八年级下册第17章《勾股定理》单元测试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（　　）
　 A． 4 B． 8 C． 10 D． 12

分析： 利用勾股定理即可解答．
解答： 解：设斜边长为x，则一直角边长为x﹣2，
根据勾股定理列出方程：62+（x﹣2）2=x2，
解得x=10，
故选C．
点评： 本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力．
　
2．（3分）小丰的妈妈买了一部29英寸（74cm）的电视机，下列对29英寸的说法中正确的是（　　）
　 A． 小丰认为指的是屏幕的长度
　 B． 小丰的妈妈认为指的是屏幕的宽度
　 C． 小丰的爸爸认为指的是屏幕的周长
　 D． 售货员认为指的是屏幕对角线的长度

考点： 勾股定理的应用．
分析： 根据电视机的习惯表示方法解答．
解答： 解：根据29英寸指的是荧屏对角线的长度可知售货员的说法是正确的．
故选D．
点评： 本题考查了勾股定理的应用，解题时了解一个常识：通常所说的电视机的英寸指的是荧屏对角线的长度．
　
3．（3分）如图中字母A所代表的正方形的面积为（　　）


　 A． 4 B． 8 C． 16 D． 64

考点： 勾股定理．
分析： 根据勾股定理的几何意义解答．
解答： 解：根据勾股定理以及正方形的面积公式知：
以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，
所以A=289﹣225=64．
故选D．
点评： 能够运用勾股定理发现并证明结论：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．运用结论可以迅速解题，节省时间．
　
4．（3分）将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（　　）
　 A． 钝角三角形 B． 锐角三角形 C． 直角三角形 D． 等腰三角形

考点： 相似三角形的性质．
分析： 根据三组对应边的比相等的三角形相似，依据相似三角形的性质就可以求解．
解答： 解：将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形与原三角形相似，因而得到的三角形是直角三角形．
故选C．
点评： 本题主要考查相似三角形的判定以及性质．
　
5．（3分）一直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边与斜边长的和是49cm，则斜边的长（　　）
　 A． 18cm B． 20cm C． 24cm D． 25cm

考点： 勾股定理．
分析： 设另一条直角边是a，斜边是c．根据另一条直角边与斜边长的和是49cm，以及勾股定理就可以列出方程组，即可求解．
解答： 解：设另一条直角边是a，斜边是c．根据题意，得
，联立解方程组，得
．故选D．
点评： 注意根据已知条件结合勾股定理列方程求解．解方程组的方法可以把①方程代入②方程得到c﹣a=1，再联立解方程组．
　
6．（3分）适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（　　）
①a=
，b=
，c=
②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④a=7，b=24，c=25 ⑤a=2，b=2，c=4
　 A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个

考点： 勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
分析： 计算出三角形的角利用定义判定或在知道边的情况下利用勾股定理的逆定理判定则可．
解答： 解：①
，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故不是；
②a=6，∠A=45不是成为直角三角形的必要条件，故不是；
③∠A=32°，∠B=58°则第三个角度数是90°，故是；
④72+242=252，根据勾股定理的逆定理是直角三角形，故是；
⑤22+22≠42，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故不是．
故选A．
点评： 本题考查了直角三角形的定义和勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
　
7．（3分）在△ABC中，若a=n2﹣1，b=2n，c=n2+1，则△ABC是（　　）
　 A． 锐角三角形 B． 钝角三角形 C． 等腰三角形 D． 直角三角形

考点： 勾股定理的逆定理；完全平方公式．
分析： 根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
解答： 解：∵（n2﹣1）2+（2n）2=（n2+1）2，
∴三角形为直角三角形，
故选D．
点评： 本题利用了勾股定理的逆定理判定直角三角形，即已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．
　
8．（3分）直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍，这个三角形有一个锐角是（　　）
　 A． 15° B． 30° C． 45° D． 60°

考点： 勾股定理．
分析： 根据斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍，以及勾股定理可以列出两个关系式，直接解答即可．
解答： 解：设直角三角形的两直角边是a、b，斜边是c．
根据斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍得到：2ab=c2，根据勾股定理得到：a2+b2=c2，因而a2+b2=2ab，
即：a2+b2﹣2ab=0，（a﹣b）2=0
∴a=b，则这个三角形是等腰直角三角形，
因而这个三角形的锐角是45°．
故选C．
点评： 已知直角三角形的边长问题，不要忘记三边的长，满足勾股定理．
　
9．（3分）已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　）


