第十六章 二次根式导学案
二次根式(1)
一、学习目标
1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
3、掌握二次根式的基本性质：
和

二、学习重点、难点
重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质．
难点：综合运用性质
和
。
三、学习过程
（一）复习回顾：
（1）已知
，那么
是
的______;
是
的________, 记为______,
一定是_______数。
（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；正数
的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子
的意义是 。
（二）自主学习
(1)
的平方根是 ；
(2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t(单位：秒)与开始下落时的高度h(单位：米)满足关系式
。如果用含h的式子表示t，则t= ；
(3)圆的面积为S，则圆的半径是 ；
(4)正方形的面积为
，则边长为 。
思考：
，
，
,
等式子的实际意义.说一说他们的共同特征.
定义: 一般地我们把形如
（
）叫做二次根式，
叫做_____________。
。
1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？

，
，
，
，
，

2、当
为正数时
指
的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数
才有算术平方根。所以，在二次根式
中，字母
必须满足 ,
才有意义。
3、根据算术平方根意义计算 ：
(1)
　　(2) 　 （3）
　（4）

根据计算结果，你能得出结论： ，其中
,
4、由公式
，我们可以得到公式
=
,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。
如(
)2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=(
)2.
练习：(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式：
6  0.35
(2)在实数范围内因式分解

4a
-11
（三）合作探究
例：当x是怎样的实数时，
在实数范围内有意义？
解：由
，得


当
时，
在实数范围内有意义。
练习：1、
取何值时，下列各二次根式有意义？
①
　　　　　②
　　 ③　　　　　
2、（1）若
有意义，则a的值为___________．
（2）若 在实数范围内有意义，则
为（ ）。
A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数
3、(1)在式子
中，
的取值范围是____________.
(2)已知
+
＝0，则
_____________.
(3)已知
,则
= _____________。
（四）达标测试
(一)填空题：
1、

2、若
，那么
= ，
= 。
3、当x= 时，代数式
有最小值，其最小值是 。
4、在实数范围内因式分解：
（1）
( )2=（x+ ）(y- )（2）
( )2=（x+ ）(y- )
（二）选择题：
1、一个数的算术平方根是a，比这个数大3的数为（ ）
A、
B、
C、
D、

2、二次根式
中，字母a的取值范围是（ ）
A、 a＜l B、a≤1 C、a≥1 D、a＞1
2、已知
则x的值为
A、 x>-3 B、x<-3 C、x=-3 D、 x的值不能确定
3、下列计算中，不正确的是 （ ）。
A、3=
B、 0.5=
C、
D、

课后记：
二次根式(2)
一、学习目标
1、掌握二次根式的基本性质：
2、能利用上述性质对二次根式进行化简.
二、学习重点、难点
重点：二次根式的性质
． 难点：综合运用性质
进行化简和计算。
三、学习过程
（一）复习引入：
（1）什么是二次根式，它有哪些性质？
（2）二次根式
有意义，则x 。
（3）在实数范围内因式分解：
( )2=（x+ ）(y- )
（二）自主学习
1、计算：





观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当

2、计算：





观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当

3、计算：

当

（三）合作交流
1、归纳总结
将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：


2、化简下列各式：
（1）、
（2）、
（3）、
（4）、
= （
）
3、请大家思考、讨论二次根式的性质
与
有什么区别与联系。
（四）巩固练习
化简下列各式
（1）
(2)
（3）
（4）
（x＜-2）
注：利用
可将二次根式被开方数中的完全平方式“开方”出来，达到化简的目的，进行化简的关键是准确确定“a”的取值。
（五）达标测试：
A组
1、填空：（1）、
-

=_________. （2）、
=
（3）a、b、c为三角形的三条边，则
________.
2、已知2＜x＜3，化简：

B组
3 已知0＜x＜1，化简：
－

4 边长为a的正方形桌面，正中间有一个边长为
的正方形方孔．若沿图中虚线锯开，可以拼成一个新的正方形桌面．你会拼吗？试求出新的正方形边长．
5、把
的根号外的
适当变形后移入根号内，得（ ）
A、
B、
C、
D、

6、 若二次根式
有意义，化简│x-4│-│7-x│。
课后记：

二次根式的乘除法
二次根式的乘法
一、学习目标
理解
·
＝
（a≥0，b≥0），
=
·
（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简
二、学习重点、难点
重点： 掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。
难点： 正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。
三、学习过程
（一）复习引入
1．填空：（1）
×
=____，
=____；
×
__

（2）
×
=____，
=___；
×
__

（3）
×
=___，
=___．
×
__

（二）、探索新知
1、 学生交流活动总结规律．
2、一般地，对二次根式的乘法规定为

·
＝
．（a≥0，b≥0 反过来:
=
·
（a≥0，b≥0）
例1、计算
（1）
×
（2）
×
（3）3
×2
（4）
·

例2、化简
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）

巩固练习
（1）计算： ①
×
②5
×2
③
·

（2）化简:
;
;
;
;

