第六节　带电粒子在匀强磁场中的运动
课标定位
学习目标：1.掌握洛伦兹力对带电粒子不做功的特点．
2．掌握带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹．
3．了解回旋加速器的原理．
重点难点：带电粒子在匀强磁场中的受力分析及运动轨迹确定．
一、带电粒子在匀强磁场中的运动
1．运动规律
(1)带电粒子平行于磁场方向射入时，做_________运动．
(2)带电粒子垂直于磁场方向射入时，由于洛伦兹力总与速度方向垂直，起到向心力的作用，所以带电粒子在匀强磁场中做___________运动．
匀速直线
匀速圆周
二、质谱仪
1．原理图：如图3－6－1所示．
图3－6－1
qU
qvB
同位素
三、回旋加速器
1．工作原理
如图3－6－2所示，D1和D2是两个中空的半圆金属盒，它们之间有一定的电势差U，A处的粒子源产生的带电粒子在两盒之间被电场加速．D1、D2处于与盒面垂直的匀强磁场B中，粒子将在磁场中做匀速圆周运动，经半个圆周(半个周期)后，再次到达两盒间的缝隙，控制两盒间电势差，使其恰好改变正负，于是粒子在盒缝间再次被加速，如果粒子每次通过盒间缝隙均能被加速，粒子速度就能够增加到很大．
图3－6－2
不变
思考感悟
回旋加速器上所加的交流电的电压越大，粒子经过D形盒间隙时，电场力做功越多，粒子飞出D形盒的末动能是否也越大？
一、带电粒子在有界磁场中运动的求解方法
　有界匀强磁场是指只在局部空间存在着匀强磁场．带电粒子从磁场区域外垂直磁场方向射入磁场，在磁场区域内经历一段匀速圆周运动，也就是通过一段圆弧轨迹后离开磁场区域．由于带电粒子垂直进入磁场的方向不同，或者由于磁场区域边界不同，造成它在磁场中运动的圆弧轨迹各不相同，图3－6－3举出了沿不同方法垂直进入磁场后的圆弧轨迹的情况．
图3－6－3
正确解决这类问题的前提和关键是：画轨迹、定圆心、连半径、作三角形．
1．确定圆心
(1)已知入射方向和出射方向时，可以作通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心，如图3－6－4甲所示，P为入射点，M为出射点，O为轨道圆心．
图3－6－4
(2)已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心，如图3－6－4乙所示，P为入射点，M为出射点，O为轨道圆心．
(3)两条弦的中垂线：如图3－6－5所示，带电粒子在匀强磁场中分别经过O、A、B三点时，其圆心O′在OA、OB的中垂线的交点上．
图3－6－5　　　　　　图3－6－6
(4)已知入射点、入射方向和圆周的一条切线：如图3－6－6所示，过入射点A做v垂线AO，延长v线与切线CD交于C点，做∠ACD的角平分线交AO于O点，O点即为圆心，求解临界问题常用到此法．
2．求半径
由于已知条件的不同，求半径有两种方法：一是已知物理量(q、m、B、v)利用半径公式求半径，再由图形求其他几何量；二是已知其他几何量利用数学知识求半径，再由半径公式求物理量．
特别提醒：(1)轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，在磁场中运动的时间与周期、偏转角相联系．
(2)粒子速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)，并等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍(如图3－6－7)，即φ＝α＝2θ＝ωt.
图3－6－7
即时应用(即时突破，小试牛刀)
1.在匀强磁场中，一个带电粒子做匀速圆周运动，如果又垂直进入另一磁感应强度是原来磁感应强度2倍的匀强磁场，则(　　)
A．粒子的速率加倍，周期减半
B．粒子速率不变，轨道半径减半
C．粒子的速率减半，轨道半径变为原来的1/4
D．粒子速率不变，周期减半
(2)电场的作用
回旋加速器两个D形盒之间的窄缝区域存在周期性变化的并垂直于两D形盒正对截面的匀强电场，带电粒子经过该区域时被加速．
(3)交变电压
为保证带电粒子每次经过窄缝时都被加速，使之能量不断提高，需在窄缝两侧加上跟带电粒子在D形盒中运动周期相同的交变电压．
即时应用(即时突破，小试牛刀)
2.(2010年德州模拟)1930年劳伦斯制成了世界上第一台回旋加速器，其原理如图3－6－8所示．这台加速器由两个铜质D形盒D1、D2构成，其间留有空隙，下列说法正确的是(　　)
A．离子由加速器的中心附近进入加速器
B．离子由加速器的边缘进入加速器
C．离子从磁场中获得能量
D．离子从电场中获得能量
图3－6－8
解析：选AD.回旋加速器的两个D形盒间隙分布周期性变化的电场，不断地给带电粒子加速使其获得能量；而D形盒处分布有恒定不变的磁场，具有一定速度的带电粒子在D形盒内受到磁场的洛伦兹力提供的向心力而做圆周运动；洛伦兹力不做功故不能使离子获得能量，C错；离子源在回旋加速器的中心附近，所以正确选项为A、D.