　 A． 3cm2 B． 4cm2 C． 6cm2 D． 12cm2

考点： 勾股定理；翻折变换（折叠问题）．
分析： 根据折叠的条件可得：BE=DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．
解答： 解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE=ED．
∵AD=9cm=AE+DE=AE+BE．
∴BE=9﹣AE，
根据勾股定理可知AB2+AE2=BE2．
解得AE=4．
∴△ABE的面积为3×4÷2=6．故选C．
点评： 本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
　
10．（3分）已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（　　）


　 A． 25海里 B． 30海里 C． 35海里 D． 40海里

考点： 勾股定理的应用；方向角．
分析： 根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了32，24．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．
解答： 解：
∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴∠BAC=90°，
两小时后，两艘船分别行驶了16×2=32，12×2=24海里，
根据勾股定理得：
=40（海里）．
故选D．


点评： 熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．
　
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．（3分）（2008•湖州）利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为　勾股定理　，该定理的结论其数学表达式是　a2+b2=c2　．



考点： 勾股定理的证明．
专题： 证明题．
分析： 通过图中三角形面积、正方形面积之间的关系，证明勾股定理．
解答： 解：用图（2）较简单，
如图正方形的面积=（a+b）2，
用三角形的面积与边长为c的正方形的面积表示为4×
ab+c2，
即（a+b）2=4×
ab+c2化简得a2+b2=c2．
这个定理称为 勾股定理．
故答案为：勾股定理、a2+b2=c2．
点评： 本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．
　
12．（3分）如图，等腰△ABC的底边BC为16，底边上的高AD为6，则腰长AB的长为　10　．



考点： 勾股定理；等腰三角形的性质．
分析： 根据等腰三角形的三线合一得BD=8，再根据勾股定理即可求出AB的长．
解答： 解：∵等腰△ABC的底边BC为16，底边上的高AD为6，
∴BD=8，AB=
=
=10．
点评： 注意等腰三角形的三线合一，熟练运用勾股定理．
　
13．（3分）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，求该河流的宽度为　480　m．



考点： 勾股定理的应用．
专题： 应用题．
分析： 从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答．
解答： 解：根据图中数据，运用勾股定理求得AB=
=
=480米．
点评： 考查了勾股定理的应用，是实际问题但比较简单．
　
14．（3分）小华和小红都从同一点O出发，小华向北走了9米到A点，小红向东走了12米到了B点，则AB为　15　米．

考点： 勾股定理的应用．
专题： 应用题．
分析： 根据题意画出图形根据勾股定理解答．
解答： 解：如图，在Rt△AOB中，∠O=90°，AO=9m，OB=12m，
根据勾股定理得AB=
=
=
=15m．


点评： 本题很简单，只要根据题意画出图形即可解答，体现了数形结合的思想．
　
15．（3分）一个三角形三边满足（a+b）2﹣c2=2ab，则这个三角形是　直角　三角形．

考点： 勾股定理的逆定理．
分析： 化简等式，可得a2+b2=c2，由勾股定理逆定理，进而可得其为直角三角形．
解答： 解：（a+b）2﹣c2=2ab，即a2+b2+2ab﹣c2=2ab，所以a2+b2=c2，
则这个三角形为直角三角形．
故答案为：直角．
点评： 考查了勾股定理逆定理的运用，是基础知识比较简单．
　
16．（3分）木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线为68cm，这个桌面　合格　（填”合格”或”不合格”）．

考点： 勾股定理的应用．
分析： 只要算出桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线为68cm是否符合勾股定理即可，根据勾股定理直接解答．
解答： 解：
=
=68cm，故这个桌面合格．
点评： 本题考查的是勾股定理在实际中的应用，需要同学们结合实际掌握勾股定理．
　
17．（3分）直角三角形一直角边为12cm，斜边长为13cm，则它的面积为　30　cm2．

考点： 勾股定理．
分析： 根据勾股定理求得其另一直角边的长，再根据面积公式即可求得其面积．
解答： 解：∵直角三角形一直角边为12cm，斜边长为13cm，
∴另一直角边=
=5cm，
∴面积=
×5×12=30cm2．
点评： 解决本题的关键是根据勾股定理求得另一直角边的长．
　
18．（3分）如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是　25　．