（三）、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展
判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：
（1）

（2）
×
=4×
×
=4
×
=4
=8

（四）展示反馈
展示学习成果后，请大家讨论：对于
×
的运算中不必把它变成
后再进行计算，你有什么好办法？
注：1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作为积的系数，被开方数之积为被开方数。
2、化简二次根式达到的要求：
（1）被开方数进行因数或因式分解。 （2）分解后把能开尽方的开出来。
（五）达标测试：
A组
1、选择题
（1）等式
成立的条件是（ ）
A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1
（2）下列各等式成立的是（ ）．
A．4
×2
=8
B．5
×4
=20

C．4
×3
=7
D．5
×4
=20

（3）二次根式
的计算结果是（ ）
A．2
B．-2
C．6 D．12
2、化简：
（1）
； （2）
；

3、计算：
（1）
； （2）
；
B组
1、选择题
（1）若
，则
=（ ）
A．4 B．2 C．-2 D．1
（2）下列各式的计算中，不正确的是（ ）
A．
=（-2）×（-4）=8
B．
C．

D．

2、计算：（1）6
×（-2
）； （2）
；
3、不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号内。
(1) -3
(2)


课后记：
二次根式的除法
一、学习目标
1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。
2、能熟练进行二次根式的除法运算及化简。
二、学习重点、难点
重点： 掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。
难点： 正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根式的化简。
三、学习过程
（一）复习回顾
1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质

2、计算： （1）3
×（-4
） （2）

3、填空： （1）
=____，
=____； 规律：
______
；
（2）
=____，
=____；
______
；
（3）
=____，
=____；
_______
；
（4）
=____，
=___．
_______
．
一般地，对二次根式的除法规定：

=
（a≥0，b>0）反过来，
=
（a≥0，b>0）
下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．
（二）、巩固练习
1、计算：（1）
（2）
（3）
（4）


2、化简：
（1）
（2）
（3）
（4）

注：1、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数，被开方数之商为被开方数。
2、化简二次根式达到的要求：
（1）被开方数不含分母； （2）分母中不含有二次根式。
（三）拓展延伸
阅读下列运算过程：

，

数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。
利用上述方法化简：
(1)
=_________ （２）
=_________(３)
=_____ ___ (４)
=___ ___
（四）达标测试：
A组
1、选择题
（1）计算
的结果是（ ）．
A．

B．
C．
D．

（2）化简
的结果是（ ）
A．-
B．-
C．-
D．-

2、计算：
（1）
（2）
（3）
（4）


B组
用两种方法计算：
（1）
（2）

课后记：
最简二次根式
一、学习目标
1、理解最简二次根式的概念。
2、把二次根式化成最简二次根式．
3、熟练进行二次根式的乘除混合运算。
二、学习重点、难点
重点：最简二次根式的运用。
难点：会判断二次根式是否是最简二次根式和二次根式的乘除混合运算。
三、学习过程
（一）复习回顾
1、化简（1）
= （2）
=
（3）
= (4）
= （5）
=
2、结合上题的计算结果，回顾前两节中利用积、商的算术平方根的性质化简二次根式达到的要求是什么？
（二）自主学习
观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：
1．被开方数不含分母；
2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
2、化简:
(1)
(2)
(3)
(4)


（三）合作交流
1、计算：


2、比较下列数的大小
（1）
与
（2）


注：1、化简二次根式的方法有多种，比较常见的是运用积、商的算术平方根的性质和分母有理化。
2、判断是否为最简二次根式的两条标准：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中所有因数或因式的幂的指数都小于2．
（四）拓展延伸
观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：

，
，
同理可得：
=
，……
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算
（
……+
）（
）的值．
（五）达标测试：
1、选择题
（1）如果
（y>0）是二次根式，化为最简二次根式是（ ）．
A．
（y>0） B．
（y>0） C．
（y>0） D．以上都不对
（2）化简二次根式
的结果是
A、
B、-
C、
D、-

2、填空：
（1）化简
=_________．（x≥0）
（2）已知
，则
的值等于__________.
3、计算：
（1）
(2)


4、计算：
（a>0,b>0）
5、若x、y为实数，且y=
，求
的值。

课后记：

二次根式的加减学案(1)
学习内容：
同类二次根式 二次根式的加减
学习目标：
1、理解同类二次根式，并能判定哪些是同类二次根式
2、理解和掌握二次根式加减的方法．
3、先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．
学习重点、难点
1、重点：二次根式化简为最简根式．
2、难点：会判定是否是最简二次根式．
学习过程
自主学习
（一）、复习引入
计算．（1）
；（2）
；（3）
；（4）

