2.5等比数列前n项和公式
复习:等比数列 {an}
(1) 等比数列:
(2) 通项公式:
(4) 重要性质:
注:以上 m, n, p, q 均为自然数
引入：印度国际象棋发明者的故事
（西 萨）
引入新课
它是以１为首项公比是２的等比数列，
分析：由于每格的麦粒数都是前一格的２倍，共有64格每格所放的麦粒数依次为：
麦粒的总数为:
请同学们考虑如何求出这个和？
这种求和的方法,就是错位相减法!
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如果1000粒麦粒重为40克，那么这些麦粒的总质量就是7300多亿吨。根据统计资料显示，全世界小麦的年产量约为6亿吨，就是说全世界都要1000多年才能生产这么多小麦，国王无论如何是不能实现发明者的要求的。
如何求等比数列的Sn:
①
②
①—② ，得
错位相减法
2.推导公式的方法：错位相减法。
注意：
等比数列的前n项和表述为：
Sn = a1 + a2 + a3 + …….+ an-1 + an
= a1 + a1q + a1q2 +…..+ a1qn-2 + a1qn-1
= a1+ q ( a1 + a1q + ….+ a1qn-3 + a1qn-2 )
= a1 + q Sn-1 = a1 + q ( Sn – an )
证法二：
借助Sn-an =Sn-1
(一) 用等比定理推导
当 q = 1 时 Sn = n a1
用等比定理：
证法三：
已知
a1 、n、 q时
已知
a1 、an、 q时
等比数列的前n项和公式
知三求二
(1) 等比数列前n项和公式：
等比数列前n项和公式你了解多少？
(2) 等比数列前n项和公式的应用：
1.在使用公式时.注意q的取值是利用公式的前提；
２.在使用公式时，要根据题意，适当选择公式。
利用“错位相减法”推导
(3) 两个等比数列前n项和公式中任知其三可以求其二：
例1、求下列等比数列前8项的和
说明：
例3.某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)？
分析：第1年产量为 5000台
第2年产量为
5000×(1+10%)=5000×1.1台
第3年产量为
5000×(1+10%) ×(1+10%)
……
第n年产量为
则n年内的总产量为：

1．数列{2n－1}的前99项和为(　　)
A．2100－1　　　　　　　　　 B．1－2100
C．299－1 D．1－299
答案：C
2．在等比数列{an}中，已知a1＝3，an＝96，Sn＝189，则n的值为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
答案：C
3．已知等比数列{an}中，an>0，n＝1,2,3，…，a2＝2，a4＝8，则前5项和S5的值为________．
答案：31
4．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a12＋a22＋…＋an2等于________．
5．设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3＝3a3，求公比q的值．
已知等比数列{an}中，前10项和S10＝10，前20项和S20＝30，求S30.
[题后感悟]　等比数列前n项和的常用性质：
(1)“片断和”性质：等比数列{an}中，公比为q，前m项和为Sm(Sm≠0)，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，Skm－S(k－1)m，…构成公比为qm的等比数列，即等比数列的前m项的和与以后依次m项的和构成等比数列．
各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于(　 　　)
A．80　　　　　　　 B．30
C．26 D．16
解析：　∵Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比数列
∴(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)
∴(S2n－2)2＝2·(14－S2n)，解得S2n＝6
又∵(S3n－S2n)2＝(S2n－Sn)·(S4n－S3n)
∴(14－6)2＝(6－2)·(S4n－14)
∴S4n＝30.故选B.
已知等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比与项数．

由题目可获取以下主要信息：
①等比数列的奇数项与偶数项分别依次构成等比数列；
②当项数为2n时，S偶∶S奇＝q.
解答本题的关键是设出项数与公比，然后建立方程组求解．
②÷①，得q＝2，代入①得22n＝256，
解得2n＝8，所以这个数列共8项，公比为2.
4.等比数列{an}共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，求该数列的公比q.
1.已知数列前n项和sn=2n-1，则此数列的奇数项的前n
项的和是 .
2.设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，
a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3
分别求出{an}及{bn}的前10项的和S10及T10。
3.设{an}为等比数列，Tn＝na1+(n一1)a2+…+2an-1+an，
已知T1＝1，T2＝4．

(1)求数列{an}的首项和公比；
(2)求数列{Tn}的通项公式．
[点评]　在求含有参数的等比数列的前n项和时，容易忽略对a＝1和q＝1的讨论，从而丢掉一种情况．
[题后感悟]　错位相减法
一般来说，如果数列{an}是等差数列，公差为d；数列{bn}是等比数列，公比为q，则求数列{anbn}的前n项和就可以运用错位相减法．
在运用错位相减法求数列的和时，要注意以下四个问题：
(1)注意对q的讨论，在前面的讨论中，我们已知q是等比数列{bn}的公比，所以q≠0，但求和Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1时，就应分x＝0、x＝1和x≠0且x≠1三种情况讨论．
(2)注意相消的规律．
(3)注意相消后式子(1－q)Sn的构成，以及其中成等比数列的一部分的和的项数．
(4)应用等比数列求和公式必须注意公比q≠1这一前提条件．如果不能确定公比q是否为1，应分两种情况讨论，这在以前高考中经常考查．
练习：