考点： 平面展开-最短路径问题．
分析： 先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
解答： 解：如图所示，
∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为（2+3）×3，
∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，
由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，
解得：x=25．
故答案为25．


点评： 本题考查了平面展开﹣最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
　
三、解答题（共46分）
19．（6分）如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米（先画出示意图，然后再求解）．



考点： 勾股定理的应用．
专题： 应用题．
分析： 根据题意画出图形，构造出直角三角形，利用勾股定理求解．
解答： 解：如图所示，过D点作DE⊥AB，垂足为E
∵AB=13，CD=8
又∵BE=CD，DE=BC
∴AE=AB﹣BE=AB﹣CD=13﹣8=5
∴在Rt△ADE中，DE=BC=12
∴AD2=AE2+DE2=122+52=144+25=169
∴AD=13（负值舍去）
答：小鸟飞行的最短路程为13m．


点评： 本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
　
20．（6分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，求AC2的值．



考点： 勾股定理．
分析： ∵AD⊥BC于D，∴可得到两个直角三角形△ABD和△ADC，可利用勾股定理求得AD长，进而求得AC2的值．
解答： 解：∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB=∠ADC=90°
∵AB=3，BD=2
∴AD2=AB2﹣BD2=5
∵DC=1，
∴AC2=AD2+DC2=5+1=6．
点评： 本题需注意最后求的是AC2，所以在计算过程中都保持线段的平方即可．
　
21．（8分）小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池，已知其面积为48m2，其对角线长为10m，为建栅栏，要计算这个矩形鱼池的周长，你能帮助小明算一算吗？

考点： 勾股定理的应用；二元一次方程组的应用；矩形的性质．
专题： 计算题．
分析： 根据矩形的面积公式得到长与宽的积，再根据勾股定理得到长与宽的平方和．联立解方程组求得长与宽的和可．
解答： 解：设矩形的长是a，宽是b，
根据题意，得：

，
（2）+（1）×2，得（a+b）2=196，即a+b=14，
所以矩形的周长是14×2=28m．
点评： 注意根据题意结合勾股定理联立解方程组，只需求得长与宽的和即可．
　
22．（10分）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．
（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？



考点： 勾股定理的应用．
专题： 应用题．
分析： （1）点到直线的线段中垂线段最短，故应由A点向BF作垂线，垂足为C，若AC＞200则A城不受影响，否则受影响；
（2）点A到直线BF的长为200千米的点有两点，分别设为D、G，则△ADG是等腰三角形，由于AC⊥BF，则C是DG的中点，
在Rt△ADC中，解出CD的长，则可求DG长，在DG长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．
解答： 解：（1）由A点向BF作垂线，垂足为C，
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=320km，则AC=160km，
因为160＜200，所以A城要受台风影响；


（2）设BF上点D，DA=200千米，则还有一点G，有
AG=200千米．
因为DA=AG，所以△ADG是等腰三角形，
因为AC⊥BF，所以AC是DG的垂直平分线，CD=GC，
在Rt△ADC中，DA=200千米，AC=160千米，
由勾股定理得，CD=
=
=120千米，
则DG=2DC=240千米，
遭受台风影响的时间是：t=240÷40=6（小时）．
点评： 此题主要考查辅助线在题目中的应用，勾股定理，点到直线的距离及速度与时间的关系等，较为复杂．
　
四、创新探索题
23．一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是多少？已知长方体的长2cm、宽为1cm、高为4cm．



考点： 平面展开-最短路径问题．
分析： 要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
解答： 解：如图：


根据题意，如上图所示，最短路径有以下三种情况：
（1）沿AA′，A′C′，C′B′，B′B剪开，得图（1）AB′2=AB2+BB′2=（2+1）2+42=25；
（2）沿AC，CC′，C′B′，B′D′，D′A′，A′A剪开，得图（2）AB′2=AC2+B′C2=22+（4+1）2=4+25=29；
（3）沿AD，DD′，B′D′，C′B′，C′A′，AA′剪开，得图（3）AB′2=AD2+B′D2=12+（4+2）2=1+36=37；
综上所述，最短路径应为（1）所示，所以AB′2=25，即AB′=5cm．
点评： 此题考查最短路径问题，将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键，注意不要漏解．