（二）、探索新知
学生活动：计算下列各式．
（1）2
+3
= （2）2
-3
+5
=
（3）
+2
+3
= （4）3
-2
+
=
由此可见，二次根式的被开方数相同也是可以合并的，如2
与
表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？也可以．（与整数中同类项的意义相类似我们把
与
，
、
与
这样的几个二次根式，称为同类二次根式）
3
+
=3
+2
=5
3
+
=3
+3
=6

所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行合并．
例1．计算 （1）
+
（2）
+

例2．计算（1）3
-9
+3
（ 2）（
+
）+（
-
）
归纳： 第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；
第二步，将相同的最简二次根式进行合并．
二、巩固练习
(1)
(2)

(3)
（4）


三、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展
例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（
+y2
）-（x2
-5x
）的值．

四、课堂检测
（一）、选择题
1．以下二次根式：①
；②
；③
；④
中，与
是同类二次根式的是（ ）．
A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④
2．下列各式：①3
+3=6
；②

=1；③
+
=
=2
；④
=2
，其中错误的有（ ）． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
3．在下列各组根式中，是同类二次根式的是( )
(A)
和
(B)
和
(C)
和
(D)
和

4．下列各式的计算中，成立的是( )
(A)
(B)
(C)
(D)

5．若
则
的值为( )
(A)2 (B)－2 (C)
(D)

二、填空题
1．在
、
、
、
、
、3
、-2
中，与
是同类二次根式的有________．
2．计算二次根式5
-3
-7
+9
的最后结果是________．
3．若最简二次根式
与
是同类二次根式，则x＝______．
4．若最简二次根式
与
是同类二次根式，则a＝______，b＝______．
5．计算：
（1）
（2）


三、综合提高题
先化简，再求值．
，其中x=
，y=27．

课后记：

二次根式的混合运算
一、学习目标
熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算。
二、学习重点、难点
重点：熟练进行二次根式的混合运算。
难点：混合运算的顺序、乘法公式的综合运用。
三、学习过程
（一）复习回顾：
1、填空
（1）整式混合运算的顺序是： 。
（2）二次根式的乘除法法则是： 。
（3）二次根式的加减法法则是： 。
（4）写出已经学过的乘法公式：
① ②
2、计算：
（1）
·
·
（2）
（3）


（二）合作交流
1、探究计算：
（1）（
）×
（2）


2、探究计算：
（1）
（2）


（三）展示反馈
计算： （1）
（2）


（3）
（4）（
-
）（-
-
）

注：整式的运算法则和乘法公式中的字母意义非常广泛，可以是单项式、多项式，也可以代表二次根式，所以整式的运算法则和乘法公式适用于二次根式的运算。
（四）拓展延伸
同学们，我们以前学过完全平方公式
，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（
）2，5=（
）2，下面我们观察：


反之，

∴

∴
=
-1
仿上例，求：（1）；

（2）你会算
吗？

（3）若
，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．

（六）达标测试：
A组
1、计算：
（1）
（2）

（3）
（a>0,b>0） （4）


2、已知
，求
的值。

B组
1、计算：（1）
（2）

课后记：

《二次根式》复习
一、学习目标
1、了解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件和性质。
2、熟练进行二次根式的乘除法运算。
3、理解同类二次根式的定义，熟练进行二次根式的加减法运算。
4、了解最简二次根式的定义，能运用相关性质进行化简二次根式。
二、学习重点、难点
重点：二次根式的计算和化简。
难点：二次根式的混合运算，正确依据相关性质化简二次根式。
三、复习过程
（一）自主复习
1．若a＞0，a的平方根可表示为___________
a的算术平方根可表示________
2．当a______时，
有意义，
当a______时，
没有意义。
3．


4．

5．

（二）合作交流，展示反馈
1、式子
成立的条件是什么?

2、计算： (1)
(2)


3．计算：(1)
(2)

（三）精讲点拨
在二次根式的计算、化简及求值等问题中，常运用以下几个式子：
（1）

（2）

（3）

（4）

（5）


（四）达标测试：
A组
1、选择题：
（1）化简
的结果是（ ）
A 5 B -5 C 士5 D 25
（2）代数式
中，x的取值范围是（ ）
A
B
C
D

（3）下列各运算，正确的是（ ）
A、
B、

C、
D、

（4）如果
是二次根式，化为最简二次根式是（ ）
A、
B、
C、
D、以上都不对
（5）化简
的结果是（ ）


2、计算．
(1)
(2)



(3)
(4)

3、已知
求
的值
B组
1、选择：
（1）
，则（ ）
A a,b互为相反数 B a,b互为倒数 C
D a=b
（2）在下列各式中，化简正确的是（ ）
A、
B、
C、
D、

（3）把
中根号外的
移人根号内得（ ）


2、计算：
（1）
（2）

（3）

3、归纳与猜想：观察下列各式及其验证过程：


(1)按上述两个等式及其验证过程的基本思路，
猜想
的变化结果并进行验证．
(2)针对上述各式反映的规律，写出n(n为任意自然数，且n≥2)表示的等式并进行验证．