三、带电粒子在复合场中的运动规律
1．受力及运动分析
正确分析带电粒子的受力及运动特征是解决问题的前提，带电粒子在复合场中做什么运动，取决于带电粒子所受的合外力及其初始状态的速度，因此应把带电粒子的运动情况和受力情况结合起来进行分析．
(1)当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，做匀速直线运动(如速度选择器)．
(2)当带电粒子所受重力与电场力等大反向，则重力与电场力是一对平衡力，此时洛伦兹力提供向心力，带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动．
(3)当带电粒子所受合外力是变力，且与初速度方向不在一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子的运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线，由于带电粒子可能连续通过几个情况不同的复合场区，因此粒子的运动情况也发生相应的变化，其运动过程可能由几种不同的运动阶段所组成．
2．解决带电粒子在复合场中运动问题的基本思路
(1)当带电粒子在复合场中做匀速直线运动时，可根据平衡条件列方程求解．
(2)当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，往往同时应用牛顿第二定律和平衡条件列方程联立求解．
(3)当带电粒子在复合场中做非匀变速曲线运动时，应用动能定理或能量守恒定律列方程求解．
特别提醒：若带电粒子在磁场中做匀变速直线运动时，有两种可能：
(1)带电粒子不受洛伦兹力．
(2)带电粒子所受的洛伦兹力始终与某一个力平衡．
即时应用(即时突破，小试牛刀)
3.两带电油滴在竖直向上的匀强电场E和垂直纸面向里的匀强磁场B正交的空间做竖直平面内的匀速圆周运动，如图3－6－9所示，则两油滴一定相同的是(　　)
①带电性质　②运动周期　③运动半径　④运动速率
A．①②　　　　　　　　　　　B．①④
C．②③④ D．①③④
图3－6－9
课堂互动讲练
已知氢核与氦核的质量之比m1∶m2＝1∶4，电荷量之比q1∶q2＝1∶2，当氢核与氦核以v1∶v2＝4∶1的速度，垂直于磁场方向射入磁场后，分别做匀速圆周运动，则氢核与氦核半径之比r1∶r2＝________，周期之比T1∶T2＝________.
【思路点拨】　粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，一般情况下，半径公式不要直接使用，特别是做计算题时，应先列出洛伦兹力充当向心力的方程．
【答案】　2∶1　1∶2
【规律总结】　(1)掌握粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径和周期公式是解决此题的关键．
(2)比例法是解物理问题的有效方法之一．使用的程序一般是：根据研究对象的运动过程确定相应的物理规律，根据题意确定运动过程中的恒量，分析剩余物理量之间的函数关系，建立比例式求解．
变式训练1　(2009年高考安徽理综卷)图3－6－10是科学史上一张著名的实验照片，显示一个带电粒子在云室中穿过某种金属板运动的径迹．云室放置在匀强磁场中，磁场方向垂直照片向里．云室中横放的金属板对粒子的运动起阻碍作用．分析此径迹可知粒子(　　)
A．带正电，由下往上运动
B．带正电，由上往下运动
C．带负电，由上往下运动
D．带负电，由下往上运动
图3－6－10
(2)若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B′，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度B′多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？
图3－6－11
【精讲精析】
图3－6－12
【答案】　见精讲精析
【规律总结】　带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的问题，关键是认真审题，挖掘题目中的隐含条件，利用洛伦兹力与v垂直的特点利用几何知识，找到圆心和轨道半径的表达式，然后求解．
变式训练2　如图3－6－13所示，一束电子的电荷量为e，以速度v垂直射入磁感应强度为B、宽度为d的有界匀强磁场中，穿过磁场时的速度方向与原来电子的入射方向的夹角θ是30°，则电子的质量是多少？电子穿过磁场的时间又是多少？
图3－6－13
一磁场宽度为L，磁感应强度为B，如图3－6－14所示，一电荷质量为m，带电荷量为－q，不计重力，以一速度v(方向如图所示)射入磁场．若要粒子不能从磁场右边界飞出，则电荷的速度应为多大？
图3－6－14
【思路点拨】　电荷不从右边界飞出的临界条件是粒子到达右边界时速度方向恰好与边界平行．
【精讲精析】　若要粒子不从右边界飞出，当以最大速度运动时的轨迹如图3－6－15所示．
图3－6－15
【规律总结】　这类问题往往是空间的约束决定着半径，从而控制其他的物理量，故求解物理量的范围，实际上需要求出圆周运动的半径范围，再求其他量．
变式训练3　长为l的水平极板间，有垂直纸面向里的匀强磁场，如图3－6－16所示，磁感应强度为B，板间距离也为l，板不带电，现有质量为m、电荷量为q的正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是(　　)
图3－6－16
(2009年高考天津卷)如图3－6－17所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内，在水平的x轴下方存在匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度为B，方向垂直xOy平面向里，电场线平行于y轴．一质量为m、电荷量为q的带正电的小球，从y轴上的A点水平向右抛出，经x轴上M点进入电场和磁场，恰能做匀速圆周运动，从x轴上的N点第一次离开电场和磁场，MN之间的距离为L，小球过M点时的速度方向与x轴正方向夹角为θ.不计空气阻力，重力加速度为g，求：
(1)电场强度E的大小和方向；
(2)小球从A点抛出时初速度v0的大小；
(3)A点到x轴的高度h.
图3－6－17
图3－6－18
【答案】　见自主解答
【规律总结】　带电小球在竖直平面内做匀速圆周运动的条件是重力与电场力平衡，洛伦兹力提供向心力．正确分解小球的速度，也是解答本题的关键．