《第17章 勾股定理》
　
一、填空
1．命题：“如果a=0，那么ab=0”的逆命题是　　；命题内错角相等，两直线平行”的逆命题是　　．
2．测得一块三角形花坛的三边长分別为1.5m，2m，2.5m，则这个花坛的面积为　　m2．
3．如图所示的一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，这块地的面积为　　．


4．△ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm．则AC=　　cm．
　
二、选择题
5．下列命题：
①如果a、b、c为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是勾股数；
②如果直角三角形的两边是3，4，那么斜边必是5；
③如果一个三角形的三边是12，25，21，那么此三角形必是直角三角形；
④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a＞b=c），那么a2：b2：c2=2：1：1．
其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
　
三、解答题
6．一种机器零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？请说明理由．


7．如图，在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，D是BC的中点，求AD的长和△ABD的面积．


8．一艘轮船以16海里/时的速度离开港口（如图），向北偏东40°方向航行，另一艘轮船在同时以12海里/时的速度向北偏西一定的角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里（即BA=30），问另一艘轮船的航行的方向是北偏西多少度？


9．如图所示，已知等腰三角形ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm，求△ABC的周长．


　

《第17章 勾股定理》
参考答案与试题解析
　
一、填空
1．命题：“如果a=0，那么ab=0”的逆命题是　如果ab=0，那么a=0　；命题内错角相等，两直线平行”的逆命题是　两直线平行，内错角相等　．
【考点】命题与定理．
【分析】将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题．
【解答】解：“如果a=0，那么ab=0”的逆命题是如果ab=0，那么a=0；
内错角相等，两直线平行”的逆命题是两直线平行，内错角相等，
故答案：如果ab=0，那么a=0；两直线平行，内错角相等．
【点评】考查学生对逆命题的定义的理解及运用，分清原命题的题设和结论是解答本题的关键．
　
2．测得一块三角形花坛的三边长分別为1.5m，2m，2.5m，则这个花坛的面积为　1.5　m2．
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出三角形花坛的形状，再根据三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：∵1.52+22=6.25=2.52，
∴三角形花坛的三边正好构成直角三角形，
∴这个花坛的面积=
×1.5×2=1.5m2．
故答案为：1.5．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
　
3．如图所示的一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，这块地的面积为　24m2　．


【考点】勾股定理的应用．
【分析】连接AC，利用勾股定理可以得出三角形ACD和ABC是直角三角形，△ABC的面积减去△ACD的面积就是所求的面积．
【解答】解：如图，连接AC
由勾股定理可知
AC=
=
=5，
又AC2+BC2=52+122=132=AB2
故三角形ABC是直角三角形
故所求面积=△ABC的面积﹣△ACD的面积=

=24（m2）．


【点评】考查了直角三角形面积公式以及勾股定理的应用．
　
4．△ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm．则AC=　13　cm．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【分析】根据已知及勾股定理的逆定理可得△ABD，△ADC是直角三角形，从而不难求得AC的长．
【解答】解：∵D是BC的中点，BC=10cm，
∴DC=BD=5cm，
∵BD2+AD2=144+25=169，AB2=169，
∴BD2+AD2=AB2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°
∴△ADC也是直角三角形，且AC是斜边
∴AC2=AD2+DC2=AB2
∴AC=13cm．
故答案为：13．


【点评】本题考查了勾股定理的应用和直角三角形的判定．
　
二、选择题（共1小题，每小题3分，满分3分）
5．下列命题：
①如果a、b、c为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是勾股数；
②如果直角三角形的两边是3，4，那么斜边必是5；
③如果一个三角形的三边是12，25，21，那么此三角形必是直角三角形；
④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a＞b=c），那么a2：b2：c2=2：1：1．
其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
【考点】勾股定理的逆定理；勾股数．
【分析】本题主要依据勾股定理的逆定理，判定三角形是否为直角三角形．
【解答】解：①正确，∵a2+b2=c2，∴（4a）2+（4b）2=（4c）2，
②错误，应为“如果直角三角形的两直角边是3，4，那么斜边必是5”
③错误，∵122+212≠252，∴不是直角三角形；
④正确，∵b=c，c2+b2=2b2=a2，∴a2：b2：c2=2：1：1，
故选C．
【点评】此题主要考查勾股定理的逆定理，直角三角形的判定等知识点的综合运用．
　
三、解答题
6．一种机器零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？请说明理由．


【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】几何图形问题．
【分析】根据勾股定理的逆定理，判断出△ABD、△BDC的形状，从而判断这个零件是否符合要求．
【解答】解：∵AD=12，AB=9，DC=17，BC=8，BD=15，
∴AB2+AD2=BD2，
BD2+BC2=DC2．
∴△ABD、△BDC是直角三角形．
∴∠A=90°，∠DBC=90°．
故这个零件符合要求．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理判断△ABD、△BDC的形状．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
　
7．如图，在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，D是BC的中点，求AD的长和△ABD的面积．


【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】几何图形问题．
【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，根据中点的定义得到CD的长，根据勾股定理可求出AD的长，再利用三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：∵在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，
132=52+122，
∴AB2=AC2+CB2，
∴△ABC是直角三角形，
∵D是BC的中点，
∴CD=BD=6，
∴在Rt△ACD中，AD=
，
∴△ABD的面积=
×BD×AC=15．
【点评】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，能根据勾股定理的逆定理判断出△ABD的形状是解答此题的关键．
　
8．一艘轮船以16海里/时的速度离开港口（如图），向北偏东40°方向航行，另一艘轮船在同时以12海里/时的速度向北偏西一定的角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里（即BA=30），问另一艘轮船的航行的方向是北偏西多少度？


【考点】勾股定理的应用；方向角．
【专题】探究型．
【分析】先根据题意得出OA及OB的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△OAB的形状，进而可得出结论．
【解答】解：由题意可知，OA=16+16×
=24（海里），OB=12+12×
=18（海里），AB=30海里，
∵242+182=302，即OA2+OB2=AB2，
∴△OAB是直角三角形，
∵∠AOD=40°，
∴∠BOD=90°﹣40°=50°，即另一艘轮船的航行的方向是北偏西50度．


【点评】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意判断出△AOB是直角三角形是解答此题的关键．
　
9．如图所示，已知等腰三角形ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm，求△ABC的周长．


【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．
【分析】先判断CD⊥AB，在Rt△ACD中，利用勾股定理求出x，得出AC，继而可得出△ABC的周长．
【解答】解：在△BCD中，BC=20cm，CD=16cm，BD=12cm，
∵BD2+DC2=BC2，
∴△BCD中是直角三角形，∠BDC=90°，
设AD=x，则AC=x+12，
在Rt△ADC中，∵AC2=AD2+DC2，
∴x2+162=（x+12）2，
解得：
．
∴△ABC的周长为：（
 +12）×2+20=
cm．
【点评】本题考查了勾股定理的知识，解答本题的关键是利用勾股定理求出AD的长度，得出腰的长度，难度一般．