：二次根式的计算和化简。
难点：二次根式的混合运算，正确依据相关性质化简二次根式。
三、复习过程
（一）自主复习
1．若a＞0，a的平方根可表示为________，a的算术平方根可表示________
2．当a______时，有意义，当a______时，没有意义。
3．
4．
5．
（二）合作交流，展示反馈
1、式子成立的条件是什么?
2、计算： (1) (2)
3．计算：(1) (2)
（三）精讲点拨
在二次根式的计算、化简及求值等问题中，常运用以下几个式子：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（四）达标测试：
1、选择题：
（1）化简的结果是（ ）
A 5 B -5 C 士5 D 25
（2）代数式中，x的取值范围是（ ）
A B C D
（3）化简的结果是（ ）
2、计算．
(1) (2) (3)
3、已知求的值
第十七章 勾股定理
课题：17.1 勾股定理（1）
学习目标：
1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
学习重点：勾股定理的内容及证明。
学习难点：勾股定理的证明。
学习过程：
一、自主学习
画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。（勾3，股4，弦5）。
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。
你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42_____52，52+122_____132，那么就有_____2+_____2=_____2。(用勾、股、弦填空)，对于任意的直角三角形也有这个性质吗？
勾股定理内容
文字表述：___几何表述：___
二、交流展示
例1、已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为 a、b、c。求证：a2＋b2=c2。
分析：⑴准备多个三角形模型，利用面积相等进行证明。
⑵拼成如课本图所示，其等量关系为：4S△+S小正=S大正
即4×× ＋﹝ ﹞2＝c2,化简可证。
例2已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：a2＋b2=c2。
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
左边S=_____________
右边S=_____________
左边和右边面积相等，即
_________________________
化简可得
_______________________
三、合作探究
1．已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则
⑴c= 。（已知a、b，求c）
⑵a= 。（已知b、c，求a）
⑶b= 。（已知a、c，求b）
2．如下表，表中所给的每行的三个数a、b、c，有a＜b＜c，试根据表中已有数的规律，写出当a=19时，b，c的值，并把b、c用含a的代数式表示出来。
3、4、5
32+42=52
5、12、13
52+122=132
7、24、25
72+242=252
9、40、41
92+402=412
……
……
19，b、c
192+b2=c2
3．△ABC的三边a、b、c，
（1）若满足b2= a2＋c2，则 =90°；
（2）若满足b2＞c2＋a2，则∠B是 角；
（3）若满足b2＜c2＋a2，则∠B是 角。
四、达标测试
1．一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是 ( )
2．斜边长为25 B．三角形的周长为25 C．斜边长为5 D．三角形面积为20
3．一直角三角形的斜边长比一条直角边长多2，另一直角边长为6，则斜边长为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
4．直角三角形的两直角边的长分别是5和12，则其斜边上的高的长为（ ）
A．6 B．8 C． D．
5、已知，如图1-1-5，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求CF CE
课题：17.1 勾股定理（2）
教学目标：
1．会用勾股定理进行简单的计算。
2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。
重难点：
1．重点：勾股定理的简单计算。
2．难点：勾股定理的灵活运用。
一、自主学习
1．勾股定理的具体内容是：
2．如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）
⑴两锐角之间的关系： ；
⑵若D为斜边中点，则斜边中线与斜边的关系： ；
⑶若∠B=30°，则∠B的对边和斜边的关系： ；
⑷三边之间的关系： 。
二、交流展示
例1、在Rt△ABC，∠C=90°
⑴已知a=b=5,求c。 ⑵已知a=1,c=2, 求b。 ⑶已知c=17,b=8, 求a。
⑷已知a：b=1：2,c=5, 求a。 ⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c。
分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。
⑴已知_________边，求________边,直接用_______定理。⑵⑶已知_____边和_______边，求__________边，用勾股定理的变形式。⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。
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